1、專題三 立體幾何 整理 范榮鑫立體幾何作為考查學生的空間想象能力與數學基礎知識的綜合能力的手斷，每年都會有一個解答題，主要是以多面體為載體，考查空間線面關系、空間角的求法以及距離的計算，所以出題重心就落在這三方面，此外，探索型問題也是立體幾何中的常見題型，在知識點的交匯處出題也是高考命題的熱點之一。考點篩查表：證線線平行例6（1）線線垂直例1（1）線面平行例4（1）線面垂直例5（1）面面平行面面垂直例4（2）、例5（3）求線線角例5（2）、例8（2）線面角例3（2）、例7（2）面面角例1（2）點線距離點面距離例2（2）線線距離線面距離面面距離體積例6（2）探究性問題例7（2）、例題9、例題10

2、、例題11、例題12一、基本題型在立體幾何的常見題型中，最基本的就是考察三大部分（1）證空間關系。在證明空間關系中，多以證明線線、線面、面面平行垂直為主，幾何法主要考察用概念，公理，判定定理，性質定理進行嚴格的推理證明的能力；向量法在證明垂直問題上更為得力，另外，第一步證明中給出的點或向量的坐標在第二步的計算中一般也需要用到。（2）求空間角（3）求空間距離。在空間角的求法中異面直線所成的角，線面角，二面角都是考察的重點；在求空間距離中多以點線距離，點面距離為主，其它距離可以轉化為這兩種距離。例題1（2011年新課標卷18題）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60,AB

3、=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；在這里，若對三垂線定理比較熟悉，則易知要證BD垂直于AD；若用向量法，則先要證明BD垂直于AD然后再建系設點。()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則,。設平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則 即 因此可取n=教學中發現，有的同學解不定方程時令x或y或z等于0，認為這樣挺方便而導致錯誤。其實，若x或y或z等于0，則對應平面必平行于坐標平面。設平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 在這里，容易判斷兩個法向量一進一出，故法向量所成角的

4、大小即二面角的平面角大小。要求學生會判斷法向量是一進一出還是同進同出，而不僅限于直觀判斷。故二面角A-PB-C的余弦值為 例題2（2010年高考江蘇卷試題16）（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求證：PCBC；求點A到平面PBC的距離。解：（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC

5、，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。（方法二）體積法（方法三）向量法（略）這道題，我們更推崇使用向量法，這樣學生在立體幾何問題上思維單一，處理問題模式化，更適合于中等學生。難點在于點到平面的距離公式的理解和記憶，所以需要學會推導公式并記憶。例題3 (2010年全國高考寧夏卷18）（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點證明：PEBC若APB=ADB=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值解：以為原點， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標系如圖，

6、則 （）設 則 可得 因為所以 （）由已知條件可得 設 為平面的法向量 則 即因此可以取，由，可得 所以直線與平面所成角的正弦值為例題4（2011江蘇16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面 ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD例題5（2011北京理16） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長. 證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設ACBD=O.因為BAD=60，

7、PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設PB與AC所成角為，則.（）由（）知設P（0，t）（t0），則設平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因為平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=例題6（2011安徽理17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐FOBED的體積。（向量法）（1）過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標原點，為軸正向

8、，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系.由條件知則有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長為2的正三角形，故 所以過點F作FQAD，交AD于點Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以例題7（2011福建理20） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設AB=AP （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。例題8（

9、2011重慶理19） 已知二面角，求線線角如題（19）圖，在四面體中，平面平面， （）若，求四面體的體積； （）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值 （I）解：如答（19）圖1，設F為AC的中點，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30=1，AF=ADcos30=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面體ABCD的體積 （II）解法一：如答（19）圖1，設G，H分別為邊CD，BD的中點，則FG/AD，GH/BC，從而FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補角. 設E為

10、邊AB的中點，則EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂線定理知DEAB.所以DEF為二面角CABD的平面角，由題設知DEF=60設在從而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，從而，在RtBDF中，又從而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為解法二：如答（19）圖2，過F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM兩兩垂直，以F為原點，射線FM，FC，FD分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Fxyz.不妨設AD=2，由CD=AD，CAD=30，易知點A，C，D的坐標

11、分別為顯然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD為60，故可取平面ABD的單位法向量，使得設點B的坐標為，有易知與坐標系的建立方式不合，舍去.因此點B的坐標為所以從而故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為二、探索性問題立體幾何的探索型問題往往考察學生的分析問題，解決問題的能力，常見題型為是否存在點或其他元素使得某種關系或數量成立。在這類問題中動點在線上或動點在面上的設法要求學生熟練掌握。 例題9（ 2010年高考全國卷I理科19）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .（）證明：SE=

12、2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .此題雖然不是探索性問題，但在第一問中用向量求解用到的點E在線段SB上的設法與探索性問題中常見的點在線上或點在面上的設法相同，故選擇這道題目作為引子解：以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，由,得 ，故 .令，則.例題10（2011浙江理20） 如圖，在三棱錐中，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。 （I）證明：如圖，以O為原點，以射線OP為z軸的

13、正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz則，由此可得，所以，即（II）解：設設平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。綜上所述，存在點M符合題意，AM=3。例題11（2009浙江卷理）（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點， （I）設是的中點，證明：平面； （II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到，的距離證明：（I）如圖，連結OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系O，. 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內，因此有平面（II）設點M的坐標為，則，因為平面B

14、OE，所以有，因此有，即點M的坐標為，在平面直角坐標系中，的內部區域滿足不等式組，經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使平面，由點M的坐標得點到，的距離為例題12（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。 （）求證：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大?。ǎ┰冢ǎ┑臈l件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。例題12(本小題13分)如圖，四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA =

15、AD = CD = 2AB = 2，M為PC的中點。20070409 （1）求證：BM平面PAD； （2）平面PAD內是否存在一點N，使MN平面PBD？若存在，確定N的位置，若不存在，說明理由； （3）求直線PC與平面PBD所成的角的正弦值。 解：（1）取PD的中點E，連EM、AM， M是PC的中點，又，ABME是平行四邊形，BMAE，BM平面PAD。 （2）以A為原點，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M（1，1，1），。設，則，若MN平面PBD。則MNBD，MNPB。在平面PAD內存在一點、使MN面PBD 。（3）設平面PBD的法向量為，令，直線PC與面PBD所成角正弦值為。例題13、如圖所示：正四棱錐中，側棱與底面所成角的正切值為, E是PB中點，（1）求側面與底面所成二面角的大小；（2）求異面直線PD與AE所成角的正切值；（3）在側面上尋找一點F，使得EF側面PBC。試確定點F的位置，并加以證明。XPABCDOYZ參考答案：（1）60（2） 設F（x,y,z）,可求出F點坐標（含的），從而由得，進而得F坐標，可判斷F為AD靠近A的四等分點