1、2.4二次函數與冪函數基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x) .頂點式：f(x) .零點式：f(x) .1.二次函數知識梳理ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數的圖像和性質解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0時，冪函數的圖像都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，)上單調遞增；當0，當 時，恒有f(x)0.2.冪函數的圖像和性質(1)冪函數的圖像一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性.(2)冪函

2、數的圖像過定點(1,1)，如果冪函數的圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點.知識拓展判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)二次函數yax2bxc，xa，b的最值一定是 .()(2)二次函數yax2bxc，xR不可能是偶函數.()(3)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小.()(4)函數 是冪函數.()(5)如果冪函數的圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點.()(6)當n0時，冪函數yxn是定義域上的減函數.()思考辨析 1.(教材改編)已知函數f(x)x24ax在區間(，6)內單調遞減，則a的取值范圍是A.a3 B.a3C.a3 D.a3考

3、點自測答案解析函數f(x)x24ax的圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是x2a，由函數在區間(，6)內單調遞減可知，區間(，6)應在直線x2a的左側，2a6，解得a3，故選D.幾何畫板展示2.冪函數yf(x)的圖像過點(4,2)，則冪函數yf(x)的圖像是 答案解析設f(x)x，則42， ，f(x) ，對照各選項中的圖像可知C正確. 3.已知函數f(x)ax2x5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是答案解析4.已知函數yx22x3在閉區間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_.答案解析1,2如圖，由圖像可知m的取值范圍是1,2.幾何畫板展示5.若冪函數 的圖像不經過原點，則實數m的值為

4、_.答案解析由m23m31，得m1或m2，又當m1時，m2m20，當m2時，m2m20，圖像均不過原點，所以m1或m2.1或2題型分類深度剖析題型一求二次函數的解析式例1(1)(2016太原模擬)已知二次函數f(x)與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(2,0)且有最小值1，則f(x)_.答案解析x22x設函數的解析式為f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，所以f(x)x22x.(2)已知二次函數f(x)的圖像經過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式.解答f(2x)f(2x)對任意xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f

5、(x)的圖像被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的圖像過點(4,3)，3a3，a1，所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思維升華求二次函數解析式的方法跟蹤訓練1(1)已知二次函數f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函數f(x)的最小值為f(1)0，則f(x)_.答案解析x22x1設函數f(x)的解析式為f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)若函數f(x)(xa)(bx2a)(常數a，bR)是偶函數，且它的值域為(，4

6、，則該函數的解析式f(x)_.答案解析2x24由f(x)是偶函數知f(x)的圖像關于y軸對稱，a( )，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域為(，4，2a24，故f(x)2x24. 題型二二次函數的圖像和性質命題點1二次函數的單調性例2函數f(x)ax2(a3)x1在區間1，)上是遞減的，則實數a的取值范圍是A.3,0) B.(，3C.2,0 D.3,0答案解析當a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足條件.解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0.幾何畫板展示引申探究若函數f(x)ax2(a3)x1的單調減區間是1，)，則a_.答案解析3由題意知a0時，f(x)ax22x的圖像開口

7、向上且對稱軸為x .當0 1，即a1時，f(x)ax22x的對稱軸在0,1內，f(x)在0,1上是減少的.f(x)minf(1)a2.(3)當a0時，f(x)ax22x的圖像開口向下且對稱軸x 2xm恒成立，則實數m的取值范圍是_.答案解析(，1)f(x)2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函數g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可.g(x)x23x1m在1,1上是減少的，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此滿足條件的實數m的取值范圍是(，1).(2)已知a是實數，函數f(x)2ax22

8、x3在x1,1上恒小于零，則實數a的取值范圍為_.答案解析2ax22x30在1,1上恒成立.當x0時，30，成立；幾何畫板展示思維升華(1)二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數.兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離.這兩個思路的依據是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.跟蹤訓練2(1)設函數f(x)ax22x2，對于

9、滿足1x0，則實數a的取值范圍為_.答案解析(2)已知函數f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.解答函數f(x)x22x(x1)21，對稱軸為直線x1，x1不一定在區間2，a內，應進行討論，當21時，函數在2，1上是減少的，在1，a上是增加的，則當x1時，f(x)取得最小值，即f(x)min1.綜上，當21時，ymin1.幾何畫板展示 題型三冪函數的圖像和性質例5(1)(2016濟南診斷測試)已知冪函數f(x)kx的圖像過點 ，則k等于答案解析由冪函數的定義知k1. (2)若 則實數m的取值范圍是答案解析因為函數 的定義域為0，)，且在定義域內為增函數，解2m1m2m1，得1m2，

10、思維升華(1)冪函數的形式是yx(R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式.(2)在區間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，)上，冪函數中指數越大，函數圖像越遠離x軸. 跟蹤訓練3(2016昆明模擬)冪函數的圖像經過點(4,2)，若0ab0時，函數f(x)在區間1,2上是增函數，最大值為f(2)8a14，解得a ； 6分(3)當a0時，函數f(x)在區間1,2上是減函數，最大值為f(1)1a4，解得a3. 9分綜上可知，a的值為 或3. 10分課時作業1.函數f(x)2x2mx3，當x2，)時，f(x)是增函數，當x(，2時，f

11、(x)是減函數，則f(1)的值為A.3 B.13 C.7 D.512345678910111213答案解析函數f(x)的圖像關于直線x2對稱，m8，f(1)28313.2.函數f(x)x2mx1的圖像關于直線x1對稱的充要條件是A.m2 B.m2C.m1 D.m1答案解析已知函數f(x)x2mx1的圖像關于直線x1對稱，則m2；反之也成立.所以函數f(x)x2mx1的圖像關于直線x1對稱的充要條件是m2.123456789101112133.已知二次函數f(x)滿足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函數，若f(a)f(0)，則實數a的取值范圍是A.0，) B.(，0C.0,4 D.

12、(，04，)答案解析由題意可知函數f(x)的圖像開口向下，對稱軸為x2(如圖)，若f(a)f(0)，從圖像觀察可知0a4.123456789101112134.若函數yx23x4的定義域為0，m，值域為 ，4，則m的取值范圍是答案解析12345678910111213123456789101112135.若函數f(x)x2axa在區間0,2上的最大值為1，則實數a等于A.1 B.1C.2 D.2答案解析函數f(x)x2axa的圖像為開口向上的拋物線，函數的最大值在區間的端點處取得，f(0)a，f(2)43a，6.已知函數f(x) 若關于x的方程f(x)k有三個不等的實根，則實數k的取值范圍是A

13、.(3,1) B.(0,1)C.(2,2) D.(0，)答案解析由函數f(x) 的圖像可知，12345678910111213要使關于x的方程f(x)k有三個不等的實根，則需直線yk與函數f(x)的圖像有三個不同的交點，所以有0k1，所以實數k的取值范圍是(0,1).123456789101112137.(2016煙臺模擬)已知冪函數 若f(a1)f(102a)，則a的取值范圍為_.答案解析(3,5)冪函數 是減函數，定義域為(0，)，123456789101112138.當0 xg(x)f(x)如圖所示為函數f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖像，由此可知，h(x)g(x)f(x).123456789101112139.當x(1,2)時，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_.答案解析(，5方法一不等式x2mx40對x(1,2)恒成立，mxx24對x(1,2)恒成立，方法二設f(x)x2mx4，當x(1,2)時，2345678910111213112345678910111213*10.“a0”是“函數f(x)|(ax1)x|在區間(0，)內遞增”的_條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案解析充要當af(a1)的實數a的取值范圍.解答12345678910111213因為函數f(x)的圖像經過點(2， )，所以 即