1、洲北壯始月第一中學“微講座”教研活勘HUBEIJIANSHI NO.l HIGHSCHOOL6年第6期三角函數身率面向量熱點題型解題策略主持人：萬振科 主講人:黃麗人主辦：教科處 忱力：信息技術外4月19日轡晤）J9： 30-21 ： 00建始一中教師QQ曼9779830三角函數與平面向量熱點題型的解題技巧三角函數與平面向量歷來是高考的重點內容，這兩部分內容之間互相滲透，而且也和其他 數學分支進行融合，在高考試題中，這兩部分內容的基礎性、工具性以及滲透性都表現得淋漓 盡致，縱觀近幾年高考可以看出：三角函數與平面向量的試題一般是兩個小題和一個大題，但 近兩年只有四個小題。對于小題通常設計為基礎知

2、識與基礎方法類試題，難度不大，但也都不是“一望而解”的 試題，求解時必須擁有基礎的知識與技能，也都需要經過一些基本運算，而后產生結論。常見 試題的落點是函數圖象、單調性、最值及簡單的三角變換。平面向量的試題都是基本的運算， 比如：求數量積、求向量夾角等。當然，有時也會將其融于解答題之中，如與三角函數、圓錐 曲線、數列等問題的交匯。首先我們就看看三角函數的解題技巧1、打（力二-+（0工.:面值域.sinx cos x 21、解：= 51n *+8= ;令+ gs H =想 xj評析*形如/（sin冗85三&inmzosy）型函數的值域常用r =&in # + cos嫩元化為關于t的函數形如 y

3、=asin2x - bsinxcosx - ccos2x型的最值，周期與求值常?；癁閥=Asin（x +中）或以sin2x + cos2 x代換分母“1”，然后變為關于tanx的函數久 已知&b,c分別為 ABC三個內角A、B、C所對的邊長， 目滿足 2551口（。+令=也+白（0求角B的大?。?）若點M為BC的中點，且AM=AC,求sin ZB.4C解法一：取CM的中點D,連接AD, AD _LCM ,DA AM = AC. MD = DC 設 CD =x,則 BD =3x由（1）得8= . AD=3、3x,. AC=2.7x 3由正弦定理知一竺一 sin . BAC2,7xjisin 一3

4、21 sin . BAC =7解法二：設.BAM在ABM 中，AM = AC =b, BM =MC =芻 2由正弦定理得BM AM a b 在Dabc中,由正弦定理得 TOC o 1-5 h z si E 一 .二 2 stn .二 si ns.BAC = - - X0 L：二一） 36AC BCn:nsin - sin（ 一二）33b _ asin sin（ 一口33整理得 tan 5、21 sin :J2T714sin BAC = 2 sinAC方法三：用余弦定理解得 TOC o 1-5 h z 由(1)知B=3,又M為BC的中點，二BM =MC =- 32在LI ABM與ABC中，由余弦

5、定理分別得：22 / a 苕 2 aa2 acAM =( ) c -2 c_cosB = c -22一一42222AC =a c -2accosB又a2 ac2 23a7AM =AC, c 一 一 二 a c 。ac, c = b =a42227a由正弦定理知，一a=一2得 sin BAC 。*二sin 3sin BAC 二73、A,BCQ為平面四邊形ABCD的四個內角。B證明:(l)tan-=:2 sin WBCD4- tan F tan + tan -777上，,Q)若4+。=18心一怎=0 3C=tCD=4；JD=5 求 tan-的值。2 cifi 口 B * 解：(1)證明: tan

6、B =-: 1 / =-等式成立，即證。 coisi71(2 )由 +。= 180得 = 180。抵 = 180瓦 由(1 )可知:ABA B C Dtan 4-tan +tan +tan =2222_ 1-co%/+1 co 5B + l-c。4萬一 J) +1 。式公- B) 2 + 2 sin* sinsin(；T 司 sin(?) sin A sin B連接 BD,在八陽。中,=BC2 +CZ): -25C-CDcos C 得頡 A3 + /40* cos A. = BC + CD -2BC，CD cos C1-22 c2, 26 5 -3 42(6 5 3 4) TOC o 1-5

7、h z 22_ 2_2A AB AD -BC -CD cos A =i2(ABLAD BC_CD)22 10于是 sin A - 1 -cos A =.o762 32 -52 -42 12(6 3 5 4)19連接AC,同理可得：AB2 BC2-AD2-CD2 cosB 二i2(ABLBC ADJCD) 工曰2= 6而于是 sin B = Vl - cos B =。19tq tan tanC tanD 222222+sin A sin B4.103評析：第一問，利用二倍角公式得證，第二問，將四邊形轉化成三角形問題來解決4、在等腰直角AOPQ中，ZPOQ = 90, OF = 2小,點M在線段F

8、Q上.若OV =忑,求PM的長(2)若點N在線段MQ上,且ZAfO,V=30 /中當POM取何值時OIN的面積最小？并求出面積的最小值口4、解析：(1)在OMP中，ZOPM=Wt UM =、氐 OP二工5 由余弦定理得OM1 =OP2 + PM2-1OP PM cos45a(2)設Wa60，BD = BC +CD 25C*CDcosC在OMP中，由正弦定理，得OM _ OPsin Z OPM sin AOXfPsin(45-a)OPsin 45同理0M= .si 口 (75 +4)故S3w= gx OAf xONxsin2 AMON_ 1 OP2*sin245fl4 sin(45J +a)si

9、n(75J +a)1+-sin(30 + a)4 一v00 a6030 2z+30*150*二當a=3(T時閨n(2a+30。%最大值為1,此時。孫的面積取到最小值，即/P0M =30時心OMVff)面積的最小值為8 - 4/3評析與探究：三角交換與正、余弦定理的綜合運用是高考的熱點問題，基本思路是利用正、 余弦定理進行邊角轉化對于求值類題目，一般由已知條件引歷程(組)求解即可，對于求范 圍問題，關鍵在于通過等等量代換變成求值域問題,因此必須利用已知條件準確求出變量的 定義域卜面我們說說平面向量的解題技巧二、平面向量1、在,(：中，若ABAC = 7, aB - jc|= 6,則 ABC的面積

10、的最大值為U解析；設角為 B,c的對邊分別為at,二則由已知條件可知be= 6,由余弦定49理 可 知 /+ 1-14 = 36,故送+1=50 , 又 2bc2+c2=50c25 ?Sc = be sin =bclCQS2 A =be 11 =49 -V252-49 = 12當B = e = 5時等號成立,故所求的最大值為12。評析：首先是把向量的差轉化成邊，再用余弦定理轉化，然后用基本不等式求最值2、點P是底邊長為2若，高為2的正三棱柱表面上的動點,MX是該樓柱內切球的一條直徑，則尸M2”的取值范圍是_一 T4 * * . IT-B W _ gC2、解析：由題意知內切球的半徑為1 ,設球心

11、為。，則 西灰=（麗而+ ON） = PQ +而*7 4兩;麗7質二|呵-1 且 畫的最大值是點閘正三樓柱頂點的距離上計算可得 網的最大值是后,|用|的最小值等于內切球的半徑L于是1曰所卜二再?兩亡0用評析：在向量的計算中，盡量把所求向量轉化到已知模長的向量的向量，如果有垂直向量 就轉化到垂直向量，就可以簡化計算，同時也可以建立坐標系，用坐標法來解在平面向量中有些常用的規律和方法也必須掌握，這樣給解題帶來方便規律方法=（孫）2）1、夾角公式8s8 =需=卬產、HM +弘 & +巧推廣:0 = cos 8 = 1銳角=0 cos 8 1 = 0 一 aAb五種情況夾角為直角=cos 8=0鈍角=-1 cos 6 0 =a岳cos6 = -l2、平面向蚩的常見向量模型 模型一重心模型i、G是 AB