1、2022 東北三省三校二模數學（文）試題 第一卷（共 60 分）一、挑選題：本大題共 12 個小題,每道題 5 分,共 60 分在每道題給出的四個選項中,只 有哪一項符合題目要求的1設 i 是虛數單位,就復數11i在復平面內所對應的點位于（）x|2x4 A第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限2設集合Ax|x2x20 ,集合Bx|1x4 ,就AB（）Ax|1x2 Bx|1x4 Cx|1x1 D3已知平面對量a 1,1,b,11,就1a3b（）22x 1x 24,就A2 ,1 B21, C,10 D,124設xR,就使lg x11成立的必要不充分條件是（）A1x9 Bx1 Cx1 D1x9

2、5等比數列an中,a32,a 118,就a7（）A4 B4 C4 D56過拋物線 C ：y24x的焦點 F 的直線交拋物線C 于A x 1y1、B x2y2兩點,且3弦 AB 的長為（）A16 B 34 C10 D 3837執行如下列圖的程序框圖,就輸出的S（）A5 B 23 C 21 D 21 8如下列圖,一個三棱錐的的三視圖是三個直角三角形,就該三棱錐的體積為（）A3 B4 C 6 D8 9三國時期吳國的數學家趙爽創制了一幅“ 勾股圓方圖”,用數形結合的方法給出了勾股定理的具體證明 .如下列圖的“ 勾股圓方圖” 中,四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為 2 的大正方形,如直角

3、三角形中較小的銳角,現在向該正方形區域內隨機地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在小正方形內的6概率是（）A. 1 3B. 3 C. 4 3 D. 32 2 4 410矩形 ABCD 中,AB 4,BC 3,沿 AC 將三角形 ABC 折起,當平面 ABC平面 ACD 時,四周體 ABCD 的外接球的體積是（）A125 B125 C125 D12512 9 6 3211雙曲線 C : x 2 y 1 的左頂點為 A,右焦點為 F ,過點 F 作一條直線與雙曲線 C 的右支交于點3P, Q,連接 PA, QA 分別與直線 l ：x 1交于點 M , N,就 MFN（）2A B C D26 3 2 312已知定

4、義域為 R的函數 f x 的導函數為 f x ,且滿意 f x f x 1,就以下正確選項（）Af 2022 ef 2022 e 1 Bf 2022 ef 2022 e 1Cf 2022 ef 2022 e 1 Df 2022 ef 2022 e 1二、填空題（每題 4 分,滿分 20 分,將答案填在答題紙上）13函數 f x log 3 8 x 1 的值域為 . 3 x 2 y 12x 2 y 814設實數 x, y 滿意約束條件,就 z 3 x 4 y 的最大值為 . x 0y 015寫出以下命題中全部真命題的序號 . 兩個隨機變量線性相關性越強,相關系數 r 越接近 1；回來直線肯定經過

5、樣本點的中心 x , y ；線性回來方程 y . .0 2 x 10,就當樣本數據中 x 10 時,必有相應的 y 12；回來分析中,相關指數 R 的 2值越大說明殘差平方和越小 . 16數列 a n 中,1a 1, n 1 na n a n 1 a n 1 na n 0 n N * ,設數列 an 的前 n 項和為 S ,2 n 2就 S n . 三、解答題（本大題共 6 題,共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17ABC 中的內角 A , B , C 的對邊分別為 a , b , c,已知 b 2 a 2 c cos B . （1）求角 C 的大小；（2）求3cosAsin

6、B3的最大值,并求出取得最大值時角A,B的值 . 100分）,將18某校從高一年級參與期末考試的同學中抽出50名同學,并統計了他們的數學成果（滿分為數學成果進行分組,并依據各組人數制成如下頻率分布表：（1）寫出a,b,c,d的值, 并估量本次考試全年級同學的數學平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）現從成果在90, 100 內的同學中任選出兩名同學,從成果在40, 50內的同學中任選一名同學,共三名同學參與學習習慣問卷調查活動. 如1A 同學的數學成果為43分,B 同學的數學成果為95分,求A 1, B 1兩同學恰好都被選出的概率. BC1AA 11,D,E分別是棱CC 、1

7、9如圖,在直三棱柱ABCA 1B 1 C 1中,ACB900,AC2BB 的中點 . （1）證明：A1EAD；Mx,y 總 滿 足 關 系 式（2）求點 A到平面A 1B 1D的距離 .20 在 平 面 直 角 坐 標 系 xOy 中 , 動 點2x122 y|x4|. （1）點 M 的軌跡是什么曲線并寫出它的標準方程；（2）坐標原點 O 到直線 l ：ykxm的距離為 1,直線 l 與 M 的軌跡交于不同的兩點A,B,如OAOB3,求AOB 的面積 . 221已知定義域為 0 , 的函數 f x x m e x（常數 m R）. （1）如 m 2,求函數 f x 的單調區間；（2）如 f x

8、 m 1 0 恒成立,求實數 m 的最大整數值 . 請考生在 22、 23二題中任選一題作答,假如都做,就按所做的第一題記分 . 22選修 4-4 ：坐標系與參數方程在直角坐標坐標系xOy 中,曲線C 的參數方程為xcos（為參數）,曲線C ：x2y21.y1sin2以 O為極點, x 軸的非負半軸為極軸,與直角坐標系xOy 取相同的長度單位,建立極坐標系. （1）求曲線C1,C2的極坐標方程；（2）射線3（0 ）與曲線C 的異于極點的交點為A,與曲線C 的交點為 B ,求| AB . 23選修 4-5 ：不等式選講設函數fx|2x1|. A ,求集合 A ；a,b ,c為正實數）,設M1aa

9、1bb1cc.（1）設fxfx1 5的解集為集合（2）已知 m 為集合 A 中的最大自然數, 且abcm（其中求證：M8. 文科數學答案一、挑選題123456789101112DBDBACCBACCA二、填空題13. 0, 14. 18 15.（2）（ 4） 16. 4nn3 2 n1 n三、解答題17（ 1）b2a2ccosB2 a2ca2c2b2,23cosAsinA2sinA3,2ac整理得a2b2c2ab,3,即cosC1,2由于0C,就C3. （2）由（ 1）知C3,就BA于是3cosAsinB323cosAsinA 由A2B,就0,3A3,.A33故當A6時,2sinA3的最大值為

10、2,此時B18. 1a2,b0. 06,c12,d0.24估量本次考試全年級同學的數學平均分為450 . 04550 . 06650 . 2875.03850 . 24,95B0. 0873 8. （2）設數學成果在90, 100內的四名同學分別為B 1,B 2B 3,4,成果在40 , 50內的兩名同學為A 1, A 2,就選出的三名同學可以為：A 1B 1B2、A 1B 1B 3、A 1B 1B 4、A 1B 2B3、A 1B2B4、A 1B3B4、A 2B 1B 2、A 2B 1B 3、A 2B 1B 4、A 2B2B 3、A 2B2B 4、A 2B3B 4,共有 12 種情形 . ,共

11、有 3 種情形,A 1, B 1兩名同學恰好都被選出的有A 1B 1B2、A 1B 1B 3、A 1B 1B4所以A 1, B 1兩名同學恰好都被選出的概率為P31. 124BC,19. （ 1）證明：連接DE ,由直三棱柱ABCA 1B 1 C 1知CC1BCAC又有CC1ACC, BC平面ACC1A 1D,E分別為CC1, BB 1的中點,就DE /BC, DE平面ACC1A 1,DEADA 1D2AD242 AA 1,所以ADA 1D,A1DDED,AD平面A1DE,A1EAD.（2）設點 A到平面A 1B 1D的距離為 d ,B 1 C 1A 1 C1,B 1C 1CC 1,CC1A

12、1C 1C 1,B 1C 1平面A1DA由VAA 1B 1DVB 1AA 1D知,1SA 1 B1Dd1SA 1ADB 1 C 1,33即13d11221,解得d233. 3232點 A到平面A 1B 1D的距離為233. 20.1 由2x12y2|x4|化簡,得x2y21,43所以點 M 的軌跡是焦點在x 軸上的橢圓,它的標準方程為x2y21. 43（2）由點 O到直線 l ：ykxm的距離為 1,得d|m|21,即m2e1k2,1k2設Ax 1,y1,Bx2,y2,ykxm0 x 2y21消去 y ,得34k2x28kmx4m2120438 km2434 k24 m2124834 k2m2

13、483 k2x 1x238km,x 1x24m2412,4 k23k2m2OAOBx 1x 2y 1y2x 1x 2kx 1m kx 2m 1k2x 1x 2kmx 1x 2m21k24 m21238k2m2234k4k27m2312k2125 k2k5. 4k2342x1 x,OAOB3,5k2k53,42322解得k21,m21k2322|AB|1k248 3 k222 6734 k5SAOB11657357. 221. （1）當m2時,fxx2ex（x0,）,fx令fx 0,有x1,fx在1 ,上為增函數,令fx 0,有0 x1,fx在0 1,上為減函數,綜上,fx 在0 1,上為減函數

14、,fx在,1上為增函數 . （2）fxm10對于x0 ,恒成立,即fxm1對于x0,恒成立,由（ 1）知當m1 時,f x在0,上為增函數,fxf0m ,mm1恒成立m12,2210,當m1時,在0,m1 上為減函數,fx在m,1上為增函數 . fxminfm1 m e1,em1m1em1m10設gm em1m1 m1,gm em110m1 ,gm 在,1上遞增,而mZg2e30,g3 e240,在 ,1上存在唯獨m 使得gm 00,且2m 03,mZ, m 最大整數值為2,使em1m10,即 m 最大整數值為有fxm10對于x0,恒成立 . 22. （1）曲線C 的參數方程xcos（為參數）y1sin3,可化為一般方程x2y1 21,由ysin,可得曲線C 的極坐標方程為2sin,xcos曲線C 的極坐標方程為2 1cos22.（2）射線3（0 ）與曲線C 的交點 A 的極徑為12sin3射線3（0 ）與曲線C 的交點 B 的極徑