1、6.3等比數列及其前n項和基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習一般地，如果一個數列 ，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的 ，通常用字母 表示(q0).1.等比數列的定義知識梳理2.等比數列的通項公式設等比數列an的首項為a1，公比為q，則它的通項an .從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數公比qa1qn1如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的 .3.等比中項4.等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam (n，mN*).(2)若an為等比數列，且klmn(k，l，m，nN*)，則 .等比中項qnmaka

2、laman公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為 .5.等比數列的前n項和公式6.等比數列前n項和的性質qn等比數列an的單調性知識拓展判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數)的數列an為等比數列. ()(2)G為a，b的等比中項G2ab. ()(3)如果數列an為等比數列，bna2n1a2n，則數列bn也是等比數列. ( )(4)如果數列an為等比數列，則數列ln an是等差數列. ()思考辨析 1.(教材改編)已知an是等比數列，a22，a5 ，則公比q等于考點自測答案解析 2.(20

3、15課標全國)已知等比數列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7等于A.21 B.42 C.63 D.84答案解析設等比數列an的公比為q，則由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故選B. 3.設等比數列an的前n項和為Sn，若S23，S415，則S6等于A.31 B.32 C.63 D.64答案解析根據題意知，等比數列an的公比不是1.由等比數列的性質，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故選C.4.(教材改編)在9與243中間插入兩個數，使它們同這兩個數成

4、等比數列，則這兩個數為_.答案解析27,81設該數列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個數分別為9327,27381.答案解析11設等比數列an的公比為q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，題型分類深度剖析題型一等比數列基本量的運算例1(1)(2015課標全國)已知等比數列an滿足a1 ，a3a54(a41)，則a2等于 答案解析由an為等比數列，得a3a5 ，又a3a54(a41)，所以 4(a41)，解得a42.設等比數列an的公比為q，則由a4a1q3，得2 q3，解得q2，所以a2a1q .故選C.答案解析2n1思維升華等比數列基本量的運算是等

5、比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解. 跟蹤訓練1(1)設an是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和.已知a2a41，S37，則S5等于答案解析(2)(2015湖南)設Sn為等比數列an的前n項和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差數列，則an_.答案解析3n1由3S1， 2S2，S3成等差數列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比數列通項ana1qn13n1.題型二等比數列的判定與證明例2設數列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；

6、解答a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n1時，a1212；當n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.綜上，a24，a38.(2)求證：數列Sn2是等比數列證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數列思維升華(1)證明一個數列為等比數列常用定

7、義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.(2)利用遞推關系時要注意對n1時的情況進行驗證.證明跟蹤訓練2已知數列an滿足a11，an13an1.(1)證明：an 是等比數列，并求an的通項公式；證明題型三等比數列性質的應用例3 (1)若等比數列an的各項均為正數，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案解析50因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a1

8、1)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案解析方法一S6S312，an的公比q1.S3，S6S3，S9S6也成等比數列，即(S6S3)2S3(S9S6)，思維升華等比數列常見性質的應用等比數列性質的應用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形.根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口. 跟蹤訓練3(1)已知在等比數列an中，a1a410，則數列lg an的前4項和等于A.4 B.3C.2 D.1答案解析前4項和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又

9、等比數列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002. (2)設等比數列an中，前n項和為Sn，已知S38，S67，則a7a8a9等于答案解析因為a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比數列中，S3，S6S3，S9S6也成等比數列，即8，1，S9S6成等比數列，所以有8(S9S6)(1)2，S9S6 ，即a7a8a9 . 分類討論思想在等比數列中的應用思想與方法系列13(1)利用等差數列的性質求出等比數列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據函數的單調性證明.規范解答思想方法指導(1)解設等比數列an的公比為q，因為2S2，S3，4S4成等差數列，所以S32S24S4S3，即S

10、4S3S2S4，課時作業123456789101112131.等比數列x,3x3,6x6，的第四項等于A.24 B.0 C.12 D.24答案解析由x,3x3,6x6成等比數列，得(3x3)2x(6x6).解得x13或x21(不合題意，舍去).故數列的第四項為24.2.(2016珠海模擬)在等比數列an中，若a10，a218，a48，則公比q等于答案解析123456789101112133.在正項等比數列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n等于A.12 B.13 C.14 D.15答案解析因此q3n68134q36，所以n14，故選C.1234567891

11、0111213123456789101112134.(2016昆明模擬)在等比數列an中，若a3，a7是方程x24x20的兩根，則a5的值是答案解析根據根與系數之間的關系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.123456789101112139.已知數列an的前n項和為Sn，且滿足anSn1(nN*)，則通項an_.答案解析anSn1， 12345678910111213答案解析1 024a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102

12、101 024.1234567891011121311已知an是等差數列，滿足a13，a412，數列bn滿足b14，b420，且bnan是等比數列(1)求數列an和bn的通項公式；解答12345678910111213設等差數列的公差為d，所以ana1(n1)d3n(nN*)設等比數列bnan的公比為q，所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(nN*)12345678910111213(2)求數列bn的前n項和解答由(1)知bn3n2n1(nN*)，1234567891011121312.(2016全國丙卷)已知各項都為正數的數列an滿足a11， (2an11)an2an10.(1)求a2，a3；解答12345678910111213(2)求an的通項公式.解答1234567891011121313.(2016昆明一檢)已知等比數列an的前n項和是Sn，S18S978.(1)求證：S3，S9，S6依次成等差數列；證明12345678910111213設等比數列an的公比為q，