1、計數原理分類加法計數與分步乘法計數分類加法計數原理： 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=m+n種不同的方法。分類要做到“不重不漏”。分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟。做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mn種不同的方法。分步要做到“步驟完整”。n元集合A=a1，a2，an的不同子集有2n個。排列與組合排列一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement)。從n個不同元素中取出m(mn

2、)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Anm表示。排列數公式：Anm=n!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)n個元素的全排列數Ann=n!規定：0!=1組合一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination)。從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Cnm或nm表示。組合數公式： Anm=CnmAmmCnm=AnmAmm=n!m!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)m! 規定：Cn0=1組合數的性質：Cnm=Cnn-

3、m (“構建組合意義”“殊途同歸”)Cn+1m=Cnm+Cnm-1 （楊輝三角）kCnk=nCn-1k-1*CnkCn-km-k=CnmCmk二項式定理二項式定理(binomial theorem)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn (nN*)其中各項的系數Cnk (k0，1，2，n)叫做二項式系數(binomial coefficient)；式中的Cnkan-kbk叫做二項展開式的通項，用Tk+1表示通項展開式的第k+1項：Tk+1=Cnkan-kbk*注意二項展開式某一項的系數與這一項的二項式系數是兩個不同的概念?！皸钶x三角”與二項式系數的性質*表現

4、形式的變化有時能幫助我們發現某些規律！(1) 對稱性(2) 當n是偶數時，共有奇數項，中間的一項Cnn2+1取得最大值；當n是奇數時，共有偶數項，中間的兩項Cnn-12，Cnn+12同時取得最大值。(3) 各二項式系數的和為 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn(4) 二項式展開式中，奇數項二項式系數之和等于偶數項二項式系數之和：Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+(5) 一般地，Crr+Cr+1r+Cr+2r+Cn-1r=Cnr+1 (nr)隨機變量及其分布2.1 離散型隨機變量及其分布2.1.1 離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量(random v

5、ariable)。隨機變量和函數都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數。試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域。所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量(discrete random variable)。概率分布列(probability distribution series)，簡稱為分布列(distribution series)。Xx1x2xixnPp1p2pipn也可用等式表示：PX=xi=pi ，i=1，2，n根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：pi0，i=1，2，n；i=1npi=1隨機變量X的均

6、值(mean)或數學期望(mathematical expectation)：EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。隨機變量X的方差(variance)刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度DX=i=1n(xi-E(X)2pi其算術平方根D(X)為隨機變量X的標準差(standard deviation)。EaX+b=aEX+bDaX+b=a2DX若隨機變量X的分布具有下表的形式，則稱X服從兩點分布(two-point distribution)，并稱p=P(X=1)為成功概率。(兩點分布又稱0-1分布。由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利

7、試驗，所以兩點分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若X服從兩點分布，則E(X)=p ，D(X)=p(1-p)一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則PX=k=CMkCN-Mn-kCNn ，k=0，1，2，mX01mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNnCMmCN-Mn-mCNn其中m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二項分布及其應用2.2.1 條件概率一般地，設A，B為兩個事件，且P(A)0，稱PBA=P(AB

8、)P(A)為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率(conditional probability)。如果B和C是兩個互斥事件，則PBCA=PBA+P(C|A)2.2.2 事件的相互獨立性設A，B為兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨立(mutually independent)。可以證明，如果事件A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨立。2.2.3 獨立重復試驗與二項分布一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗(independent and repeated trials)。PA1A2An=PA1P(A2)P(An)其中Ai (

9、i=1，2，n)是第i次試驗的結果。一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則PX=k=Cnkpk(1-p)n-k ， k=0，1，2，n此時稱隨機變量X服從二項分布(binomial distribution)，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率。若XB(n，p) ，則EX=k=0nkCnkpkqn-k=k=1nnpCn-1k-1pk-1qn-1-(k-1)=npk=0n-1Cn-1kpkqn-1-k=np(p+q)n-1=npD(X)=np(1-p)*隨機變量的均值是常數，而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的平均值是隨機變量。隨機變量的方差是常數，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機變量。2.4 正態分布一般地，如果對于任何實數a，b (ab)，隨機變量X滿足，x=12e-(x-)222 ，x（-，+）Pa0，P-aX+a=-a+a，(x)dx該面積隨著的減少而變大。這說明越小，X落在區間(-a，+a的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別有P-X+=0.6826