1、(1)如圖所示，建立坐標(biāo)系。設(shè)r與z軸之間的夾角為，將dB進(jìn)行正交分解，兩個(gè)垂直分量分別為在圓上取一電流元Idl，在距離為r的軸上P點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)dB，dB垂直于dl和r。dl與r也垂直，所以dB的大小為dB = dBsin，dBz = dBcos。azOIrPdBIdldBdBzen10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁場(chǎng)(1)一個(gè)半徑為a的圓環(huán)，通有電流I，求環(huán)電流軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矩在軸的遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度隨坐標(biāo)變化的規(guī)律是什么？(2)兩個(gè)共軸圓環(huán)電流，半徑為a，電流強(qiáng)度都是I。求證：當(dāng)它們相距為a時(shí)，它們軸線中間附近為均勻磁場(chǎng)。這種環(huán)電流稱為亥姆霍茲線圈。取距離分別為

2、2a，a和0.5a，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度是如何分布的？1(1)一個(gè)半徑為a的圓環(huán)，通有電流I，求環(huán)電流軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矩在軸的遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度隨坐標(biāo)變化的規(guī)律是什么？Bz的方向沿z軸正向，與環(huán)電流的環(huán)繞方向之間滿足右手螺旋法則。由于對(duì)稱的緣故，B = 0。azOIrPdBIdldBdBzen不論電流元取在何處，r和保持不變，因此合磁場(chǎng)的大小為dB = dBsin，dBz = dBcos。設(shè)矢量pm = ISen = Ia2en，pm稱為環(huán)電流的磁矩，其大小等于IS，方向與線圈平面的法線方向相同。環(huán)電流在軸線產(chǎn)生的磁場(chǎng)用磁矩表示為范例10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁

3、場(chǎng)2(1)一個(gè)半徑為a的圓環(huán)，通有電流I，求環(huán)電流軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矩在軸的遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度隨坐標(biāo)變化的規(guī)律是什么？磁矩如同電流一樣，是一個(gè)物理作用量。如果環(huán)電流有N匝，則磁場(chǎng)增強(qiáng)了N倍，每匝通有電流I，則磁矩要定義為pm=NISen。討論如果r = a或z = 0，可得環(huán)電流中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度最大。如果z a，則z r，場(chǎng)強(qiáng)為用磁矩表示為磁矩在軸線遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與距離的立方成反比，與電偶極子在連線遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律相同。范例10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁場(chǎng)3環(huán)電流在軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度在環(huán)心處最大，曲線中間下凹，兩邊上凹，說(shuō)明磁

4、感應(yīng)強(qiáng)度先加速下降，后減速下降。當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí)，例如4a，環(huán)電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度就與磁矩的磁感應(yīng)強(qiáng)度相差無(wú)幾。4解析(2)一個(gè)半徑為a的環(huán)電流在離圓心為z的軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為如圖所示，設(shè)兩線圈相距為2L，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，兩線圈在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為(2)兩個(gè)共軸圓環(huán)電流，半徑為a，電流強(qiáng)度都是I。求證：當(dāng)它們相距為a時(shí)，它們軸線中間附近為均勻磁場(chǎng)。這種環(huán)電流稱為亥姆霍茲線圈。取距離分別為2a，a和0.5a，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度是如何分布的？方向相同，合場(chǎng)強(qiáng)為B = B1 + B2。zO2IOzaO12LIaP范例10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁場(chǎng)5通過(guò)觀察一個(gè)環(huán)電流產(chǎn)生

5、的磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線可知：強(qiáng)度曲線中間是上凸的，在兩邊是上凹的，兩邊凸凹接合處各有一個(gè)拐點(diǎn)。如果兩個(gè)環(huán)電流相距太近，強(qiáng)度就會(huì)疊加太多，曲線就形成更高的凸?fàn)睿?2)兩個(gè)共軸圓環(huán)電流，半徑為a，電流強(qiáng)度都是I。求證：當(dāng)它們相距為a時(shí)，它們軸線中間附近為均勻磁場(chǎng)。這種環(huán)電流稱為亥姆霍茲線圈。取距離分別為2a，a和0.5a，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度是如何分布的？如果它們相距太遠(yuǎn)，強(qiáng)度就會(huì)疊加太少，曲線的中間部分就會(huì)下凹成“谷”，圓環(huán)所在處形成兩個(gè)“峰”。曲線從谷底向兩邊的峰之間各有一個(gè)拐點(diǎn)，當(dāng)它們的距離由遠(yuǎn)而近時(shí)，兩個(gè)拐點(diǎn)就會(huì)接近。到最適當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí)，兩個(gè)拐點(diǎn)就會(huì)在中間重合，這時(shí)的磁場(chǎng)最均勻。范例10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁場(chǎng)6拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零。設(shè)B0 = 0I/2a，則(2)兩個(gè)共軸圓環(huán)電流，半徑為a，電流強(qiáng)度都是I。求證：當(dāng)它們相距為a時(shí)，它們軸線中間附近為均勻磁場(chǎng)。這種環(huán)電流稱為亥姆霍茲線圈。取距離分別為2a，a和0.5a，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度是如何分布的？B對(duì)z求一階導(dǎo)數(shù)得求二階導(dǎo)數(shù)得在z = 0處令d2B/dz2 = 0，可得a2 = 4L2，所以2L = a。z = 0處的場(chǎng)強(qiáng)為這是亥姆霍茲線圈最均勻的磁感應(yīng)強(qiáng)度。范例10.6 通電圓環(huán)和亥姆霍茲線圈在軸線上的磁場(chǎng)7當(dāng)兩個(gè)線圈相距比較遠(yuǎn)時(shí)，軸線中間的磁感應(yīng)強(qiáng)度比較小，線圈所在處