1、第六章 統計量及其抽樣分布6.1 引言6.2 總體和樣本6.3 統計量及其分布6.1引 言 在我們的現實生活中，許多問題的不確定現象都是由隨機因素的影響所造成的 通常情況下，需要經過對實際中大量數據的處理或理論分析，可以確定這些隨機因素所要服從的概率分布，根據其概率分布規律利用一些統計方法可對所研究的問題做出估計、推斷和預測 具體地講，數理統計方法是研究從一定總體中隨機抽取一部分（稱為樣本）的性質，來推斷和預測總體的性質的一類有效方法概率論與數理統計之間的關系：數理統計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數據，以對所考察的問題做出推測和預測，直至采取一定的決策和行動提供依據和建

2、議的數學分支學科。統計方法的數學理論要用到很多近代數學知識，如函數論、拓撲學、矩陣代數、組合數學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這這樣說：概率論是數理統計的基礎，數理統計學是概率論的一種應用. 但是它們是兩個并列的數學分支學科，并無從屬關系前面講的知識都屬于概率論的范疇，在那里，隨機變量及其概率分布全面描述了隨機現象的統計規律性。在概率論的許多問題中，概率分布通常被假定為已知的，而一切的計算推理均基于這個已知的分布進行。例如，已知隨機變量 求其數學期望和方差這里的參數我們是假定已知的，在實際問題中事先 并不知道，需要我們自己去加以判定。再來看一個例子： 某公司要采購一批產品，每件產品要么是

3、正品，要么是次品。若設這批產品的次品率為p(一般是未知的),則從該批產品中隨機抽取一件，用X表示抽到的次品數，不難看出X服從0-1分布。當分布中的參數p是不知道的。而p的大小決定了該批產品的質量，它直接影響采購行為的經濟效益，因此人們對p提出一些問題，例如，“p的大小是多少？”，“p大概落在什么范圍內” 從這個例子中我們可以看出，在概率論中研究的隨機變量，它們的分布往往假定為已知的。但在實際問題中，我們所考察的隨機現象雖然可以用某個隨機變量X去描述它們，但隨機變量X的概率分布往往是未知的，這就需要我們用數理統計的方法來解決此類實際問題。一、總體與個體總體：研究對象的全體。如一批燈泡。個體：組成

4、總體的每個元素。如某個燈泡。注：對多數實際問題，總體中的個體是一些實在的人或物。比如，我們要研究某大學的學生身高情況，則該大學的全體學生構成問題的總體，而每個學生即是一個個體。 事實上，每個學生都有許多特征：性別、年齡、身高、體重等等，而在該問題中，我們關心的只是該校學生的身高如何，對其他的特征不予考慮。這樣，每個學生（個體）所具有的數量指標值身高就是個體，而將所有的身高全體看成總體。 6.2 總體和樣本 這樣一來，若拋開實際背景，總體就是一堆數，這堆數中有大有小，有的出現機會多，有的出現機會少，因此用一個概率分布去描述和歸納是恰當的 從這個意義上看，總體就是一個分布，而其數量指標就是服從這個

5、分布的隨機變量，以后說“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”是同一個意思。例1：考察某廠的產品質量，將其產品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則總體=該廠生產的全部合格品與不合格品=由0或1組成的一堆數 設P表示這堆數中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示XP011-PP不同的P反映了總體的差異。比如：兩個生產同類產品的工廠的產品總體分布為：XP010.9830.017XP010.9150.085 顯然第一個工廠的產品質量優于第二個工廠，但是在實際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對之進行估計是統計學要研究的問題。二、樣本樣本：為了了解總體的分布，我們從總

6、體中隨機地抽取n個個體，記其指標值為 , 則稱為總體的一個樣本，n稱為樣本容量，或簡稱樣本量，樣品：樣本中的個體例2：啤酒廠生產的瓶裝啤酒規定凈含量為640g,由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g。現從某廠生產的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結果：641 635 640 637 642 638 645 643 639 640這是一個容量為10的樣本的觀測值，對應的總體為該廠生產的瓶裝啤酒的凈含量。抽樣：從總體X中抽取有限個個體對總體進行觀察的取值過程。 從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對總體作出較可靠的推斷，就希望樣本能很好的代表總體。這就需要對抽

7、樣方法提出一些要求，最常用的是“簡單隨機抽樣”簡單隨機樣本：滿足以下兩個條件的隨機樣本(x1,x2,xn)稱為簡單隨機樣本。1. 樣本具有隨機性：每一個樣品Xi與總體X具有相同的分布（要求總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本）2. 樣本具有獨立性：x1,x2,xn是相互獨立的隨機變量（即要求樣本中每一個樣品的取值不影響其他樣品的取值）說明：后面提到的樣本均指簡單隨機樣本，由概率論知，若總體X具有密度函數f(x)，則樣本（x1,x2,xn）具有聯合密度函數：例3：設某種電燈泡的壽命X服從指數分布E(),其概率密度為則來自這一總體的簡單隨機樣本 的聯合概率密度為例4：考慮電話交換臺一小時內的呼喚

8、次數X,求來自這一總體的簡單隨機樣本 的樣本分布。解：由概率論知識，X服從泊松分布P(),其分布律為則來自這一總體的簡單隨機樣本 的聯合分布律為6.3 統計量及其分布 樣本來自總體，樣本觀測值中含有總體的各種信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中的有關總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對樣本進行加工，其中最常用的一種方法就是構造關于樣本的函數，不同的函數反映總體的不同特征。定義：設 為取自總體的樣本，若關于樣本的函數 中不含有任何未知參數，則稱T為統計量。統計量的分布稱為抽樣分布。例如：若x1,x2,xn為樣本，則 都是統計量；而當 未知時，都不是統計量。一

9、些常用的統計量一些常用的統計量例如：某單位收集到20名青年人某月的娛樂支出費用數據79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125樣本均值樣本方差樣本標準差-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4正態分布),(2smN密度函數：222)(21)(smsp-=xexp分布函數：dyexFyx222)(21)(smsp-=其中m為均值，2s為方差，+-x.標準正態分布：N（0，1）密度函數2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-=Fp， 分布函數 幾個在統計中常用

10、的概率分布 有許多統計推斷是基于正態分布總體的假設的，以標準正態變量為基石而構造的三個著名統計量在實際中有著廣泛的應用。這是因為這三個統計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數有明顯表達式，它們被稱為統計中的“三大抽樣分布”注：分位數的值可以人表中查到。注：分位數的值可以人表中查到。F分布F（10，50）的密度函數曲線注：分位數的值可以人表中查到。本章小結1. 總體、個體、簡單隨機樣本2. 統計量及其常用分布3. 分布、t分布、F分布4. 正態總體的抽樣分布總體、個體、簡單隨機樣本的概念，要求：識記考核的知識點1. 總體與樣本2. 統計量2.1 統計量的概念，要求：識記2.2 樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本矩的概念，要求：識記3. 幾種統計量的分別3.1 分布、t分