1、2.1 概述第二章 線性控制系統的動態分析2.2 線性定常系統狀態方程的求解2.3 線性時變連續系統狀態方程的求解（介紹）2.4 線性離散時間系統狀態方程的求解（提高）小 結1本 章 簡 介本章討論線性系統的運動分析。主要介紹時不變連續系統的狀態空間模型的求解、狀態轉移矩陣的性質和計算22.1 概述 建立了系統的數學描述之后，接著而來的是對系統作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統對給定輸入信號的響應問題，也就是對描述系統的狀態方程和輸出方程的求解問題。定性分析主要包括研究系統的結構性質，如能控性、能觀性、穩定性等。3本章先討論用狀態空間模型描述的線性系統的定量分析問題，即狀態空間模型-

2、狀態方程和輸出方程的求解問題。根據常微分方程理論求解一個一階定常線性微分方程組，通常是很容易的。可是求解一個時變的一階線性微分方程組卻非易事。（選學）狀態轉移矩陣的引入，從而使得定常系統和時變系統的求解公式具有一個統一的形式。為此，本章將重點討論狀態轉移矩陣的定義、性質和計算方法，并在此基礎上導出狀態方程的求解公式。4本章需解決的問題:線性定常連續系統狀態方程的解理論基本概念: 狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣和矩陣指數函數eAt的性質和計算重點與難點5求解狀態方程是進行動態系統分析與綜合的基礎，是進行定量分析的主要方法。本節講授的狀態方程求解理論是建立在狀態空間上，以矩陣代數運算來描述的定系數常微分

3、方程解理論。下面基于矩陣代數運算的狀態方程解理論中，引入了狀態轉移矩陣這一基本概念。該概念對我們深刻理解系統的動態特性、狀態的變遷(動態演變)等都是非常有幫助的，對該概念必須準確掌握和深入理解。2.2 線性定常連續系統狀態方程的解6本節需解決的主要問題狀態轉移矩陣?矩陣指數函數？狀態轉移矩陣和矩陣指數函數的性質齊次狀態方程的求解?非齊次狀態方程的求解?非齊次狀態方程解的各部分的意義？輸出方程的解？重點重點與難點7在討論一般線性定常連續系統狀態方程的解之前，先討論線性定常齊次狀態方程的解，以引入矩陣指數函數和狀態轉移矩陣等概念。所謂齊次狀態方程就是指狀態方程中不考慮輸入項(u(t)=0)的作用，

4、滿足方程解的齊次性。研究齊次狀態方程的解就是研究系統本身在無外力作用下的自由(自治)運動。所謂非齊次狀態方程就是指狀態方程中輸入項的作用，狀態方程解對輸入具有非齊次性。研究非齊次狀態方程的解就是研究系統在外力作用下的強迫運動。8下面，將依次分別討論:齊次狀態方程的解線性定常連續系統的狀態轉移矩陣線性定常連續系統非齊次狀態方程的解92.2.1 線性定常齊次狀態方程的解齊次方程就是指滿足解的齊次性的方程，即若x是方程的解，則對任意非零的實數a,ax亦是該方程的解。所謂齊次狀態方程，即為下列不考慮輸入的自治方程x=Ax齊次狀態方程滿足初始狀態對上述齊次狀態方程,常用的常微分方程求解方法有級數展開法和

5、拉氏變換法 2種。 101. 級數展開法在求解齊次狀態方程式之前，首先觀察標量常微分方程在初始時刻t0=0的解。該方程中x(t)為標量變量，a為常數。由常微分方程理論知，該方程的解連續可微。因此，該解經泰勒展開可表征為無窮級數，即有式中， qk(k=1,2,.)為待定級數展開系數。 11將所設解代入該微分方程,可得 如果所設解是方程的真實解，則對任意t，上式均成立。因此，使t有相同冪次項的各項系數相等，即可求得令x(t)的解表達式中t=0，可確定q0=x(0)因此， x(t)的解表達式可寫為12上述求解標量微分方程的級數展開法，可推廣至求解向量狀態方程的解。為此，設其解為t的向量冪級數，即 x

6、(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+式中， qk(k=1,2,.)為待定級數展開系數向量。將所設解代入該向量狀態方程x=Ax，可得q1+2q2t+3q3t2 +kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+)如果所設解是方程的真實解，則對任意t，上式均成立。因此，使t有相同冪次項的各項系數相等，即可求得13若初始時刻t0=0，初始狀態x(0)=x0，則可確定q0=x(0)=x0因此，狀態x(t)的解可寫為該方程右邊括號里的展開式是nn維矩陣函數。由于它類似于標量指數函數的無窮級數展開式，所以稱為矩陣指數函數，且記為利用矩陣指數函數符號，齊次狀態方程的解可寫為：x(t)=eAt

7、x0142拉氏變換法若將對標量函數拉氏變換的定義擴展到向量函數和矩陣函數，定義對向量函數和矩陣函數的拉氏變換為分別對該向量函數和矩陣函數的各個元素求相應的拉氏變換，那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態方程的解。對該齊次狀態方程x=Ax，設初始時刻t0=0且初始狀態x(t)=x0，對方程兩邊取拉氏變換，可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得該齊次狀態方程的解x(t)的拉氏變換為 X(s)=(sI-A)-1x015對上式取拉氏反變換，即得齊次狀態方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0下面討論如何求解拉氏反變換L-1(sI-A)-1。主要思想為將標量函數的拉氏變換與反變換平行

8、推廣至矩陣函數中。對標量函數，我們有16將上述關系式推廣到矩陣函數則有其中eAt稱為時間t的矩陣指數函數，并有17因此，基于上述(sI-A)-1的拉氏反變換，該齊次方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0上述拉氏反變換法求解結果與前面的級數展開法求解結果一致。若初始時刻t00，對上述齊次狀態方程的解作坐標變換，則可得解的另一種表述形式:狀態方程的解表達式說明了齊次狀態方程的解實質上是初始狀態x(t0)從初始時刻t0到時刻t系統運動狀態的轉移，其轉移特性和時刻t的狀態完全由矩陣指數函數 和初始狀態x(t0)所決定。18解 (1) 首先求出矩陣指數函數eAt，其計算過程為【

9、例1】試求如下狀態方程在初始狀態x0下的解19(3) 狀態方程的解為(2) 計算矩陣指數函數eAt。20為討論方便，引入能描述系統狀態轉移特性的線性定常連續系統的狀態轉移矩陣如下:(t)=eAt因此,有如下關系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述狀態轉移矩陣定義和齊次狀態方程的解，系統狀態轉移矩陣有如下關系(t)=L-1(sI-A)-121齊次狀態方程的解描述了線性定常連續系統的自由運動。由解的表達式可以看出，系統自由運動的軌線是由從初始時刻的初始狀態到t時刻的狀態的轉移刻劃的，如圖2-1所示。圖2-1 狀態轉移特性22當初始狀態給定以后，系統的狀態轉移特性就完全由狀態轉移矩陣

10、所決定。所以，狀態轉移矩陣包含了系統自由運動的全部信息。可見，狀態轉移矩陣的計算是齊次狀態方程求解的關鍵。232.2.2 線性定常連續系統的狀態轉移矩陣下面進一步討論前面引入的狀態轉移矩陣,主要內容為:基本定義矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質241. 基本定義定義2-1 對于線性定常連續系統x=Ax,當初始時刻t0=0時，滿足如下矩陣微分方程和初始條件:(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)為線性定常連續系統x=Ax的狀態轉移矩陣。這里定義的狀態轉移矩陣與前面定義的是一致的。引入上述狀態轉移矩陣新定義，主要是為了使狀態轉移矩陣的概念易于推廣到時變系統、離散系統等，使得有可能對各種類

11、型系統的狀態方程的解作統一描述，更好地刻劃系統狀態運動變化的規律。25當系統矩陣A為nn維方陣時,狀態轉移矩陣(t)亦為nn維方陣,且其元素為時間t的函數。下面討論幾種特殊形式的系統矩陣A的狀態轉移矩陣1) 對角線矩陣。 當A為如下對角線矩陣:A=diag1 2 n 則狀態轉移矩陣為 式中，diag表示由括號內元素組成對角線矩陣。262) 塊對角矩陣。當A為如下塊對角矩陣:A=block-diagA1 A2 Al其中Ai為mimi維的分塊矩陣,則狀態轉移矩陣為式中，block-diag表示由括號內各方塊矩陣組成塊對角矩陣。273) 約旦塊矩陣。當Ai為特征值為i的mimi維約旦塊,則分塊矩陣的

12、矩陣指數函數為對上述三種特殊形式矩陣的狀態轉移矩陣和矩陣指數函數,可利用矩陣指數函數的展開式證明。282. 矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質由矩陣指數函數的展開式和狀態轉移矩陣的定義,可證明矩陣指數函數和狀態轉移矩陣具有如下性質(t)為方陣A的狀態轉移矩陣)1) (0)=eA0=I292) eA(t+s)=eAteAs ， (t+s)=(t)(s)式中t和s為兩個獨立的標量自變量證明 由指數矩陣函數的展開式,有3) (t2-t1)-1=(t1-t2)304) 對于nn階的方陣A和B,下式僅當AB=BA時才成立e(A+B)t=eAteBt5) 6) (t)n=(nt)7) (t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0) 31由狀態轉移矩陣的意義，有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1