1、MATLAB-ch020（線性控制系統分析與設計）第20講 線性控制系統分析與設計內容提要：重點及難點： 自從MATLAB出現以來，它強大的矩陣運算和圖形可視化的功能以及豐富的工具箱，使其成為控制界最流行和最廣泛使用的系統分析和設計工具。 MATLAB中具有豐富的可用于控制系統分析和設計的函數；MATLAB的控制系統工具箱(Control System Toolbox)可以提供對線性系統分析、設計和建模的各種算法；MATLAB的系統辨識工具箱(System Identification Toolbox)可以對控制對象的未知模型進行辨識和建模。 本章主要使用控制系統工具箱對于線性時不變系統（LT

2、I）進行分析和設計，可以處理連續的和離散的系統，使用傳遞函數或狀態空間法來描述系統。分析方法有時域、頻域和根軌跡法等。20.1 線性系統的描述 在分析和設計控制系統之前，需要對系統的數學模型進行描述，下面對單變量連續的反饋控制系統進行描述。一、狀態空間描述法 1、用狀態空間描述系統方程 狀態空間描述法是使用狀態方程模型來描述控制系統，狀態方程為一階微分方程，用數學形式描述為： （20.1.1）其中：，C=c1 c2 cn，D=d。 例如，二階系統，可以用狀態方程描述為： （20.1.2） 則： 寫成矩陣形式： （20.1.3） 另外，系統的狀態方程也可以表示為： （20.1.4） 2、ss函數

3、和dss函數 MATLAB中狀態方程模型的建立使用ss和dss命令。 調用格式： （1）G=ss(a,b,c,d) 由a，b，c，d參數獲得狀態方程模型 （2）G=dss(a,b,c,d,e) 由a，b，c，d，e參數獲得狀態方程模型二、傳遞函數描述法 1、用傳遞函數描述系統方程 傳遞函數是由線性微分方程經過Laplace變換得出的，Laplace變換得出控制系統的數學描述為： （20.1.5） 傳遞函數表示為有理函數形式為： （20.1.6） 2、tf函數 MATLAB中使用tf命令來建立傳遞函數。 【調用格式】： G=tf(num, den) 由傳遞函數分子分母得出其中：num為分子向量，

4、num=bl,b2,bm,bm+1；den為分母向量，den=al,a2,an-1,an。三、零-極點描述法 1、用零-極點描述系統方程 零-極點描述法是線性系統的另一種數學模型，是將傳遞函數的分子分母多項式進行因式分解。 傳遞函數的零極點形式為： （20.1.7）其中：k是系統增益，zi（i=1,2,）是系統零點，pj（j=1,2,）是系統極點。 2、zpk函數 MATLAB中使用zpk命令可以實現由零極點得到傳遞函數模型。 【調用格式】： G=zpk(z, p, k) 由零點、極點和增益獲得其中：z為零點列向量；p為極點列向量；k為增益。四、部分分式法 1、部分分式法描述系統方程 控制系統

5、的傳遞函數也可以用部分分式法表示，部分分式法可以歸類于零極點增益描述法，部分分式法是將傳遞函數表示成部分分式或留數形式： （20.1.8） 2、residue函數 在MATLAB中可以使用residue命令來實現由傳遞函數得出部分分式的極點和系數。 例20-1example20_1.m 寫出二階系統，=0.707，n=1時的狀態方程。 （1）狀態方程描述zeta=0.707; wn=1;A=0 1;-wn2-2*zeta*wn;B=0;wn2;C=1 0;D=0;G=ss(A,B,C,D) %建立狀態方程 a= x1 x2 x1 0 1 x2 -1 -1.414 b= u1 x1 0 x2 1

6、 c= x1 x2 y1 1 0 d= u1 y1 0 Continuous-time model （2）傳遞函數描述num=1;den=1 1.414 1;G=tf(num, den) 得出傳遞函數 Transfer function 1- s2+1.414s+1 （3）得出二階系統的零極點，并得出傳遞函數。z=roots(num) z= Empty matrix:0-by-1p=roots(den) %roots函數可以得出多項式的根，零極點形式是以實數形式表示的 p= -0.7070+0.7072i -0.7070-0.7072izpk(z, p, 1) Zero/pole/gain 1

7、- (s2+1.414s+1) （4）將傳遞函數轉換成部分分式法，得出各系數。r, p, k=residue(num, den) r= 0-0.7070i 0+0.7070i p= -0.7070+0.7072i -0.7070-0.7072i k= 五、離散系統的數學描述 在MATLAB中，線性的離散系統和連續系統一樣，也有狀態空間、Z變換脈沖傳遞函數、零極點增益等多種描述方式。 1、狀態空間描述法 線性時不變離散系統可以用一組差分方程來表示： （20.1.9）其中：u為輸入向量，x為狀態向量，y為輸出向量，n為采樣時刻。 狀態空間描述離散系統也可使用ss和dss命令。 語法： （1）G=s

8、s(a, b, c, d,Ts) 由a，b，c，d參數獲得狀態方程模型 （2）G=dss(a, b, c, d, e, Ts) 由a，b，c，d，e參數獲得狀態方程模型其中：Ts為采樣周期，為標量，當采樣周期未指明可以用-1表示。 例20-2Example20_2.m 用狀態空間法建立離散系統。a=-1.5 -0.5;1 0;b=1;0;c=0 0.5;d=0;G=ss(a, b, c, d, 0.1) %采樣周期為0.1s a= x1 x2 x1 -1.5 -0.5 x2 1 0 b= u1 x1 1 x2 0 c= x1 x2 y1 0 0.5 d= u1 y1 0 Sampling ti

9、me: 0.1 Discrete-time model 2、脈沖傳遞函數描述法 將離散系統的狀態方程描述變換為脈沖傳遞函數，脈沖傳遞函數的等效表達式為： （20.1.10） 其脈沖傳遞函數形式為： （20.1.11） （1）tf函數 脈沖傳遞函數也可以用tf命令實現。 語法： G=tf(num, den, Ts) 由分子分母得出脈沖傳遞函數其中：Ts為采樣周期，為標量，當采樣周期未指明可以用-1表示，自變量用z表示。 （2）filt函數 MATLAB中還可以用filt命令產生脈沖傳遞函數。 語法： G=filt(num, den, Ts) 由分子分母得出脈沖傳遞函數其中：Ts為采樣周期，當采樣

10、周期未指明Ts可以省略，也可以用-1表示，自變量用z-1表示。 3、零-極點增益描述法 將脈沖傳遞函數因式分解得出零-極點增益形式： （20.1.12） 離散系統的零-極點增益用zpk命令實現。 語法： G=zpk(z, p, k, Ts) 由零-極點得出脈沖傳遞函數 4、分部分式法 由脈沖傳遞函數轉換為部分分式或留數形式為： （20.1.13） 離散系統的部分分式描述的獲得和連續系統一樣，直接由脈沖傳遞函數通過residue命令獲得。 例20-3Example20_3.m 創建離散系統脈沖傳遞函數。 （1）使用tf函數numl=0.5 0;den=1 -1.5 0.5;Gl=tf(num1,

11、 den, -1) Transfer function 0.5z- z2-1.5z+0.5 Sampling time: unspecified （2）使用filt命令產生脈沖傳遞函數。num2=0 0.5;G2=filt(num2, den) Transfer function: 0.5z-1- 1-1.5z-1+0.5z-2 Sampling time: unspecified （3）使用zpk命令產生零-極點增益傳遞函數。G3=zpk(0, 0.5 1, 0.5, -1) Zero/pole/gain: 0.5z- (z-0.5)(z-1) Sampling time: unspecif

12、ied 程序說明：用filt命令生成的脈沖傳遞函數的自變量不是z而是z-1，因此分子應改為“0 0.5”。20.2 線性系統模型之間的轉換 線性系統模型的不同描述方法之間存在內在的等效關系，因此都可以相互轉換；連續系統和離散系統之間的轉換也是很常用的，MATLAB提供了相互轉換的命令。一、連續系統模型之間的轉換 對于線性控制系統的狀態空間描述法、傳遞函數描述法和零-極點增益描述法之間都可以相互轉換，每一種都可以轉換成另一種，因為它們都是等效的。 在MATLAB中，線性系統模型轉換的函數如表20-1所示。表20-1 線性系統模型轉換函數表函數調用格式功能tf2ssa, b, c, d=tf2ss

13、(num, den)傳遞函數轉換為狀態空間tf2zpz, p, k=tf2zp(num, den)傳遞函數轉換為零-極點描述ss2tfnum, den=ss2tf(a, b, c, d, iu)狀態空間轉換為傳遞函數ss2zpz, p, k=ss2zp(a, b, c, d, iu)狀態空間轉換為零-極點描述zp2ssa, b, c, d=zp2ss(z, p, k)零-極點描述轉換為狀態空間zp2tfnum, den=zp2tf(z, p, k)零-極點描述轉換為傳遞函數 說明：a，b，c，d是狀態空間以可控標準型的形式給出的；iu為第幾個輸入信號；num和den分別是傳遞函數的分子多項式和

14、分母多項式的系數向量；z為零點列向量，p為極點列向量；k為增益。 1、系統模型的轉換 （1）狀態空間模型的獲得 從數組角度來說，尤其是對于高階系統，狀態空間描述對象的性能最好。由命令ss和dss實現將傳遞函數和零-極點增益轉換為狀態空間模型。 語法： G=ss(傳遞函數) 由傳遞函數轉換獲得 G=dss(零-極點模型) 由零-極點模型轉換獲得 （2）傳遞函數的獲得 由tf命令實現將系統的狀態空間法和零-極點增益模型轉換為傳遞函數。 語法： G=tf(狀態方程模型) 由狀態空間轉換 G=tf(零-極點模型) 由零-極點摸型轉換 （3）零-極點模型的獲得 由zpk命令實現將狀態空間法、傳遞函數轉換

15、為零-極點模型。 語法： G=zpk(狀態方程模型) %狀態方程模型轉換 G=zpk(傳遞函數) %由傳遞函數轉換 2、模型參數的獲取 MATLAB還提供了專門獲取各種模型參數的命令，有ssdata，dssdata，tfdata和zpkdata，都是在獲取模型的命令后面加“data”。 語法： （1）a, b, c, d=ssdata(G) 獲取狀態空間參數 （2）a, b, c, d, e=dssdata(G) 獲取狀態空間參數 （3）num, den=tfdata(G) 獲取傳遞函數參數 （4）z, p, k=zpkdata(G) 獲取零-極點參數 3、模型類型的檢驗 MATLAB提供了多

16、個函數可以檢驗各種模型的類型，如表20-2所示。表20-2 模型類型檢驗函數表函數調用格式功能classclass(G)得出系統模型的類型isaisa(G, 類型名)判斷G是否對應的類型名，是則為1（True）isctisct(G)判斷G是否連續系統，是則為1（True）isdtisdt(G)判斷G是否離散系統，是則為1（True）issisoissiso(G)判斷G是否SISO系統，是則為1（True） 例20-6example20_6 將單輸入、雙輸出的系統傳遞函數轉換為狀態空間描述。 解：（1）由傳遞函數轉換為狀態空間描述num=0 3 2;1 2 3;den=3 5 2 1;G11=t

17、f(num(1,:), den) Transfer function: 3s+2- 3s3+5s2+2s+lG12=tf(num(2,:), den) Transfer function: s2+2s+3- 3s3+5s2+2s+1G=ss(G11;G12) a= xl x2 x3 x1 -1.667 -0.3333 -0.1667 x2 2 0 0 x3 0 1 0 b= u1 x1 1 x2 0 x3 0 c= x1 x2 x3 y1 0 0.5 0.3333 y2 0.3333 0.3333 0.5 d= u1 y1 0 y2 0 Continuous-time model. （2）由狀

18、態空間描述轉換為傳遞函數Gl=tf(G) Transfer function from input to output s+0.6666 #1: - s3+1.667s2+0.6666s+0.3334 0.3333s2+0.6666s+1 #2: - s3+1.667s2+0.6666s+0.3334 （3）由傳遞函數和狀態方程模型轉換為零-極點模型G2=zpk(G) %由狀態方程模型轉換 Zero/pole/gain from input to output (s+0.6666) #1: - (s+1.357)(s2+0.3102s+0.2457) 0.3333(s2+2s+3) #2:-

19、(s+1.357)(s2+0.3102s+0.2457)G2=zpk(G1); %由傳遞函數轉換 （4）獲取各模型的參數a, b, c, d=ssdata(G1) 獲取狀態方程參數 a= -1.6670e+000 -3.3330e-001 -1.6670e-001 2.000e+000 0 0 0 1.0000e+000 0 b= 1 0 0 c= 0 5.0000e-001 3.3330e-001 3.3330e-001 3.3330e-001 5.0000e-001 d= 0 0num, den=tfdata(G2) 獲取傳遞函數參數 num= 14 double 14 double de

20、n= 14 double 14 doublez, p, k=zpkdata(G) %獲取零-極點參數 z= -6.6660e-001 2l double p= 31 double 31 double k= 1.0000e+000 3.3330e-001 注意：tfdata獲取的傳遞函數的參數num和den都是元胞數組。 （5）檢驗模型的類型class(G) %得出系統模型類型 ans= ssisa(G,tf) %檢驗系統模型類型 ans= 0二、連續系統與離散系統之間的轉換 隨著控制系統中計算機的廣泛應用，系統經常由連續系統部分和離散系統部分連接構成，使用A/D和D/A轉換連接連續和離散的部分

21、。因此幾乎沒有一個采樣系統可以完全用差分方程來表示，在分析系統時必須將連續系統轉換為性能相當的離散系統。 MATLAB控制工具箱提供了c2d，d2c和d2d命令實現復雜的相互轉換。 1、c2d命令 c2d命令用于將連續系統轉換為離散系統。 語法： Gd=c2d(G, Ts, method) %以采樣周期Ts和method方法轉換為離散系統其中：G為連續系統模型；Gd為離散系統模型；Ts為采樣周期；method為轉換方法，可省略，包括5種方法：zoh(默認零階保持器)、foh(一階保持器)、tustin(雙線性變換法)、prewarp(頻率預修正雙線性變換法)、mached(根匹配法)。 2、d

22、2c命令 d2c命令是c2d的逆運算，用于將離散系統轉換為連續系統。 語法： G=d2c(Gd,method) %轉換為連續系統其中：method為轉換方法，可省略，與c2d相似，只是少了foh(一階保持器)方法。 3、d2d命令 d2d命令是將離散系統改變采樣頻率。 語法： Gd2=d2d(Gdl,Ts2) %轉換離散系統的采樣頻率為Ts2 【說明】： 其實際的轉換過程是先把Gdl按零階保持器轉換為原連續系統，然后再用Ts2和零階保持器轉換為Gd2。 例20-8example20_8.m （1）將二階連續系統轉換為離散系統。a=0 1;-1 -1.414;b=0;1;c=1 0;d=0;G=

23、ss(a, b, c, d);Gd=c2d(G, 0.1) a= x1 x2 x1 0.9952 0.0931 x2 -0.0931 0.8636 b= u1 x1 0.004768 x2 0.0931 c= x1 x2 y1 1 0 d= u1 y1 0 Sampling time: 0.1 Discrete-time model （2）將二階離散系統轉換為連續系統。G=d2c(Gd) a= x1 x2 x1 5.51e-016 1 x2 -1 -1.414 b= u1 x1 -2.776e-016 x2 1 c= x1 x2 y1 1 0 d= u1 y1 0 Continuous-tim

24、e model. （3）將二階離散系統改變采樣頻率Gd2=d2d(Gd,0.3) a= x1 x2 x1 0.961 0.2408 x2 -0.2408 0.6205 b= u1 x1 0.03897 x2 0.2408 c= x1 x2 y1 1 0 d= u1 y1 0 Sampling time: 0.3 Disarete-time model.三、模型對象的屬性 MATLAB的控制工具箱中規定了線性時不變系統的3種子對象ss(狀態空間)、tf(傳遞函數)和zpk(零-極點增益)。每種對象都對應有自己的屬性和方法。 1、模型對象的屬性 ss，tf和zpk對象除了具有線性時不變系統共有的屬

25、性以外，還具有其各自的屬性，共有屬性如表20-3所示，其各自的屬性如表20-4所示。 在表20-3和表20-4中的3種子對象的屬性，在前面都已使用過，MATLAB提供了get和set命令對屬性進行獲取和修改。表20-3 對象共有屬性屬性名屬性值的數據類型意義Ts標量采樣周期，為0表示連續系統；為-1表示采樣周期未定Td數組輸入延時，僅對連續系統有效，省略表示無延時InputName字符串數組輸入變量名OutputName字符串數組輸入變量名Notes字符串描述模型的文本說明Userdata任意數據類型用戶需要的其他數據表20-4 3種子對象特有屬性對象名屬性名屬性值的數據類型意義tfden行數

26、組組成的單元列陣傳遞函數分母系數num行數組組成的單元列陣傳遞函數分子系數variables,p,z,q,z-1之一傳遞函數變量ssa矩陣系數b矩陣系數c矩陣系數c矩陣系數e矩陣系數StateName字符串向量用于定義每個狀態變量的名稱zpkz矩陣零點p矩陣極點k矩陣增益variables,p,z,z-1之一零-極點增益模型變量 2、get命令 get命令可以獲取模型對象的所有屬性。 語法： get(G) 獲取對象的所有屬性值 get(G,PropertyName,) 獲取對象的某些屬性值其中：G為模型對象名；PropertyName為屬性名。 3、set命令 set命令用于修改對象屬性名。

27、語法： set(G, PropertyName, Propertyvalue,) 修改對象的某些屬性值 4、直接獲取和修改屬性 根據對象和屬性的關系，也可以直接用“”符號來獲取和修改屬性。 例20-9 已知二階系統的傳遞函數G(s)=1/(s2+1.414s+1)，獲取其傳遞函數模型的屬性，并將傳遞函數修改為1/(z2+2z+1)。 （1）獲取傳遞函數模型的屬性num=1;den=1 1.414 1;G=tf(num, den);get(G) 獲取所有屬性 num: 0 0 1 den: 1 1.41 1 Variable: s Ts: 0 ioDelay: 0 InputDelay: 0 O

28、utputDelay: 0 InputName: OutputName; InpuGroup: 02 cell OutputGroup: 02 cell Notes: UserData: set(G, den, 1 2 1, Variable, z) %設置屬性G Transfer function: 1- z2+2z+1 Sampling time: unspecified （2）將上面的傳遞函數模型對象的分母修改為原來的值。G.dm=1 1.414 1;G Transfer function: 1- z2+1.414z+1 Sampling time: unspecified20.3 結構

29、框圖的模型表示 控制系統的模型通常是由相互連接的模塊構成的，模塊通過串聯、并聯和反饋環節構成結構框圖。MATLAB提供了由復雜的結構框圖得出傳遞函數的方法。一、串聯結構 SISO的串聯結構是兩個模塊串聯在一起，如圖20-1所示。圖20-1 串聯結構 實現串聯結構傳遞函數的命令： G=G1*G2 G=series(G1, G2)二、并聯結構圖20-2 并聯結構 SISO的并聯結構是兩個模塊并聯在一起，如圖20-2所示。 實現并聯結構傳遞函數的命令： G=G1+G2 G=parallel(G1, G2)三、反饋結構 反饋結構是前向通道和反饋通道模塊構成正反饋和負反饋，如圖20-3所示。圖20-3

30、反饋結構 實現反饋結構傳遞函數的命令： G=feedback(G1,G2,Sign)其中：Sign=-1或省略，則表示為負反饋，否則表示為正反饋。 例20-11 根據系統的結構框圖求出整個系統的傳遞函數，結構框圖如圖20-4所示，G1(s)=1/(s2+2s+1)，G2(s)=1/(s+1)，G3(s)=1/(2s+1)，G4(s)=1/s。圖20-4 結構框圖 解：Gl=tf(1, 1 2 1) Tramfer function: 1- s2+2s+1G2=tf(1, 1 1);G3=tf(1, 2 1);G4=tf(1, 1 0);G12=G1+G2 并聯結構 Transfer funct

31、ion: S2+3s+2- s3+3s2+3s+1G34=G3+C4 %并聯結構 Tramfer function: -s-1- 2s2+sG=feedback(G12,G34,-1) %反饋結構 Transfer function: 2s4+7s3+7s2+2s- 235+7s4+8s3+s2-4s-2 【注意】： 如果在進行串聯、并聯和反饋連接的模塊時，不是都用同一種描述方式，而是有的用傳遞函數，有的用狀態空間或零極點增益描述，則進行連接合并后總系統的模型描述方式按照：狀態空間描述法零極點增益描述法傳遞函數描述法的順序來確定。 例如，上圖的兩個并聯結構G1和G2，如果G1用狀態空間描述，則

32、并聯運算的結果也是用狀態空間法描述：G1=ss(tf(1, 1 2 1); %狀態空間描述G2=tf(1, 1 1);G1+G2 a= x1 x2 x3 x1 -2 -1 0 x2 1 0 0 x3 0 0 -1 b= u1 x1 1 x2 0 x3 1 c= x1 x2 x3 y1 0 1 1 d= ul y1 0 Continuous-time:model.四、復雜的結構框圖 在實際應用中經常遇到更復雜的結構框圖，結構框圖中出現相互連接交叉的模塊，MATLAB提供了處理復雜模型的方法。 求取復雜結構框圖的數學模型的步驟： （1）將各模塊的通路排序編號； （2）建立無連接的數學模型：使用ap

33、pend命令實現各模塊未連接的系統矩陣。 G=append(G1, G2, G3, ) （3）指定連接關系：寫出各通路的輸入、輸出關系矩陣Q，第1列是模塊通路編號，從第2列開始的幾列分別為進入該模塊的所有通路編號；INPUTS變量存儲輸入信號所加入的通路編號；OUTPUTS變量存儲輸出信號所在通路編號。圖20-5 系統結構框圖 （4）使用connect命令構造整個系統的模型。 Sys=connect(G, Q, INPUTS, OUTPUTS) 如果各模塊都使用傳遞函數，也可以用blkbuild命令建立無連接的數學模型，則第2步修改為：將各通路的信息存放在變量中：通路數放在nblocks，各通

34、路傳遞函數的分子和分母分別放在不同的變量中；用blkbuild命令求取系統的狀態方程模型。 例20-13 根據如圖20-5所示的系統結構框圖，求出系統總的傳遞函數。 解： 方法一：使用append命令。 （1）將各模塊的通路排序編號，如圖20-6所示為信號流圖。 （2）使用append命令實現各模塊未連接的系統矩陣。Gl=tf(1, 1 0);G2=tf(1, 1 1 0);G3=tf(1, 1 1 0);圖20-6 信號流圖G4=tf(-2, 1);G5=tf(-1, 1);G6=tf(1, 1 0);G7=tf(-1, 1 1);Sym=append(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G

35、7) Transfer function from input 1 to output 1 #1: - s #2: 0 #3: 0 #4: 0 #5: 0 #6: 0 #7: 0 Transfer function from input 2 to output #1: 0 1 #2: - s2+s #3: 0 #4: 0 #5: 0 #6: 0 #7: 0 【程序分析】： 將每個模塊用append命令放在一個系統矩陣中，可以看到Sys模塊存放了7個模塊的傳遞函數。為了節省篇幅，在此未列出完整的Sys模塊。 （3）指定連接關系Q=1 6 5; %通路1的輸入信號為通路6和通路5 2 1 7; %

36、通路2的輸入信號為通路l和通路7 3 2 0; %通路3的輸入信號為通路2 4 3 0; 5 4 0; 6 2 0; 7 3 0;INPUTS=1; %系統總輸入由通路1輸人OUTPUTS=4; %系統總輸出由通路4輸出 【程序分析】：Q矩陣建立了各通路之間的關系，共有7行；每行的第l列為通路號，從第2列開始為各通路輸入信號的通路號；INPUTS變量存放系統輸入信號的通路號；OUTPUTS變量存放系統輸出信號的通路號。 （4）使用connect命令構造整個系統的模型。G=connect(Sys, Q, INPUTS, OUTPUTS) Transfer function: -2s2-2s- s

37、7+3s6+3s5+s4-s3-3s2-3s-6.661e-016 【程序分析】：用connect命令完成整個系統的傳遞函數模型。 方法二：從第2步開始使用blkbuild命令來實現。 （1）將各通路的信息存放在變量中。nblocks=7; %通路數為7nl=l; d1=1 0; %通路1的分子和分母n2=l; d2=1 1 0;n3=l; d3=1 1 0;n4=-2; d4=1;n5=-1; d5=1;n6=l; d2=1 0;n7=-l; d7=1 1; 【程序分析】：通路數nblccks為7；各通路傳遞函數的分子存放在變量ni，分母存放在變量di。 用blkbuild命令求取系統的狀態

38、方程模型：blkbuild State modela, b, c, d of the block diagram has 7 inputs and 7 outputs. 【程序分析】：增廣狀態方程模型即7條通路的輸入、輸出信號狀態模型建立了，存放在a，b，c，d變量中。 （2）建立連接矩陣Q指定連接關系，Q矩陣同前面。 （3）使用connect命令構造整個系統的模型。A, B, C, D=connect(a, b, c, d, Q, INPUTS, OUTPUTS)20.4 線性系統的時域分析 線性系統的時域分析是主要分析系統在給定的典型輸入信號作用下，在時域的暫態和穩態響應，以及系統的穩定性

39、。一、零輸入響應分析 系統的輸出響應由零輸入響應和零狀態響應組成，零輸入響應是指系統的輸入信號為零。系統的輸出是由初始狀態產生的響應。 1、連續系統的零輸入響應 MATLAB中使用initial命令來計算和顯示連續系統的零輸入響應。 語法： （1）initial(G,x0,Ts) %繪制系統的零輸入響應曲線 （2）initial(G1,G2,x0,Ts) %繪制系統多個系統的零輸入響應曲線 （3）y,t,x=initial(G,x0,Ts) %得出零輸入響應、時間和狀態變量響應其中：G為系統模型，必須是狀態空間模型；x0是初始條件；Ts為時間點，如果是標量則為終止時間，如果是數組，則為計算的時

40、刻，可省略；y為輸出響應；t為時間向量（可省略）；x為狀態變量響應（可省略）。 2、離散系統的脈沖響應 離散系統表示為：，離散系統的零輸入響應使用dinitial命令實現。 語法： （1）dinitial(a, b, c, d, x0) %繪制離散系統零輸入響應 （2）y=dinitial(a, b, c, d, x0) %得出離散系統的零輸入響應 （3）y, x, n=dinitial(a, b, c, d, x0) %得出離散系統n點的零輸入響應其中：a，b，c，d為狀態空間的系數矩陣；x0為初始條件；y為輸出響應；t為時間向量；x為狀態變量響應；n為點數。二、脈沖響應分析 理想的脈沖函數

41、(t)為Dirac函數， 1、連續系統的脈沖響應 連續系統的脈沖響應由impluse命令來得出。 語法： （1）impulse(G, Ts) %繪制系統的脈沖響應曲線 （2）y,t,x=impulse(G,Ts) %得出脈沖響應其中：G為系統模型，可以是傳遞函數、狀態方程、零-極點增益的形式；y為時間響應；t為時間向量；x為狀態變量響應，t和x可省略；Ts為時間點（可省略）。 例20-15某反饋系統，前向通道的傳遞函數為Gl=12/(s+4)，反饋通道傳遞函數為H=1/(s+3)。圖20-7 零輸入響應曲線 解：（1）求出其初始條件為12時的零輸入響應，其曲線如圖20-7所示。Gl=tf(12

42、, 1 4);H=tf(1, 1 3);GG=feedback(G1, H) Transfer function: 12s+36 S2+7S+24G=ss(GG);initial(G,1 2) %繪制零輸入響應 （2）求出初始條件為0，該系統的單位脈沖響應并畫曲線，如圖20-8所示。impulse(G) %繪制脈沖響應曲線t=0:0.1:10;圖20-8 脈沖響應曲線y=impulse(G,t) %根據時間，得出脈沖響應 2、離散系統的脈沖響應 離散系統的脈沖響應使用dimpulse命令實現。 語法： （1）dimpulse(a,b,c,d,iu) %繪制離散系統脈沖響應曲線 （2）y,x=d

43、impulse(a,b,c,d,iu,n) 得出n點離散系統的脈沖響應 （3）y,x=dimpulse(num,den,iu,n) %由傳遞函數得出n點離散系統的脈沖響應其中：iu為第幾個輸入信號；n為要計算脈沖響應的點數；y的列數與n對應；x為狀態變量，可省略。 例20-18 根據系統數學模型，得出離散系統的脈沖響應，如圖20-9所示。圖20-9 離散系統脈沖響應曲線a=-2 0;0 3;b=1;1;c=1 4;d=1;dimpluse(a,b,c,d,1,10) %繪制離散系統脈沖響應的10個點三、階躍響應分析 階躍信號的定義為： 1、連續階躍響應 階躍響應可以用step命令來實現。 語法

44、： （1）step(G,Ts) 繪制系統的階躍響應曲線 （2）y,t,x1=step(G,Ts) 得出階躍響應 【說明】： 參數設置與impulse命令相同。 例20-19根據例20-11的系統模型得出階躍響應曲線，如圖20-10所示。圖20-10 階躍響應曲線Gl=tf(12,1 4);H=tf(1,1 3);G=feedback(G1,H) Transfer function: 12s+36 s2+7s+24step(G) %繪制階躍響應曲線 可以由step命令根據時間t的步長不同，得出不同的階躍響應波形，如圖20-11所示。t1=0:0.1:5;(a)階躍響應曲線 (b)步長增大的階躍響

45、應曲線圖20-11 不同的階躍響應曲線y1=step(G,t1);plot(t1,y1)t2=0:0.5:5;y2=step(G,t2);plot(t2,y2) 2、離散系統的階躍響應 離散系統階躍響應使用dstep命令來實現，語法規則與dimpluse相同。四、任意輸入的響應圖20-12 正弦輸入信號的輸出響應 1、連續系統的任意輸入響應 連續系統對任意輸入的響應用lsim命令來實現。 語法： （1）lsim(G,U,Ts) %繪制系統的任意響應曲線 （2）lsim(G1,G2,U,Ts) %繪制多個系統任意響應曲線 （3）y,t,x=lsim(G,U,Ts) %得出任意響應其中：U為輸入序

46、列，每一列對應一個輸入；Ts為時間點，U的行數和Ts相對應；參數t和x可省略。 例20-20根據輸入信號和系統的數學模型，得出任意輸入的輸出響應，輸入信號為正弦信號，系統為阻尼系數變化的二階系統，輸出響應如圖20-12所示。t=0:0.1:5;u=sin(t);G1=tf(1, 1 1.41 1) Transfer function: 1- s2+1.41s+1G2=tf(1,1 0.6 1) Transfer function: 1- s2+0.6s+1Lsim(G1, r, G2,bo,u,t) 繪制兩個系統的正弦輸出響應 2、離散系統的任意輸入響應 離散系統的任意輸入響應用dlsim命令

47、來實現。 語法： （1）d1sim(a,b,c,d,U) 繪制離散系統的任意響應曲線 （2）y,x=dlsim(num,den,U) 得出離散系統任意響應和狀態變量響應 （3）y,x=dlsim(a,b,c,d,U) 得出離散系統響應和狀態變量響應其中：U為任意序列輸入信號。 例20-23 根據離散系統的z變換表達式G(z)=(2+5z-1+z-2)/(1+2z-1+3z-2)，得出正弦序列輸入響應，輸出響應如圖20-13所示。num=2 5 1;圖20-13 正弦序列輸入信號的輸出響應den=1 2 3;t=0:0.1:5;u=sin(t);y=dlsim(num, den, u);五、系統

48、的結構參數 線性系統的時域響應的性能，與系統的結構參數有關。 1、極點和零點 （1）pole命令計算極點 語法： p=pole(G) 【說明】： 當系統有重極點時，計算結果不一定準確。 （2）tzero命令計算零點和增益 語法：z=tzero(G) 得出連續和離散系統的零點z,gain=tzero(G) 獲得零點和零-極點增益 【說明】： 對于單輸入、單輸出系統，tzero命令也用來計算零-極點增益。 （3）pzmap命令繪制零-極點。 語法：pzmap(G) 繪制系統的零-極點pzmap(G1,G2,) 繪制多個系統的零-極點p,z=pzmap(G) 得出系統的零-極點值 2、閉環系統的阻尼

49、系數和固有頻率 damp命令用來計算閉環系統所有共軛極點的阻尼系數和固有頻率n。 語法： wn, zeta=damp(G) 3、時域響應的穩態增益 穩態增益可使用dcgain命令來得出。 語法： k=dcgain(G) 獲得穩態增益 例20-25 獲得G(s)=(5s+100)/(s4+8s3+32s2+80s+100)系統的零-極點。num=5 l00;den=1 8 32 80 100;G=tf(num, den);p=pole(G) p= -1.0000e+000+3.0000e+000i -1.0000e+000-3.0000e+000i -3.0000e+000+1.0000e+00

50、0i -3.0000e+000-1.0000e+000iz,gain=taero(G) 得出零點和零-極點增益 z= -20 gain= 5 （2）計算所有閉環極點的和n。wn, zeta=damp(G) wn= 3.1623e+000 3.1623e+000 3.1623e+000 3.1623e+000 zeta= 9.4868e-001 9.4868e-001 3.1623e-001 3.1623e-001dcgain(G) 得出線性系統的穩態增益 ans= 120-5線性系統的頻域分析 線性系統的頻域分析是以頻率為參變量來分析系統的。頻域分析的基本概念是當輸入一個頻率為的正弦信號時，其

51、輸出也是同頻率的正弦信號，幅值和相角隨輸入信號的頻率而變化。一、頻域特性 線性系統的頻域響應可以寫成：G(j)=|G(j)|ej()=A()ej()其中：A()=|G(j)|，()=G(j)，A()為幅頻特性，()為相頻特性。 頻域特性由下式求出： （1）Gw=polyval(num, j*w)./polyval(den, j*w) （2）mag=ahs(Gw) 幅頻特性 （3）pha=angle(Gw) 相頻特性其中：j為虛部變量。 例20-26 由二階系統傳遞函數G(s)=1/(s2+1.414s+1)，得出頻域特性。mum=1;den=1 1.414 1;w=1;Cw=polyval(n

52、um, j*w)./polyval(den, j*w) 得出系統頻率特性 Gw= 0-0.7072iAw=abs(Gw) 得出幅頻特性 Aw= 0.7072Fw=angle(Gw) 得出相頻特性 Fw= -1.5708二、連續系統頻域分析 連續系統的頻域特性主要由幾種圖形表示：bode圖、nyquist曲線和nichols圖等。 1、bode圖 bode圖是對數幅頻和對數相頻特性曲線，橫坐標為以logl0(w)均勻分度，使用bode命令繪制和計算。 語法： （1）bode(G, w) 繪制bode圖 （2）mag, pha=bode(G, w) 得出w對應的幅值和相角 （3）mag, pha,

53、 w=bode(G) 得出幅值、相角和頻率其中：G為系統模型，w為頻率向量，mag為系統的幅值，pha為系統的相角。 例20-28 根據系統傳遞函數G(s)=1/s(s+1)(s+2)，繪制bode圖如圖20-14(a)所示。 解：（1）利用bode圖num=l;den=conv(1 1, 1, 2) den= 1 3 2G=tf(num, den 0) Transfer function: 1- s3+3s2+2s (a)bode圖 (b)用semilogx命令繪制對數幅頻和相頻特性圖20-14 bode圖和用semilogx命令繪制對數曲線bode(G) 繪制bode圖 也可以通過計算獲取

54、幅值和相角特性，用semilogx命令繪制對數曲線。 （2）使用semilogx命令繪制對數幅頻和相頻特性，如圖20-14(b)所示。w=logspace(-1, 2);m, p=bode(num, den, w);subplot(2, 1, 1)semilogx(w, 20*log10(m)subplot(2, 1, 2)semilogx(w, p) 2、nyquist曲線 nyquist曲線是幅相頻率特性曲線，使用nyquist命令繪制和計算。 語法： （1）nyquist(G, w) 繪制nyquist曲線 （2）nyquist(G1, G2, , w) 繪制多條nyquist曲線 （3

55、）Re, Im=nyquist(G, w) 由w得出對應的實部和虛部 （4）Re, Im, w=nyquist(G) 得出實部、虛部和頻率其中：G為系統模型；w為頻率向量，也可以用wmin, wmax表示頻率的范圍；Re為頻率特性的實部，Im為頻率特性的虛部。 例20-30 根據傳遞函數G1(s)=1/(s(s+1)(s+2)，G2(s)=1/(s(s+1)(s+2)和G3(s)=1/s(s+1)，繪制各系統的nyquist曲線，如圖20-15所示。num=1;den1=cony(1 1,1 2,0);圖20-15 nyquist曲線Gl=tf(num, den1) Transfer func

56、tion: 1- s3+3s2+2sden2=conv(1 1,1 2);G2=tf(num, den2) Transfer function: 1- s2+3s+2den3=1 1 0;G3=tf(num, den3) Transfer function: 1- s2+snyquist(G1, r, G2, b: , G3, g-., 0.1, 180/57.3) 頻率范圍0.1, 180/57.3 獲得頻率特性的實部和虛部：w=1:2;re, im=nyquist(G1,w) re(:, :, 1)= -3.0000e-001 re(:, :, 2)= -7.5000e-002 im(:,

57、 :, 1)= -1.0000e-001 im(:, :, 2)= 2.5000e-002 【程序分析】： re和im是三維數組，數組元素下標為(Ny, Nu, Length(w)，其中Ny為輸出，Nu為輸入。 3、nichols圖 nichols圖是對數幅相頻率特性曲線，使用nichols命令繪制和計算。 語法： （1）nichols(G, w) 繪制nichols圖 （2）nichols(G1,G2,w) 繪制多條nichols圖 （3）Mag, Pha=nichols(G, w) 由w得出對應的幅值和相角 （4）Mag, Pha, w=nichols(G) 得出幅值、相角和頻率 在單位反

58、饋系統中，閉環系統的傳遞函數可以寫成G(s)/(1+G(s)，因此nichols圖的等M圓和等N圓就映射成等M線和等線，MATLAB提供了繪制nichols框架下的等M線和等線的命令ngrid。 語法： ngrid(new) 清除圖形窗口并繪制等M線和等線 說明： new為創建的圖形窗口，清除該圖形窗口并繪制等M線和等線，如果繪制了nichols圖后可省略new，直接添加等M線和等線。產生-4040dB的幅值和-360000的范圍，并保持圖形。 例20-31 根據傳遞函數G1(s)=1/s(s+1)(s+2)，繪制等M線、等線和nichols圖，如圖20-16所示。 解：ngrid(nicho

59、ls1) 繪制等M線和等線Nichols(G1) 繪制nichols圖圖20-16 nichols圖w=1:2;Mag, Pha=nichols(G1, w) 獲得幅值和相負數值 Mag(:, :, 1)= 3.1623e-001 Mag(:, :, 2)= 7.9057e-002 Pha(:, :, 1)= -1.6157e+002 Pha(:, :, 2)= -1.9843e+002 程序分析：用“ngrid命令可以創建等M線和等線圖形窗口，用鼠標單擊圖形中的某點，可以看到其相關信息。三、幅值裕度和相角裕度 在頻域分析中，幅值裕度和相角裕度是反映系統的性能指標。MATLAB提供了得出幅值裕

60、度和相角裕度的命令margin。 語法： （1）margin(G) 繪制bode圖并標出幅值裕度和相角裕度 （2）Gm, Pm, Wcg, Wcp=margin(G) 得出幅值裕度和相角裕度其中：Gm為幅值裕度，Wcg為幅值裕度對應的頻率；Pm為相角裕度，Wcp為相角裕度對應的頻率（穿越頻率）。如果Wcg或Wcp為nan，inf，則對應的Gm或Pm為無窮大。 例20-32 求出G1(s)=1/s(s+1)(s+2)系統的幅值裕度和相角裕度。G1 Transfer function 1- s3+3s2+2sGm, Pm, Wcg, Wcp=margin(G1) Gm= 6.0000e+000 P