1、校本課程材料包講義分形幾何與分形藝術欣賞高二年段袁小林16/964/27分形幾何與分形藝術欣賞同學們學習在小學開始接觸幾何這門學科了，在初中初步學 習了平面幾何，在高中學習平面解析幾何和立體幾何。但同學們 所學的這些幾何都是經典幾何學，以規則的幾何圖形如圓、三角 形等為研究對象，屬于歐氏幾何（歐幾里徳幾何）范疇。除了歐 氏幾何，號有其它的非歐幾何,比如分形幾何。歐幾里徳觀察下面的繪畫作品，感受這些作品反映出的不同幾何特征。歐氏幾何與分形幾何有何區別呢？經典幾何學對自然界形體的描述是概括的，不近似的，不精確的。它把復雜的山型近 似為圓錐，把復雜的樹冠近似為圓錐，把復雜的人頭近似為球形等等。然后以

2、這些基本形 (方、圓、錐、柱、環等)為基礎，通過它們的疊加與組合，來描述更復雜的自然界形體。 這種描述在不需要精確的領域是可以接受的，如果要求被描述的形體足夠楮確，釆用這種 方法就不能很好的滿足要求了。另外，對于一些非常復雜的形狀，如云形，雪花等，這種 方法顯得力不從心。為了能夠對復雜的自然形體進行比較精確的描述，芒德勃羅(Mandelbrote)提出了 分形的概念。分形的方法可以對自然形體比經典幾何學進行更精確的 描述。這種描述是動態的，是建立在自然形體是自相似原理基礎上的。 當然，分形的描述也不是與自然形體100%的符合。任何描述都具有 概括或抽象的概念。比較經典幾何學與分形幾何學，它們的

3、差別在于：一.它們對自然形體描述不同：經典幾何學是以靜態的方式來描述 形態，這種描述方法具有數據量大的特點；分形幾何學是以動態、生 成的方式來描述形態，這種方式具有可以根據要求來不斷提高被描述形態的精確度，數據量比較小。分形幾何的創始人一一芒很勃羅h二.它們對自然界形態描述的方式背后存在著基本觀念的差異：經典幾何學認為世界是 構成的，因此可以將世界分解成很多基本幾何要素，然后根據一定的規律建構起來；分形 幾何學認為世界是生成的，復雜的世界形態是在時間的流逝中不斷演化生成的。經典幾何學建立在構成論的基礎上的數學，是靜態的描述數學；分形幾何學建立在生 成論的基礎上的數學，是動態的描述數學。在經典幾

4、何學下，藝術家創造形體的方式是描繪式的，不論是通過一點透視，還是通 過多點透視的方法來畫出的畫面，本質上都是描述式的。不論再現式的繪畫（以對自然的 如實描寫為主，通過具體的形象來表達藝術家內心的情感），還是表現式的繪畫（不是以 對自然的如實描寫為主，而是以表現內心情感的為主，通過抽象的、隨意的形象來表達）, 都是一種建構畫面的表達方式。在分形幾何學下，藝術家是通過運動或過程的方式，表達 內心的情感，生成畫面。這種畫面是生長出來的，不是事先已經有了方案，然后建構出來 的。歐幾里得幾何分形幾何經典的（2000多年的歷史）現代數學怪物（30多年的歷史）基于特征長度與比例無特征長度與比例適合于人工制品

5、實用于大自然現象圖形規則圖形不規則圖形的結構層次有限圖形的結構層次無限局部一般不具有整體的信息局部往往具有整體的信息圖形越復雜，背后的規則也越復雜圖形復雜，其背后的規則經常是簡 單的用公式描述用（遞歸或迭代）算法描述認識分形作為一門新興學科，分形不但受到了科研人員的青睞，而且因為其廣泛的應用價值，正受到各行各業人士的關注。那么，在我們開始學習分形之前，首先應該明白的一件事情是：我們正在學習什么？或者說：什么長分形？什么是分形？讓我們來看下面的一個例子。舉一個最常見的例子：西蘭花瓣下西蘭花的一小枝，你會發現這一小枝西蘭花與原來的大枝 除了大小上，形狀上十分相似。再在這一小枝上瓣小更小的一 枝西蘭

6、花，所得到的這一更小西蘭花與原來的在形狀上依然十 分相似。又比如：下圖是一棵厥類植物，仔細觀察，你會發現，它的每個枝杈都在外形上和整體相 同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝 杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言。如右上圖所示的圖形，你會發現小圓內部結構與大圓內部結構是自相似的，換句話說，小 圓內部不斷重復著大圓內部的結構。以上圖形的呈現一個共同特點就是物體的部分與整體相似，清楚了這一點，就可以形 成對分形概念的感性認識。分形就是那些有趣的東西，它的每一個小小的組成部分，都和 整體一樣，只是進行了一定的縮小。分形最為流行的一個定義是：分形是一種具有自相似 特性

7、的現象、圖象或者物理過程。也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整依 相似，只僅僅是變小了一些而已分形藝術的現實應用即使你不懂得其中深奧的數學哲理，分形圖片所呈現的無窮玄機和美感引發人們去探 索，也會為之感動。分形搭起了科學與藝術的橋梁。分形使人們覺悟到科學與藝術的融合, 數學與藝術審美上的統一，分形搭起了科學與藝術的橋梁。分形理論與數字圖像處理技術 結合起來，使生成的分形圖形可人工干預，以產生協調自然，豐富多彩，并具有較高藝術 性的圖案。無疑，這些分形圖形將對繪畫、雕塑、建筑設計、印染工業、裝演和廣告設計 等產生深遠的影響。隨著分形理論的進一步發展與完善，用分形理論產生出的分形圖形其

8、應用的前景也會得到廣泛地推廣。1分形模擬自然景象圖片1 分形山上圖中的風景圖片又是說明分形的另一很好的例子。這張美麗的圖片是利用分形技術生成 的。在生成自然真實的景物中，分形具有獨特的優勢，因為分形可以很好地構建自然景物的模 型。圖片2 花圖片3 分形風景2.分形的動畫（電影）應用由于分形能夠用遞推函數加以描述，所以用計算機生成的分形十分理想。特別是迭代函數 系統具有很高的壓縮比，可達1： 1000,在圖象及通訊方面具有廣闊的應用。像電影星 際旅行I【：可汗的憤怒中新行星的誕生以及吉地的返回中行星在空間飄浮等壯觀的 場面，就是由彼克沙公司在一臺計算機上完成的。分形山h3.裝演設計在房屋裝演設計

9、中，待別是在藝術家的工作室內，如果用上分形圖形來進行裝修，那么整 個房子就更加顯示出藝術的色彩。圖2. 1就是用分形圖形制作的壁畫。1999年9月，中國郵電電信總局發行了一套四枚的分形幾何中國電 信IC電話卡，圖2.2是這套IC卡的電話卡折。這套卡正面，第一張是著 名的sierpinski三角形，第二、三、四張選用幾種自然界的分形圖形：瀑 布和沙漠、松枝和海洋生物、海岸和山脈，它們既屬于分形幾何范疇，又 是色彩繽紛.婀娜多姿的自然景觀，卡的背面選用四幅“分形藝術”作品，從藝術和科學兩個視角同時欣賞更加耐人尋味，極具收藏價值分形幾何圖2.2分形幾何中國電信IC電話卡和GOOLE的分形圖標為了紀念

10、法國數學家GstonJulia,以搜索引擎而聞名世界的網站 gogoel把它的圖標曾經改成圖2. 1中右面的圖樣，圖標上面的數學公式就 是數論中有名的Julia序列。4服裝設計.明信片.在紡織行業，己經有印有分形圖案的絲巾、布料成品乃至成衣制品。分形圖形在印刷 行業有更廣闊的用途。立體印刷是印刷技術中的一種。當從不同角度去觀察圖形時就 會出現圖形變化的動畫效果，圖2.3是用立體印刷把分形圖形印制在名信片上和筆簡 外表面上的成品照片。而圖24是普通印刷技術制成的分形名片和分形書簽。圖2.3名信片和筆簡分形圖2.4名片面和書簽此外，在陶瓷制品、書籍封面設計和禮品包裝上，也出現了富于表現的分形圖案。

11、hh在利用分形方法創造出與眾不同的景觀方面已完成了一些開拓性的工作，電影中出現 了分形風景，分形動畫也在游戲、宣傳廣告和電視片頭中有了更為廣泛的應用。將分形圖形用于信息加密防偽。其它領域的應用劉華杰博士認為分形圖像有如下用途：1、將高精度分形圖形具體應用在建筑設計中，可以考慮將整面墻壁用一幅分形圖裝飾。2、研究分形建筑陶瓷紋樣、分形紡織紋樣設計及其印染工藝。3、設計分形時裝。4、將分形圖形用于信息加密防偽。5、印制分形賀卡、明信片和小臺歷分形在科學哲學打開了一個完全嶄新幾何學大門， 應用廣泛，這一新的數學領域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現象的描述，電影 攝彫術、天文學、經濟學、氣象學、

12、生態學等等。它的是如此，它的特性是如此迷人。 由計算機模擬制作的山峰，也已被IBM公司應用于廣告宣傳中。分形的視覺效果更使分形 裝飾布和分形壁紙必將成為人們日后的新寵。分形明信片和分形廣告已推出了十多年，分 形日歷也早已問世。意義.分形幾何學能為自然界中存在的各種景物提供逼真的描述。這些景物形態復雜、 不規則，而且顯得十分的粗糙，使得采用傳統的幾何工具進行描述遇到了極大的困難， 而分形模型卻能很好地描述自然景物，因為自然界中的許多實際景物本身大體上就是 分形，或者反過來說，按照分形幾何方法構造的形體非常像許多自然景物。分形幾何 在近十幾年來得到很大發展，它最重要、最直接的應用領域是計算機科學，

13、它為自然 景物的模擬提供了理論基礎及造型方法。目前，分形是非線性科學中的一個前沿課題。一般地可把分形看作大小碎片聚集 的狀態，是沒有特征長度的圖形和構造以及現象的總稱，由于在許多學科中的迅速發 展，分形成為一門描述自然界中許多不規則事物及現象的規律性的學科。因此人們意 識到應該把它作為工具，從新的角度來進一步了解自然界和社會。分形圖形生成技術在各個領域得到了廣泛的應用，也推動了分形理論的發展，隨 著對逼真程度和審美要求的不斷提高，從簡單的Mandelbrot集和Julia集，到科幻 電影上的分形風景，以及近年來印有分形紡織紋樣的分形時裝，無不昭示著分形圖形 正慢漫從科學家們的思想中走進我們身邊

14、的真實世界。一些用戶己經不再滿足觀看各 種分形圖片和分形產品，而是希望自己能夠參與設計分形圖形。因此，能用盡可能通 俗易懂的方式，如何在一個實時、交互的信息交流界面，使不太了解復雜科學理論的 用戶可以通過簡單操作計算機，修改少量參數生成分形圖形，同時完成一定的顏色調 整、圖形的比較及存儲等相關功能，生成有一定藝術價值的分形圖形，已成為當前一 個被眾多的計算機、數學及至藝術工作者所關注的新課題，我們的課題就是在這樣的 背景下提出來的。分形是無標度意義下，具有無窮細節的自相似的形，體現了自然界的無序和變幻 無窮的美。而利用分形理論來生成的計算機圖形，是用一般的平面圖形設計軟件很難 生成的具有自相似

15、的圖形，且一般的平面圖形設計的軟件生成的圖形都是按照經典的 歐氏幾何來進行圖形的算法的建立，這樣就很難逼真、形象地描述自然界的美構造出 絢麗多彩的分形圖形。隨著計算機在圖像處理方面的技術的成熟，用計算機生成分形 圖形，使人們能獲得外觀新穎奇特、內容豐富多彩的平面圖形。人們對這一領域表現 出了極大的關注，這是一種全新的圖形設計的構思來源和方法，具有廣闊的應用前景。第二章分形幾何與分形藝術1分形幾何普通幾何學研究的對象，一般都具有整數的維數。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在20世紀70年代末80年 代初，產生了新興的分形幾何學(fractal geometry),

16、空間具有 不一定是整數的維，而存在一個分數維數。這是幾何學的新突破, 引起了數學家和自然科學者的極大關注。根據物理學家李蔭遠院 士的建議，大陸將fracial 一開始就定譯為分形”,而臺灣學 者一般將fracial譯作“碎形”。1.1定義曼徳勃羅曾經為分形下過兩個定義:(1)滿足下式條件Dim(A)dim(A) 的集合A,稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(或分維數)，dim(A)為 其拓撲維數。一般說來，Dim(A)不是整數，而是分數。(2)部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。然而，經過理論和應用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際 上，對

17、于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命” 也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的 定義也可同樣的處理。分形一般有以下特質：在任意小的尺度上都能有精細的結構；太不規則，以至難以用傳統歐氏幾何的語言描述;(至少是大略或任意地)自相似豪斯多夫維數會大於拓撲維數(但在空間填充曲線如希爾 伯特曲線中為例外)；有著簡單的遞歸定義。分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是 某些簡單方程的解集。分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的

18、自相似。一般，分形集的分形維數”，嚴格大于它相應的拓撲維數。在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代 產生。1.2分形幾何學的基本思想4/316/964/27分形幾何學的基本思想是客觀事物具有自相似的層次結構，局 部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意 義上的相似性，稱為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分 都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有 和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大 或縮小幾何尺寸，整個結構不變。1.3分形幾何學的特征什么是分形幾何？通俗一點說就是研究無限復雜但具有一定意義下的自 相似圖形和結構

19、的幾何學。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自 身上的樹枝及樹枝上的枝權，崔形狀上沒什么大的區別，大樹與樹枝這 種關系在幾何形狀上稱之為自相似關系：我們再金來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性 質：動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息：還有高山的表面， 您無論怎樣放大其局部，它都如此粗強不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世 界的本質.分形幾何是真正描述大自然的幾何學。圖1 Mandelbrot集合圖2 Mandelbrot集合局部放大圖3 Mandelbrot集合局部放大2對蘇格蘭海埠馥的層層放大2分形藝術2.1概念：分形藝術的

20、英文表述：fractal art,不規則幾何元 素Fractal ,是由IBM研究室的數學家曼德布洛特 (Benoit. Mandelbrot, 1924-2010)提出。其維度并非整 數的幾何圖形，而是在越來越細微的尺度上不斷自我重 復，是一項研究不規則性的科學。分形藝術圖片2. 1特點分形藝術”與普通電腦繪畫”不同。普通的“電腦繪畫概念是用電腦為工II IIII IIII IIII IIII IIII IIh第3章經典分形與Mandelbrot集3. 1 Cantot 集Illi IlliII II II IIIlli Illi Illi IlliIHIIIH HU IIHE4&康托塵找生

21、成過程33.3. 4 Sierpinski三角形（謝爾賓斯基墊）3. 5Koch 曲線它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二 條等長（1/3）的折線來代替，形成一個生成單元，如圖1.5（b）.然后再把 每一條直線段用生成單元進行代替，經過無窮多次迭代后就呈現一條無窮多 彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。科赫（Kh）曲線將一根線段三等份,并將中間段用以該段為邊的等邊三角形的另外兩邊替代。分形圖形的計算機實現分形的特點是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結構。分形圖 片具有無可爭議的美學感召力，特別是對于從事分形研究的科學家來說。

22、欣賞分形之美當 然也要求具有一定的科學文化知識，但相對而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我.們身 邊，我們身體中的血液循環管道系統、肺臟氣管分岔過程、大腦皮層.消化道小腸絨毛 等等都是分形，參天大樹、連綿的山脈、奔涌的河水.漂浮的云朵等等，也都是分形。 人們對這些東西太熟悉了，當然熟悉不等于真正理解。分形的確貼近人們的生活因而由 分形而來的分形藝術也并不遙遠，普通人也能體驗分形之美。因為分形幾何的迭代的原像一般不止一個，而且均為多映射迭代，為了敘述的方便， 我們先作以下兩個約定。用（A.B.C）表示有順序的兩點A、B和C。2（ABC）=（D,EFJ,（GH.I）表示A映射到D, B映射到D,

23、C映射到F,然后添加映 射A映射到G, B映射到H, C映射到I,如此類推。Sierpinski三角形】波蘭著名數學家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實變函數理論構造了幾個典型的 例子，這些怪物常稱作“謝氏地毯”.“謝氏三角”、“謝氏海綿”、“謝氏墓垛”。 如今，幾乎任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理 解分形。著名的，它是很有代表性的線性分形，具有嚴格的自相似特點。不斷連接等邊三角形 的中點，挖去中間新的小三角形進行分割-一隨著分割不斷進行Sierpinski三角形總面積 趨于零總長度趨于無窮。Sierpinski三角形在力學上也有實用價值，Sierp

24、inski三角 形結構節省材料，強度高，例如埃菲爾鐵塔的結構與它就很相似。【步驟】在平面上任意畫一個三角形ABC,取三邊中點為D、E. F,連接DEF。新建參數n=33 順次選擇B.C.A三點和參數m作深度迭代.（BCA）=（DFA）。4添加新的映射.（BCA）n（BED）。第3步hh繼續添加映射。(BCA) =(E,C,F)改變參數n可觀察圖形變化。CSierpinski 地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步驟多了 一些。取正方形將其9等分，得到9個小 正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍8個小正方形。然后對每個小正方形再9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規則不斷細分與舍去，直至無

25、窮。謝爾賓斯基 地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個數與其邊的線段數目趨于無窮多，它是一 個線集，圖形具有嚴格的自相似性。【步驟】平面上任取線段AB,以線段AB構造正方形ABCDo以A為縮放中心，B、D縮放為1/3,得到氐F；以D為縮放中心，八、C縮放為1/3得到G. IK同理得到I、J、K、L。連接各點，將正方形九等分；并填充中間的正方形MN0P.度量M70P的面積，選擇改度量結果和填充的正方形, 單擊【顯示】【顏色】【參數】，單擊確定。則該MN0P的顏色隨它的面積變化而變化。二ELB4 新建參數n=4,順次選擇A、B兩點和參數g作深度迭代，(A, B) = (G, P)； (P, 0)；

26、(0, J)； (F, M)； (M, N)； (N, K)； (A, E)； (E, L)； (L B)。注意 迭代中點的對應，當迭代框遮住圖像的時候可用鼠標選中拖動開。單擊迭代， 隱藏不必要的點。如果我.們制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四邊形的Sierpinski地毯(即 三角形和四邊形的頂點都是自由點)，然后按照多面體的側面數將他們復制。利用畫板合 并點的功能，將它們“粘貼”到三棱錐和正方體的各個側面上，(如下圖)可以制作空間 的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【搖曳的Pythagorean Tree（畢達哥拉斯樹）】畢達哥拉斯學派發現勾股定理（西方叫

27、做畢達哥拉斯定理）聞名于世，又由此導致不可 通約量的發現ol988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。【步驟】在屏慕上以任取兩點A和B,作正方形ABCD,以CD為直徑作圓0,取半圓弧OCD,在該弧上任取一點E,連接CE, DE。隱藏不必要的對象。填充四邊形ABCD,度量ABCD的面積。選擇四邊形和度呈結果，單擊【顯示】【顏色】【參數】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化。3.新建參數n=4,選擇A. B和n,作深度迭代，（AB） =（DE）,（E,C）。E面積 ABCD = 7.72 米2AJICO (A,C). (C,E), (EtD),(DtB)o (如下圖所示

28、)單擊迭代框的“顯示按鈕，選擇“顯示最終迭代二隱藏線段AC、CE、ED、DB (如下圖所示)。改變參數n,觀察圖形變化。KOCH雪花】因為它酷似雪花，所以叫“雪花曲線” (snowflake curve) 也很像海岸線。柯赫 曲線的生成過程很簡單，以一個三角形作為源多邊形，即初始元，將三角形的每一邊做三 等分，舍去中間的1/3,然后按科赫曲線的規則產生生成元。從源多邊形開始，第一步形 成一個六角星形，第二步將六角星形的12條邊然后按科赫曲線的生成規則進行同樣的操 作得48條邊星形，如圖4-5,以后依此進行同樣得操作，直至無窮，生成稱為科赫雪花的 圖形。在極限的情況下，科赫雪花的上的折線演變成為

29、曲線。由于科赫曲線生成中的每一 步操作都會使折線的長度增加，所以在極限的情況下，科赫雪花邊的總長度將趨于無窮。柯赫曲線是很復雜的，首先它有許多折點，到處都是“尖端”，用數學的語言講， 曲線雖然連續，但處處不可徵，即沒有切線。【步驟】在平面上取AB做一個KOCU曲線，然后在A的左端任取一點G,在B的右邊任取 一點F,分別在AG和BF上做KOCH雪花，注意三個迭代深度都必須為m以B點為族轉中心，A順時針族轉60度得到H點。選擇G, H兩點，單擊【編輯】 【合并點】，則G點與H點合并。同理，再合并H、F兩點。KOCH雪花完成了。【數學之美】步驟】任取兩點取B,并作正方形ABCDo在AB上任取一點E連

30、接BE,度量線段BE的長度并計算BE/AB。雙擊A點作為縮放中心，選擇D點，單擊【變換】【縮放】以計算結果5E/NT 為比例縮放，得到點F；同理以D點為中心，縮放C點得到點G；以C點為縮放 中心，縮放B點得到點H。連接正方形EFGHo4.新建參數n=5,順次選擇A. B兩點，和參數m按下shift鍵不放，作深度迭代，(A,B) =(F,E) o如下圖所示:Hm EB = 1.63 MX Dm AB = 4.S3 米n = 8.ooAE B選擇E點，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】。E點變動，產生夢幻般的效果。【H迭代】【步驟】在水平直線上取兩點A和B,連接AB。以A點為旋轉中心，B點順時針旋

31、轉90 度，得到C點，再取AC中點D。以D為旅轉中心，C點順時針族轉90度得到E點，取DE中點F。以D為旅轉中 心，F點再旋轉180度得到G點。連接FG。同理再畫出H、I兩點。以AB為標記鏡面，得到F、G、H、I關于AB的對稱點J. K、L、M,連接線段JK, LMo (如下圖所示)隱藏不必要的點，新建參數n=4。順次選擇A、B兩點、參數m作深度迭代, (A3) = (F,G),(HD(J,K),(L,M)5.單擊迭代，隱藏各點的標簽。【蜂巢】蜜蜂地巢你觀察過沒有？是什么形狀呢？聰明的蜜蜂選擇了正六邊形，因為這樣可以 填充整個空間，而且正六邊形是最省材料的一中結構。從蜂巢中我們也可以發現許多自

32、相 似的結構。由三條邊迭代就可以得到蜂巢了，不信？請看。【步驟】屏幕上任取線段AB,以B為族轉中心，A點順時針族轉120度得到點C,八點逆 時針旋轉120度得到點D。新建參數n=5。選擇A. B和參數m作深度迭代，(A.B)=(BC),(BD)。單擊迭代，得到蜂巢的圖像。上面的迭代只是分形幾何的一部分，由于篇幅所限，下面給出其余一些分形幾何的圖 片，以供欣賞：h分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學.工程技術、文學藝hh術等極廣泛的學科領域，提供了一般的科學方法和思考方式。就目前所知，它有很高 程度的應用普遍性。這是因為，具有標度不變性的分形結構是現實世界普遍存在的一 大類結構。

33、此處結構的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態，而是一般 地指其拓撲維數（幾何維數）小于其測量維數的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布, 過程點的分布，甚至可能是意識點、思維點的分布。分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的 一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動（布朗運動），這是花粉在大量液體分子 的無規則碰撞（每秒鐘多達十億億次）下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種 尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由 大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒 子軌跡的分維是2,

34、大大高于它的拓撲維數1。在某些電化學反應中，電極附近成績的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。 受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長， 成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規則的枝杈，每個 枝杈繼續分為細杈，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。有人研究了某些云彩邊界的幾何性質，發現存在從1公里到1000公里的無標度 區。小于1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作 用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足 夠了。分形存在于

35、這中間區域。近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震蕩反映等試驗中，都實際 測得了混沌吸引子，并從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是 最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應用也正在成為有充實內容的研 究領域分形的應用領域圖像，數據壓縮方面的研究。如：對某一個靜態場景的分形壓縮。自然景物的模擬如：雪花，海岸線，分形山，分形樹葉 分形生長模型對我們來說，由許多非常有趣的分形值得我們去學習。這里所列舉的只是其中的一小部分，還有很多其 它類型的分形可以產生山、3D樹以及分形音樂。這些類型分形我們將在以后的分形應用里專門談論。現 在，我們首先從迭代函數系統開始明天的內

36、容。按照科學家的話來說，這種特性叫做“自相似”，正是因為這個特性，分形才非常有用，因為大自 然中許多東丙都具有這種特性。不信，你仔細觀察一下身邊的景物，特別是那些植物 你可以用迭代函數系統來創作形態各異的分形作品。h講授普通高級中學分形幾何初步實驗教科書的內容：1、分形一一“病態”的“數學怪物”計1課時2、英國的海岸線有多長研究性課題：科赫雪花曲線的周長與面積計1課時3、特征長度與分形的自相似性4、分數維及其計算5、什么是分形計2課時閱讀材料：曼德爾布羅特生平簡介（學生自行閱讀）研究性課題：字符串替換法作科赫雪花曲線計1課時6、分形幾何學的意義與前景、總復習。計1課時我們可以看到右邊那一小簇是

37、整個花簇的一個分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外 形。換句話說，右邊較小的分支通過放大適當的比例后可以得到一個與整體幾乎完全一致 的花簇。因此我們可以說西蘭花簇是一個分形的實例。海岸線雪花雪花雪花雪花分形是一種粗魏的或破碎的幾何圖形，它的組成部分可以被無限細分，而且它的局部的形狀一般與整體 相似。分形一般是自相似的和標度不變的。曼德勃羅在解釋“分形” 一詞時說：“我由拉丁語形容詞fractus創適了詞“分形” （fractal）o 相應的拉丁語動詞fragere意味著打破和產生不規則的碎塊。從而可見（對我們的需要是何等地合 適！人除了 破碎的（如像碎片或曲折），fractus也應當具不規則

38、的含義，這兩個含義都被保存 在碎片（fragment）中”（大自然的分形幾何，p4）有許多數學結構是分形，例如：謝爾賓斯基三角形、科切雪花、皮亞諾曲線.曼德勃羅集、洛 侖茲吸引子等。分形同樣可以描述許多真實世界的對象，如云彩.山殊、湍流和海岸線等，當然它們不 是單純的分形形狀。曼復勃羅曾給出了一個分形的數學定義：一個幾何對象，它的豪斯道夫維數嚴格大于其拓撲維 數。這不僅有些抽象，而且也不是一個令人滿意的定義，因為還有好多分形，沒有被該定義涵蓋。后來 曼德勃羅又給出了一個比較通俗的定義：部分與整體以某種形式相似的形。該定義仍然不能表達分形的 全部意思，但會使很多初學者開始理解分形了，雖然還不能全

39、部理解。那么究竟什么是分形呢？應該說，到目前還沒有嚴格的定義。現在一般用法爾科內（分形集幾 何學）對分形集合F的描述來判某一對象是否是分形：（1）V具有精細的結構。即是說在任意小的尺度之下，它總有復雜的細節：（2）V是如此的不規則，以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述：（3）V通常具有某種自相似性，這種自相似性可以是近似的，也可能是統計意義上的；（4）F在某種意義下的分形維數通常都大于它的拓撲維數：（5）在多數令人感興趣的情形下，F以非常簡單的方法定義，或許以遞歸過程產生。（1）分形，是指其組成部分以某種方式與整體相似的幾何形態（Shape）,或者是指在很寬的 尺度范圍內，無特征尺度

40、卻有自相似性和自仿射性的一種現象。分形是一種復雜的幾何形 體，唯有具備自相似結構的那些幾何形體才是分形。歐幾里德幾何學與分形幾何學2 分形幾何與歐氏幾何的比較描述對象特征長度表達方式維數歐氏幾何學人類創造的簡單的標準物體有用數學公式0或正整數（1或2或3）分形幾何學大自然創造的復雜的真實物體無用迭代語言一般是分數（也可以是整數4.分形在哲學上的意義復雜與簡單的統一：分形幾何的主要價值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性。分形最顯著 的性質是：本來看來十分復雜的事物，事實上大多數均可用僅含很少參數的簡單公式來描述。 其實簡單并不簡單，它蘊含著復雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認識簡單

41、與復雜的辯 證關系的生動例子。分形高度復雜，又特別簡單。無窮精致的細節和獨特的數學特征（沒有 兩個分形是一樣的）是分形的復雜性一面。連續不斷的，從大尺度到小尺度的自我復制及迭 代操作生成，又是分形簡單的一面.分形在認知哲學上的意義分形幾何建立以后，很快就引起了許多學科的關注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用 上都具有重要價值。超級觀察者是傳統哲學和經典物理學的一個基本前提，即假定有一位理想的觀察者能夠不受觀察對象的任何影響，經過精密觀察和嚴密思考能夠對觀察對象的屬性給出絕對正 確的界定。從笛卡爾以來，這個超級觀察者基本上已被等同于人類理性，而當理性難以說明 問題的時候，哲學家和科學家都不約而

42、同地抬出上帝的觀念來搪塞。比如牛頓為了解決第一 推動力的問題，不得不回到神學。愛因斯坦反對量子力學的重要理由就是“上帝不擲骰子。” 然而，這種超級觀察者神話在現代物理學那里，已經遭到了決定性的打擊。U分形圖案分形圖是一種較為流行的藝術圖形.所謂分影，兢是肖圾成節分坊雙體次某沖方式相似局部放天后可以柱某種思度上再現整體.如圖25所示.為-R W的分形圖，該樹是由一些分支構成的.戲其中某個分支來書，它具有與整轅樹相似的形狀。祭制的原則是，先按某一方向更一條克線.然府崔此歿段上找到一果列節點，崔毎一個節點處向左.右僞傳60度各畫一條分支.節點位置和節點處所畫分支的長度比值按0.618分劃.U分形圖案

43、分形圖是一種較為流行的藝術圖形.所謂分影，兢是肖圾成節分坊雙體次某沖方式相似局部放天后可以柱某種思度上再現整體.如圖25所示.為-R W的分形圖，該樹是由一些分支構成的.戲其中某個分支來書，它具有與整轅樹相似的形狀。祭制的原則是，先按某一方向更一條克線.然府崔此歿段上找到一果列節點，崔毎一個節點處向左.右僞傳60度各畫一條分支.節點位置和節點處所畫分支的長度比值按0.618分劃.藝術中的幾何和幾何藝術多少世紀以來數學總是影響著藝術和藝術家如投影幾何.黃金分割、比例.視覺幻影、 對稱.圖案和花樣等它們不僅影響著藝術家的設計思路，而且影響著各種藝術流派如原 始的、古典的、文藝復興時期的、近代的、流

44、行的或藝術裝飾的等一位油畫家要在一張 畫布上畫出一幅立體的場景，他必須確定從不同的距離和位置觀察時，物體會產生怎樣的 改變這便是文藝復興時期藝術活動的主要部分和投影幾何發展的領域投影幾何涉及圖 形及其投影的空間關系和性質等，因此它包含了透視法的問題.藝術家為了創作他們的現 實主義的立體油畫，文藝復興時期的藝術家們利用了新建立的投影幾何概念投影點、 消失點等藝術家推斷，假如人們透過窗戶去觀察一個景觀并且眼睛保持在一個焦點上, 這時視點集中，外面的景觀似乎是投影到窗戶上而被看到，這樣窗戶便可能充當畫布那樣 的幕.各種各樣的圖案賦予了藝術家創造的靈感，他們把這種現實從窗戶轉移到畫布上來. 藝術與投影幾何正多少世紀以來，數學總是影響著藝術和藝術家.如投影幾何、黃金分 割.比例、視覺幻影.對稱.圖案和花樣等它們不僅影響著藝術家的設計思路，而且影響 著各種藝術流派如原始的、古典的、文藝復興時期的、近Fracta 1指的是不規則的幾何元素.Fractal art掃數學.理化.生物.売氣、海洋以至社會學科.在音樂、美衣冋也產生了一定的形響的分形藝歡.分形藝術源自敎學與藝衣審美的統一，為科字和藝術搭座橋愛勺警通的PS不月.分形藝戲的創作使用的是敎學手段，作者需曼有很深的數學功