1、關(guān)于彈性力學(xué)的變分解法第一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月泛函的定義及舉例函數(shù)：對(duì)于變量x的某一變域中的每一個(gè)值，y都有唯一一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量y稱(chēng)作變量x的函數(shù)。記為： y=f (x)x稱(chēng)為函數(shù)的自變量。泛函：對(duì)于某一類(lèi)函數(shù)y()中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量J都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量J稱(chēng)作依賴(lài)于函數(shù)y(x)的泛函。記為： J=J y(x)y(x)稱(chēng)為泛函的宗量。第二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例子 第三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第六張，PPT共七十六

2、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月泛函的極值泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上達(dá)到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即第九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14.1 彈性體的虛功原理第十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月靜力可能的應(yīng)力與幾何可能的位移第十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月高斯公式第十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)

3、作于2022年6月第十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14.2 貝蒂互換定理第十七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14.3 位移變分方程 最小勢(shì)能原理第二十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作

4、于2022年6月第二十七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14.4 最小勢(shì)能原理推導(dǎo)以位移表示的平衡微分方程及邊界條件第三十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 一、里茲（Ritz）法基

5、本思想：設(shè)定位移函數(shù)的表達(dá)形式，使其滿足位移邊界條件，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用最小勢(shì)能原理(位移變分方程)確定這些常數(shù)，即得位移解。設(shè)選取的位移表達(dá)式如下：（a）其中：為互不相關(guān)的 3m 個(gè)系數(shù)；為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為邊界上取零值的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述函數(shù)滿足位移邊界條件。此時(shí)，位移的變分由系數(shù) Am、Bm、 Cm的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)。與變分無(wú)關(guān)。14.5 基于最小勢(shì)能原理的近似計(jì)算方法第三十七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（b）位移的變分：形變勢(shì)能的變分：由應(yīng)變能計(jì)算式可知：（c）根據(jù)最小原理，有：第三十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月將上式整理、移項(xiàng)、合并，可

6、得：完全任意，且互相獨(dú)立，要使上式成立，則須有：第三十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 Ritz 法方程或稱(chēng) Rayleigh- Ritz 法方程說(shuō)明：（1）由 U 的表達(dá)式（4-20）可知，U 是系數(shù)的二次函數(shù)，因而，上式為各系數(shù)的線性方程 組。互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3）在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件。第四十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四

7、十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本思想構(gòu)造位移試函數(shù)滿足位移(面力)邊界條件RayleighRitz(瑞利里茲)法(伽遼金)法 通過(guò)能量變分，偏微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組。位移邊界條件位移與面力邊界條件第四十七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：用瑞利里茲法位移試函數(shù) 例1： 兩端簡(jiǎn)支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示,不計(jì)體力。試求解梁的撓度w(x) 滿足梁的位移邊界條件：在x=0，l處，w=0 簡(jiǎn)支梁的形變勢(shì)能為： 第四十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作

8、于2022年6月積分后可得:外力勢(shì)能為:當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)。第四十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月有：所以回代 第五十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月?lián)锨€表達(dá)式是無(wú)窮級(jí)數(shù)精確解這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快，只要取少數(shù)幾項(xiàng)就可以得到足夠的精度。如果取一項(xiàng) 這一結(jié)果與精確值十分接近 。第五十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 PABlxy解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：式中：a 為待定常數(shù)。（2）計(jì)算形變勢(shì)能 U：（ a）（ b）顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）

9、代入Ritz 法方程，求解（ c）（ d）第五十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy討論：（1）中點(diǎn)的撓度：（ e）而材料力學(xué)的結(jié)果：兩者比較：式（a）的結(jié)果偏小1.46%。如果取如下位移函數(shù)：式中項(xiàng)數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第五十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy例3:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)式中：A1、A2 為待定常數(shù)。顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（2）計(jì)算：梁的形變勢(shì)能:（3）代入 Ritz

10、 法方程:第五十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy例3:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解:位移函數(shù)（a）（3）代入 Ritz 法方程:所求撓曲線方程 :第五十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月PABlxy所求撓曲線方程:中點(diǎn)撓度:而材料力學(xué)的結(jié)果：第五十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：位移試函數(shù) 例4：矩形薄板，四邊固定，受平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示，試用RayleighRitz法求解。 m和n為正整數(shù)在邊界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以試函數(shù)滿足位移邊界條件。 第五十七張，PPT共七十六頁(yè)

11、，創(chuàng)作于2022年6月平面應(yīng)力問(wèn)題 因此 第五十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月將位移試函數(shù)代入求導(dǎo)數(shù)后再積分 因此 如果體力已知，積分可求待定系數(shù)Amn和Bmn第五十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5：圖示薄板，寬為 a，高度為 b，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布?jí)毫?q1和 q2 作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)（a）滿足邊界條件：在式（a）中u,v 各取一項(xiàng) ，即（b）（2）計(jì)算形變勢(shì)能 U將式（b）代入平面應(yīng)力情形下形變勢(shì)能公式，有積分得：（c）第六十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（c）（3）代入Ritz 法方程

12、求解體力有在右邊界：在上邊界：于是有：將式（c）代入，得（11-15）第六十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月聯(lián)立求解，得：（f）代入位移表達(dá)式（b），得：（g）討論：（1）如果在位移式（a）中再多取一些系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計(jì)算，這些系數(shù)全為零。（2）位移解（g）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。表明：位移解（g）為問(wèn)題的精確解。第六十二張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月Ritz 法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。第六十三張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022

13、年6月例6:圖示矩形薄板，寬為2 a，高度為2 b，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：（a）不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解:（1）假設(shè)位移函數(shù)只取一項(xiàng)，即 m =1, 將位移分量設(shè)為：（b）顯然，可滿足位移邊界條件：第六十四張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（2）代入Galerkin 法方程求解該問(wèn)題中無(wú)應(yīng)力邊界條件，式（b）滿足全部條件。可用伽遼金（Galerkin）法求解。X = Y = 0，m = 1，伽遼金法方程變?yōu)椋海╟）第六十五張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 將其代入伽遼金方程（c）, 可求得：第六十六張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月代回位移表達(dá)式（b）, 得位移解答：當(dāng) b = a，取 = 0.2時(shí)，上述解答成為：第六十七張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（3）求應(yīng)力分量應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：第六十八張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第六十九張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由虛功原理：應(yīng)力變分方程（虛應(yīng)力方程）第七十張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由廣義虛功原理：第七十一張，PPT共七十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月表明