1、高等院校非數學類本科數學課程 一元微積分學 大 學 數 學（一）第四講 數列極限收斂準則、 無窮小量、極限運算腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第二章 數列的極限與常數項級數本章學習要求：第二章 數列的極限與常數項級數第二節 數列極限收斂準則第三節 數列極限的運算一、數列極限收斂準則二、無窮小量與無窮大量三、極限的運算四、施篤茲定理及其應用1.單調收斂準則 單調減少有下界的數列必有極限 . 單調增加有上界的數列必有極限 .一、數列極限收斂準則 通常說成：單調有界的數列必有極限.證由中學的牛頓二項式展開公式例1類似地, 有又 等比數列求和 放大不等式每個括號小于 1 .

2、 綜上所述, 數列xn是單調增加且有上界的, 由極限存在準則可知, 該數列的極限存在, 通常將它紀為 e, 即e 稱為歐拉常數. 歐拉一身經歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠離開了祖國。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（17411766年），其余時間則留在俄國彼得堡。 歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。他的寓所和財產曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結發之妻先他10年去世。 歐拉聲譽顯赫。12次獲巴黎科學院大獎（17381772年）曾任彼得堡科學院、柏林科學院、倫敦皇家學會、巴塞爾物理數學會、巴黎科學院等科學團體的成員。 歐拉成就卓著。生前就

3、出版了560種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數學家。 歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學學文科，兩年后獲學士學位。第二年又獲碩士學位。后為了滿足父親的愿望，學了一段時期的神學和語言學。從18歲開始就一直從事數學研究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學家、物理學家阿拉哥（D. F. J. Arago，17861853）說：“歐拉計算一點也不費勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風飛翔一樣?！?有一次，歐拉的兩個學生計算一個復雜的收斂級數的和，加到第17 項時兩人發現在第 50 位數字相差一個單位。為了確定究竟誰對，

4、歐拉用心算進行了全部運算，準確地找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運用心算解決了使牛頓頭疼的月球運動的復雜分析運算。 歐拉創用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 A，B，C表示對應的三個角( 1748 )；創用 表示求和符號 ( 1755 )；提倡用 表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對數的底；還用y 表示差分等等。 十八世紀四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國，如他在1748年出版的無窮分析引論。2.數列極限的夾逼定理設數列 xn, yn, zn 滿足下列關系:(2)則(1) yn xn zn , n Z+(或從某一項開始) ;想想：如何證明夾逼定理?解由于例2想得通吧？解

5、例3 夾逼定理例4解例5解 夾逼定理請自己做!有界數列的重要性質由任何有界數列必能選出收斂的子數列.定理左端點構成單調增加的數列右端點構成單調減少的數列上面所用到的方法歸結起來稱為“區間套定理”.(區間套定理)定理3. 柯西收斂準則 滿足此條件的數列, 稱為“柯西列”. 柯西準則可寫為:證由柯西收斂準則可知, 該數列是發散的.例6證由柯西收斂準則可知, 該數列是收斂的.例7 柯 西 A.L.Cauchy (17891857)業績永存的 數學大師 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數學家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時代柯西的數學才華就頗受這兩

6、位大數學的贊賞，并預言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強了對柯西文學素質的培養，使得后來柯西在詩歌方面也表現出很高的才華。 18051810年，柯西考入巴黎理工學校，兩年后以第一名的成績被巴黎橋梁公路學院錄取，畢業時獲該校會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學院數學大獎，1816年3月被任命為巴黎科學院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學校分析學和力學教授。 由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，致力于純數學研究?？挛髟跀祵W上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發展史上的一個重大事件，也是柯西對人類

7、科學發展所作的巨大貢獻。1821年柯西提出了極限定義的方法，把極限過程用不等式刻劃出來，后經維爾斯特拉斯改進為現在教科書上所說的極限定義或定義。當今所有微積分教科書都還（至少在本質上）沿用柯西關于極限、連續、收斂等概念?？挛鲗Χǚe分作了系統的開創性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強調在作定積分運算前，應判斷定積分的存在性。 他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數學分析的基本概念得到嚴格化處理，從而結束了 200 年來微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發展為現代數學最基礎、最龐大的數學學科。 數學分析嚴謹化的工作一開始就產生了很大的影響。在一次

8、學術會議上柯西提出了級數收斂理論，會后，拉普拉斯急忙回家，關起門來，避不見人，直到將他所發表和未發表的與級數有關的論文和著作全部檢查一遍，確認無誤為止。 柯西一生撰寫的數學論著有800多種。他是19 個科學院或著名學術團體的成員。1838年他還被授予男爵封號。他在學術上的貢獻涉及到分析學、復變函數論、彈性力學、微分方程、群論、行列式、數論、解析幾何、數值分析、微分幾何、光學、天體力學等學科或學科分支。 柯西一生最大的錯誤是“失落”了才華出眾的年輕數學家伽羅華與阿貝爾的開創性的論文手稿，致使群論晚問世近半個世紀。 1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他的臨終遺言： “人總是要死的，但他們的業績永

9、存。” 二、無窮小量與無窮大量1. 無窮小量 對數列極限的描述, 實際上, 就是對整序變量極限的描述.(1) 無窮小量的定義 簡言之： 以零為極限的量, 為該極限過程中的無窮小量. 無窮小量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很小的數. 無窮小量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很小的數. 例8(2) 無窮小量的運算性質兩個無窮小量的商的情況比較復雜, 以后會專門討論.(推廣：常數與無窮小量之積仍為無窮小量.)證 其它性質可仿此進行證明.幾個問題結 論2. 無窮大量 首先要注意到是, 無窮大量與無窮小量一樣,無窮大量不是指的一個很大的數,也是描述的變量的變化趨勢.(1) 無窮大量的定義定義無

10、窮大量時, 用的是絕對值 去掉絕對值符號, 則可以定義正無窮大量和負無窮大量. 去掉絕對值符號會怎么樣？ 無窮大量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很大的數. 例9由無窮大量與無界量的定義是否可得出:無窮大量一定是無界量, 反之,無界量一定是無窮大量?無窮大量一定是無界量.無界量不一定是無窮大量.幾個問題考察例題結 論(2) 無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量與無窮大量互為倒數關系？ 分母不能為零 利用無窮小量與無窮大量的關系可以將一些無窮大量的運算歸結為相應的無窮小量運算, 并可得到有關無窮大量的運算性質.幾個問題結 論考察例題利用這里提供的數列可以得出上面的結論.(3) 無窮大量的運算性質請同學自己證明.(1) 無窮小量與極限的關系上述過程顯然可以反推過去, 于是就可得出下面的重要定理：三、極限的運算定理怎么寫？定理或寫為(2) 數列 (整序變量 ) 極限的運算證由無窮小量的運算性質, 可得到其余的證明由學生自己完成解由于兩個無窮大量的差不一定是無窮大, 所以進行變形處理：例10 部分分式法例11解 幾何平均值極限公式例12解例13解 類似該例的做法,還可以得到下列結果: 例