1、流體力學NS方程簡易推導過程小菜鳥0引言流體力學的NS方程對于整個流體力學以及空氣動力學等領域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導，記錄一下整個推導過程，供自己學習，也可以供大家交流和學習。基本假設空氣是由大量分子組成，分子做著無規則熱運動，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現象，例如我們在空間中取出一塊控制體，當控制體中存在分子時，該控制體的密度等量較大，不存在時就會為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內包含大量分子，控制體積的

2、壓力密度溫度速度等物理量存在統計平均結果，這個結果是穩定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態方程。自然界中宏觀情況的流體運動畢竟占據大多數，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運動，采用稍微專業一點難度術語是流體滿足連續介質假設。連續介質假設的意思就是說，我們在流場中隨意取出流體微團，這個流體微團在宏觀上是無窮小的，因此整個流場的物理量可以進行數學上的極限微分積分等運算；同時，這個流體微團在微觀上是無窮大的，微團中包含了大量分子，以至于可以進行分子層面的統計平均，獲得我們通常見到的流場變量。連續介質假設成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠遠大于分子平均運動自由程（標準狀況下空

3、氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運動理論：，這在大多數宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續介質假設不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風速儀的金屬絲，直徑通常在15微米量級，最小流體微團已經接近分子平均運動自由程，連續介質假設不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個分子平均自由程量級，不過采用連續介質假設進行激波內流場計算時，計算結果仍然可以得到比較合理，并且與實際情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了基礎性的保證；第二種是

4、分子平均運動自由程特別大，分子平均運動自由程是指兩個分子之間碰撞距離的平均值，這個結果與分子有效直徑，分子運動速度等相關，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運動自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續介質假設失效，此時必須考慮稀薄氣體效應。在層流邊界層情況下，分子平均運動自由程與邊界層之間存在近似關系：九M5vRe從這個關系中，可以發現，當馬赫數非常大但是同時雷諾數非常小的時候，流場微小尺度才可能達到分子平均運動自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多數我們能觀察到的情況下，上述公式的結果都是非常小的，滿足連續介質假設，這個公式不成立的情

5、況在大氣層外邊緣，此時大氣分子之間平均動量交換降低，導致粘性變得非常小，雷諾數很高，因此公式計算結果急劇降低，導致連續介質假設失效。前面討論了連續介質建設成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續介質假設范圍內的結果。連續性方程：質量守恒定律的流體表達根據質量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規律：控制體的總質量不隨著運動而變化的，在運動過程中控制體始終由相同流體微團組成，因此利用流場物理量將物理規律用數學公式表達可得：HIPdV=0DtV根據引論1中的內容，上式左邊隨體導數可以采用兩種形式的偏導數表示：VIIp(v-n)dS=III住+V(pv)dV=0Ldt_DV(1)微

6、元體表達形式：o空+w(pv)=0根據引論1中微元體的隨體導數關系可以得到：需+PV.v=0或者V.v=-+DP2)張量表達形式：k.空+2(pu)=0Stdxjj動量方程：牛頓第二定律的流體表達根據牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規律：某一時刻，控制體中所有流體微團的總動量隨時間的變化率=控制體中所有流體微團受到的合力。控制體受力主要包括表面力和體積力，表面力作用于物體表面，例如壓力等應力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力（當然這不是絕對，因為法向力還包括流場可壓縮性引起的法向應力）；體積力作用于流場中每一個流體微團，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第

7、二定律可以表達為：控制體總動量隨時間變化率=控制體表面力合力+控制體體積力合力（為了推導方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時，將該項加入即可）。利用流場變量可以將上述定律表達為數學公式：UfpvdV=-UpndS+JJt-ndSDtTOC o 1-5 h zVSS其中根據引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導數表達形式，、L=BJpDvdV=fffdPVdV+ffpv(v-n)dSDtdtffVf(VSVp+V-t)dVv亠(1)微元體表達形式：pDv=-Vp+V-TDt根據引論2，上式左邊具有這兩種偏導數表達形式（一種根據定義，一種引入質量守恒關系）：P裁汀（v小罟+V-（Pv

8、）2）張量表達形式：DudpStTOC o 1-5 h zpi=-+jDtdxdxij根據引論2，上式左邊具有兩種偏導數表達形式（一種定義，一種引入質量守恒）：Dudududpud(、Pi=Pi+PUi=i+PUU丿Dtdtjdxdtdxijjj3）補充說明1：粘性應力表達式上述公式中，我們將表面力表達為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法向力，粘性力由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據各項同性假設，粘性應力張量可以表達為：t=九sO+2psijijij1(dudu)dui+j,s=kdxdxIdxjik其中，miu稱為動力粘性系數。s=ij2根據Stokes假設，在通常情況下，體積粘

9、性系數卩=九+2卩=0，于是上述3粘性應力表達為：IduQuT=川i-+jijIdxdxji（4）補充說明2：粘性應力的空間導數dukodxijk在動量方程中，粘性應力的空間導數可以表達為：dudu2duiIjkOdxdx3dxijjikpdsdpIdududp(dudu2dup、+iIjkOdxIdxdx3dxijjjikduv、-kodxijkdTdj=p-dxdxjjd2u=Pi+dxdx3dxdxjjjj如果流場為不可壓縮s=0并且粘性系數不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為：dTpd2upjpi,whens=0,p=Cdxdxdxjjj(5)補充說明3：動力粘性系數表達式：該公式中動

10、力粘性系數是流體的基本變量，該系數表征流體分子之間動量交換的快慢程度，與流場的溫度相關，與壓力等其他變量關系較小，在溫度為:*峯馬飛芒形puepaqins宙送氐叵國耶1006100TA+(-一7IQ丿弋？xfXQJ(7廠(十+(忙aad空=?-（乙）Il丿(n)d(+3A9d=3A9d乙、:芒務*峯糜昔削曲固早苜芒丁圧巨乙業T安12郢出(么習)+(i)-A+()*A-=Y+APAP（乙、:芒務?k刪()A(2A7)A+(-i)A+()A-jjJ=y呢、+za+d+；丿JC7adnr:芒務*峯糜昔黝曲固早苜率丑玉皇，圧巨乙業T安I2囲甜，申茸SSSASPU上40jj+SP心ijj+SPU品jj-

11、=JC7:（嚴諏儺骼稈舌宙卻刪M辦鯽辱丄X）芒務煮濟*輕舌刪細儺書豳豎宙送昔郛浴懈母回苗場+直涮的切至荃軌卑聲叫臨書鵰、那幽畔母:割齋產啣丄皿舌犁軌黠冊池出色豎割舌國書鵰郢出軽螂卿39鷄：尋皇喜鶏Ps-0TX1768-T區糜麥刃旳匚購丄當割1882晉負丑皿同畜西陰羽郵回刃宙送羽巨10!叭業0丄9鞏尸一出茸了爐o、2+Ie門上k丿M006I600l2V6plfalI+II+I0門上1+19-10vivi刃牙惡AeuTv2、2DeD廠2、1、1bIIp11DEb1psDMbIIp11sDEzbp、DMDEdp號Ps+sILDr-dx-dxDePHPS+HDtdx(dxJj/j1甘U1J_E2、Eg

12、。C-戀pithue+pou:T旦DrpjDhDDtDeDppDpDeDpHPI+lnlhLIHpI+IH+psDtDipDiDtDfDhDpduddrpMln+H+kDkDiudxdx(dxi;z1甘U1J_E2、Eg。D丁J4houh+v2、2HE+pouDh4D1_DMHP/?+IV2HP+psDt(DhDhD:5?Dhdp號PM+sDr-dxidxDhDpdudP0H+H-+DhDfudxdpOTX+XniQxiQx。能氷n、s、-si、0祐JEffil侏關州呂wgsfflsMm、SSIOST、CXI仝一Rr啟-/XQXQ4255+IThhJiIdHjdJ*aJrJ.J.J.rL.fi

13、sssl、總I宦notdp丄Pusp-L料Q舉-LLI-eeee対対-(ps+z(pp)+z(ps-対対-(ps+z(ps+z(ps-耕me-C-1(p+s+z(p+p)+z(p+ss-口me-ee-z+z(p+p)+z(p+p)+z(p+p)zz二zzn;:;:p+p+p)zZP9+ZP9+ZP9+LZ(p+p)+z(p+p)+z(p+p)riririeeee-p+p+ru-耕me-e-yee-(p+s+c(p+p)+-p+p)+EZ+w+Ezri廠啟1JW41cn、zznp+p+p)ri寸丄二于f+TIQ懇-耕me-e-ee-p+sz+z(p+sz+z(p+sz+忌寸+忌寸+忌寸丿f十4I

14、u啟工廠-+J啟啟XQ懇cc懇廠J4+4ri.du,A=aijdxjAAATOC o 1-5 h z111213A=AAA212223AAA3132335附件：隨體導數的偏導數表達（控制體/微元體？包含密度？）引論1：控制體和微元體的隨體導數表達式%=+v5=+u竺D曲dV=山dV+Ik(v-n)dS=Dtdtdtjdx砂+V.（Qv）dVdt_VVDV利用隨體導數物理定義和數學上導數定義（求極限方法）容易得到第一個公式，利用控制體積分量的隨體導數物理定義，也容易得到第二個公式，在流體力學教材中也很容易找到這兩種隨體導數的定義。為什么這么做，寫出這樣一個公式？因為隨體導數是拉格朗日觀點，隨體導

15、數非常符合物理思維，利用隨體導數很容易表達物理規律，例如牛頓第二定律F=ma，因此推導公式過程中經常采用隨體導數。不過流場中物理量通常采用隨時間和空間變化的四維函數，直接利用該函數無法得到隨體導數，只能得到一些偏導數，需要根據隨體導數的物理定義將隨體導數表達成合成偏導數形式。引論2：包含密度的控制體和微元體隨體導數在后續方程推導中經常出現包含密度的隨體導數情況，將包含密度的隨體導數利用連續性方程進行化簡，可以極大簡化推導難度。包含密度的隨體導數利用了引論1+連續性方程，也就是隨體導數定義和連續性方程兩個規律，具體推導如下：fffpedV=(pe)+V-(pQv)idt-V-+pvV+V&dt=p型二列卩小+匸命枷)DtdtDtVdV(pv)dV=Bp型dVDt