1、解斜三角形練習即 a = b = c sin A sin B sin C知識梳理1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等,利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB;c2=a2+b22abcosC在余弦定理中，令 C=90 ,這時cos C=0,所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由

2、可得.22222.22.22cosA= bc;cos B=-a;cos C=-b. 2bc2ca2ab利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.三角形解的個數電 提示:已甚四近或其 a二二速行有蕩；企互二直妁力f括;甚:已知門、內衣人*超R日寸應注/：后門二號內+則H有一 M QVJS 八；若白 V則13 可育巳有兩餌，一工滿, Ay萬一二180A 取H 0 C.tan A+tan Btan C 0D.b=3,5c=3 J3 , B=303.4ABC中，a、b、c分別為/ A /B / C的對邊，如果 a、b、c

3、成等差數列，/ B=30 ,ABC勺面積為3 ,那么b等于()2A. 1_3B.1+. 3 C.2_3D.2+.322.已知(a+b+c) (b+ca) =3bc,貝U/ A=.在銳角 ABC43,邊長a=1, b=2,則邊長c的取值范圍是 .(重慶理6)若 ABC的內角A、B C所對的邊a、b、c滿足(a b)2 c2 4,且C=60 , 則ab的值為.典例剖析【例1】ABC勺三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證：A=2B.【例 2】已知銳角 ABC3, sin (A+B) =3, sin (A B) =1 . 55(1)求證：tan A=2tan B;(2

4、)設AB=3,求AB邊上的高.【例3】在AB/, a、b、c分別是/ A、/ B、/C的對邊長，已知 a、b、c成等比數 列，且 a2c2=ac bc,求/ A的大小及 bsin B 的值.c闖關訓練 TOC o 1-5 h z .在ABC A30 ” 是 “ sin A 1” 的（）2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件.在 ABW, A= 300, a 8, b 8石，則A ABC勺面積為（）A. 32 v3B. 16C. 32套 或 16D. 32jV 或 1673.（廣東）已知ABC角A、BC所對的邊分別是a、b、c,若a c發血，且 a75

5、,則b （）A.2B. . 6 ,2C. 4 2,3D. 4 2,3.在ABCK角A B、C所對的邊分別是a、b、c,且cos2- -b-c ,則 ABC勺形狀（）2 2cA.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D.等邊三角形222.（四川理6）在 ABC中.sin A sin B sin C sinBsinC.則a的取值范圍是A. （0, -B. - ,） C. （0, -D.-,）.在ABC4由已知條件解三角形，其中有兩解的是（）A. b=20, A=45 , C=80B.a=30, c=28, B=60C.a=14, b=16, A=45D. a=12, c=15, A=12

6、0.在ABW,角A、RC所對的邊分別是a、b、c,若三角形的面積S=-（a2+b2 c2）,則/4C的度數是.在ABC43,若/ C=60 ,則b =.b c a c.在 ABC43,有 a2 c2 b2 ab ,則 sinC .(全國高考)在ABC3, 口為 BC 邊上一點，BC=3BD,AD=2, adb 1350,若 AC=72 AB, 貝U BD=.、，1 sin2B y=sin B cos B.在ABC4角A、B C所對的邊分別為a、b、c,依次成等比數列，求 的取值范圍.已知ABC, 272 (sin2A sin 20 = ( ab) sin B,外接圓半徑為 0C.tan A+t

7、an B+tan C 0D.b=3, c=3V3 , B=30特別提示, 兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數量積把三角,形和三角函數聯系起來， 用向量方法證明兩定理， 突出了向量的工具性， 是向量知識應用的：實例.另外，解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”點擊雙基.(上海)在 AB8,若2cos Bsin A=sin C則 ABC勺形狀一定是(A.等腰直角三角形C.等腰三角形22.2解析：由 2cos Bsin A=sin C得 acac答案：C.下列條件中， ABC是銳角三角形的是(1A.sin

8、A+cosA=-51解析：由 sin A+cosA=-5 0. B 為鈍角.得 2sin AcosA=- 24 0,得 BA - BC 0,得 tan (A+B) (1 tan Aan B) +tan C0.tanAtan Btan C 0, A、B、C都為銳角.由一b-二上，得sin C=3C=或在. TOC o 1-5 h z sin B sinC233答案：C.(全國IV,理 11) ABC中，a、b、c分別為/ A / B、/ C的對邊，如果 a、b、c 成等差數列，/ B=30 , ABCW面積為3 ,那么b等于()2A. 1_-3B.1+ . 3C._D.2+、322解析：: a、

9、b、c成等差數列，2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又 ABC勺面積為2 ,2且/ B=30 ,故由 Skabc= 1 acsin B=_ acsin30 = ac=-,得 ac=6. a2+c2=4b2 12.由余弦 224222,222.2定理，得 cosB=ac b =4b 12 b =b 4= 3 ,解得 b2=4+2V3 .又b為邊長，2ac2 642.b=1+ 3 .答案：B.已知(a+b+c) (b+ca) =3bc,則/ A=222解析：由已知得(b+c) 2-a2=3bc,. b2+c2a2=bc. -c =- .，A=-.2bc 23答案：工3.在銳角 ABC4

10、3,邊長a=1, b=2,則邊長c的取值范圍是.222解析：若 c是最大邊，則 cosC0.-b 0, .二/5.又0b-a=1,12ab c 5 .答案：（1,近）.（重慶理6）若 ABC的內角A、B C所對的邊a、b、c滿足（a b）2 c2 4,且C=60 ,則ab的值為答案：4 3典例剖析【例1】ABC勺三個內角AB、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.證明：用正弦定理，a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中，得 sin2A=sin B(sin B+sin

11、 C)sin 2A sin 2B=sin Bsin C1-c0s2A 1_cos2B =sinBsin(A+B)- (cos2B-cos2 A)=sinBsin(A+B)222sin (A+B) sin (A B) =sin Bsin (A+B),因為A、B C為三角形的三內角，所以 sin (A+B) w 0.所以sin (A B) =sin B.所以只 能有 A- B=B,即 A=2B評述：利用正弦定理，將命題中邊的關系轉化為角間關系，從而全部利用三角公式變換求解.思考討論(1)該題若用余弦定理如何解決 ？解：利用余弦定理，由 a2=b(b+c),得 cosA=b_c_a_ =8一c)b(

12、b c)=-c-Jb22 h2cos2 B=2cos2B 1=2 ( c2ac2bc2bc、2(b c) 2c2c b1 =1 =.2b (b c) c22b2b所以cosA=cos2B.因為A、B是ABC勺內角，所以 A=2B(2)該題根據命題特征，能否構造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決解：由題設a2=b (b+c),得a bD,作出 ABC延長CA!ij D,使AD=AB=c,連結BD式表示的即是-BC =JA|所以 BCDh ABD.所以 / 1 = /D.又 ABAD 可知/ 2=/D,所以/ 1=7 2.因為/ BA(=Z 2+Z D=2Z2=2Z 1,所以A=2B評述：近幾

13、年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側 重點還在于三角轉換.這是命題者的初衷.【例312】(全國 n, 17)已知銳角 ABC43, sin (A+B) =- , sin (A B) =1 .55(1)(2)求證：tan A=2tan B；設AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式, 決(2).結合圖形，以(1)為鋪墊，解(1)證明：31sin (A+B) =- , sin (A B)=-sin Acos BcosAsin Bsin Acos BcosAsin B3515sin Acos Bcos Asin B2515tan AnA

14、=2.tan A=2tan B.tan B(2)解:-30 ” 是 “ sinA 1” 的2A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：在 ABC中，A 300 V sinAv1sinA- ; sinA-30 vAv15022A 30 .答案：B2.在ABC3, A= 300, a8, b 8后,則ABC勺面積為（A. 32 . 3B. 16C. 324弓或 16D. 32萬或16代解析：由正弦定理得,sinB , B 600或1200,再由面積公式得 3273或1673 o 2答案：D3.廣東）已知 ABO43,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,

15、若aA.2B.,6 ,2C. 4 2,3D. 4 2,3解析：sin A sin 750 sin(450 300) 6 2，由 a c 6 聲可知， C 75，所以4 TOC o 1-5 h z c1B 300, sin B -，故由正弦定理得，b 2。2答案：A4.在ABB,角AB、C所對的邊分別是a、b、c,且cos2-b-c,則 ABC勺形狀()2 2cA.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D. 等邊三角形2222 A 1 cos A b cb _b c a斛析： 由 cos - 2 , 得 cosA 一 。 又 cosA , 聯立 以上兩式并整22cc2bc理，得c2 a

16、2 b2 ,C 90，故ABC直角三角形。答案：A222.(四川理6)在ABC中.sin A sin B sin C sinBsinC .則a的取值范圍是A. (0, 6 B. 6 ,【答案】C【解析】由題意正弦定理C. (0, 3 D. 3 ,)222cos A -0 A 232,22222, bcaa b c bc b c a bc 1bc.在ABC4由已知條件解三角形，其中有兩解的是A. b=20, A=45 , C=80B.a=30, c=28, B=60C.a=14, b=16, A=45D.a=12, c=15, A=120解析：由a=14, b=16, A=45及正弦定理，得 迎

17、竺=生公，所以sin氏亞.因而B16147有兩值.答案：C.在ABW,角A、B C所對的邊分別是a、b、c,若三角形的面積S=- (a2+b2 c2),則/4C的度數是.- 2abcos C tan C=1.C=.4(*) TOC o 1-5 h z 解析：由 S=- (a2+b2c2)得1 absin C= 424答案：45.在ABC43,若/ C=60 ,則 -a b-= b c a c2.2a b a ac b bc 解析：=b c a c (b c) ( a c)2. 2.a b ac bc =.2ab ac bc c/ C=60 , a +b c =2abcosC=ab.10，a2+

18、b2=ab+c2._22代入(*)式得a一b一bc =1.ab ac bc c2答案：1.在 ABC43,有 a2 c2 b2 ab ,貝U sinC.父2.(全國高考)在ABC, 口為 BC邊上一點，BC=3BD,AD=/2 , adb 1350,若 AC=72 AB,、-1 sin2B y=sin B cos B培養能力.在ABC角A、B C所對的邊分別為a、b、c,依次成等比數列，求的取值范圍 TOC o 1-5 h z 22,222,2acbacac1,ac、1、1解：- b =ac,cosB= ( +一) -2ac2ac 2 c a 22.0B 三， 32ry= 1 sin2B =(

19、sinB cosB)=sin B+cosB=72 sin (B+- ) . / - B+ 三 & 上,sin B cosB sin B cos B444121.故 1 v y w J5.12.已知ABC3, 2 旌(sin2A sin 2C) = (a b) sin B,外接圓半徑為 12 .(1)求/ C;(2)求 ABO積的最大值. TOC o 1-5 h z 22(ab)解：(1)由 2*2 (sin2A sin 2C) = (ab) sin B得 2V2 (-a -c)4R24R22R2 b221又 R= V2 ,a2 c2=ab b2.a2+b2 c2=ab. cosC=-=.2ab 2又. 0 C 180 ,C=60 .(2) S=1 absin C= x ab=2 33 sin Asin B=23 sin Asin (120 A) 222=2 . 3 sin A (s