1、隨機性模型選講理學院 數學教研部鄭繼明: zhengjm202107181Outline1. 簡單的隨機性模型2. 報童的賣報問題 傳染病的隨機感染 為什么航空公司要超訂機票 假設檢驗my教案/teacherFile.php?t=125&id=zhengjm202107182按建模時：確定性要素? 隨機性要素?隨機要素可以忽略(隨機要素影響可以簡單地以平均值的作用出現)隨機要素影響必需思索概率模型統計回歸模型馬氏鏈模型數學模型分類確定性模型隨機性模型2021071831 簡單的隨機性模型1.1 取球問題 問題：盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的，第一次競賽時從盒中任取3個，用后仍放回盒中，

2、第二次競賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率。202107184 分析：第二次取球是在第一次競賽之后，所以當第二次取球時盒中就不一定有9個新球了，由于第一次用的3個球能夠有0、1、2、3個新球，所以第二次全取新球直接受這四種能夠性的影響，可用全概率公式求解。設A表示“第二次取出的球都是新球的事件； i0,1,2,3表示“第一次競賽時用了i個新球那么得： | 于是由全概率公式| 2021071851.2 電能供應問題 問題：某車間有耗電為5KW的機床10臺，每臺機床運用時是各自獨立地且間隙地任務，平均每臺每小時任務12min。該車間配電設備的容量為32KW，求該車間配電設備超載的

3、概率。202107186分析：每臺耗電量為5KW，而配電設備容量為32KW，顯然，有七臺或七臺以上的機床同時任務時，設備會發生超載景象。下面求出現這種景象的概率。 察看10臺完全一樣的機床在同一時辰的任務情況與察看一臺機床在10個時辰的任務情況是一樣的。我們關懷的問題是機床能否正在任務。 對于任一時辰，機床要么任務，要么不任務，只需兩個結果，而10臺機床的任務是相互獨立的，每臺機床正在任務的概率一樣且 ，這是貝努利概型. 202107187 由二項分布知，“在同一時辰不少于七臺機床同時任務的概率注：該車間設備超載的能夠性(概率)是非常小的。 2021071881.3 客車停站問題 問題：一輛送

4、客汽車載有20位乘客從起點站開出，沿途有10個車站可以下車，假設到達一個車站沒有乘客下車就不停車，設每位乘客在每一個車站下車是等能夠的，試求汽車平均停車次數。202107189設隨機變量X表示停車次數那么 由于每位乘客在每一車站下車是等能夠的，所以每一位乘客在第i站不下車的概率為 ， 記所以2021071810從而得汽車平均停車次數： 20210718111.4 蒲豐投針問題 問題：平面上畫有等間隔為 的一些平行線，向此平面任投一長為 的針，試求此針與任一平行線相交的概率。 以M表示針落下后的中點,x表示M到最近一條平行線的間隔， 表示針與平行線的交角，如圖 2021071812分析：有兩種能

5、夠 (針與這些平行線中的某一根相交，或都不相交。) 沒有理由以為這兩種能夠性是一樣大的。 用幾何概率去處理。 根身手件區域其面積為： 2021071813 而A的面積為 ,針與平行線相交的充要條件是 故所求概率為 下面用MATLAB求解2021071814注：rand(n)=rand(n,n)rand(m,n) 生成一個滿足均勻分布的 m n 隨機矩陣，矩陣的每個元素都在 (0,1) 之間。隨機函數round(x) : 四舍五入取整取整函數 實驗方法 先設定進展實驗的總次數 采用循環構造，統計指定事件發生的次數 計算該事件發生次數與實驗總次數的比值MATLAB相關知識2021071815 隨機

6、投擲均勻硬幣，驗證國徽朝上與朝下的概率能否都是 1/2 (穩定性)n=10000; % 給定實驗次數m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1; y=x(1); if y=0 % 0 表示國徽朝上，1 表示國徽朝下 m=m+1; endendfprintf(國徽朝上的頻率為：%fn,m/n);實驗一：投擲硬幣2021071816 設某班有 m 個學生，那么該班至少有兩人同一天生日的概率是多少？實驗二：生日問題解：設一年為 365 天，且某一個學生的生日出如今一年中的每一天都是等能夠的，那么班上恣意兩個學生的生日都不一樣的概率為：所以，至少有兩個學生同一天生日的概率為：20210

7、71817n=1000; p=0; m=50; % 設該班的人數為 50for t=1:n a=; q=0; for k=1:m b=randperm(365); a=a,b(1); end c=unique(a); if length(a)=length(c) p=p+1; endendfprintf(任兩人不在同一天生日的頻率為：%fn,1-p/n);實驗二源程序2021071818clear; m = 50;p1= 1:365; p2= 1:365-m, 365*ones(1,m);p = p1./p2;p = 1- prod(p);fprintf(至少兩人同一天生日的概率為：%fn,p

8、);實驗二的實際值計算2021071819 ,2021071820function buffon(l,d,n)% l平行線間距 % d針長，n 為投針次數 m=0; for i=1:n alpha=rand(1)*pi; y=rand(1)*d/2; if y=l/2*sin(alpha) m=m+1; endendfprintf(針與平行線相交的頻率為：%fn,m/n);fprintf(計算出來的 pi 為：%fn,2*n*l/(m*d);源程序2.12021071821function pai,number=buffon1(a,b,N) % a，b分別為平行線間距和針長，N 為投針次數 x

9、=unifrnd(0,pi,N,1); y=unifrnd(0,a,N,1); number=0; % 相交計數器 for i=1:N if y(i)bc。請他給報童謀劃一下，他應如何確定每天購進報紙的數量，以獲得最大的收入。 2021071823 分析：報童購進數量應根據需求量確定，但需求量是隨機的，所以報童每天假設購進的報紙太少，不夠賣，會少賺錢；假設購進太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報紙的需求量是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的 因此衡量報童的收入，不能是報童每天的收入，而應該是他長期幾個月、一年賣報的日平均收入。從概率論大數定律的觀念看，這相當于報童每天收入的期望值，以下簡稱平

10、均收入。2021071824 記報童每天購進n份報紙時平均收入為G(n)，思索到需求量為r的概率是p(r)，所以 假設報童曾經經過本人的閱歷或其它渠道掌握了需求量的隨機規律，即在他的銷售范圍內每天報紙的需求量為r份的概率是p(r),r0,1,2, 。問題歸結為在p(r)、a、b、c知時，求n使G(n)最大。 2021071825 通常需求量r的取值和購進量n都相當大，將r視為延續變量，這時p(r)轉化為概率密度函數f(r)，(1)式變為： 計算 2021071826使報童日平均收入到達最大的購進量n應滿足(3)，或2021071827 根據需求量的概率密度f(r)的圖形很容易從(4)式確定購進

11、量n。 n=? 在圖中，用 分別表示曲線f(r)下的兩塊面積，那么(3)式又可記作： 2021071828由于當購進n份報紙時：是賣不完的概率； 是賣完的概率；購進的份數n應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢ab與退回一份賠的錢bc之比。 (3)(或5)式闡明：2021071829 當報童與郵局簽署的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數就應該越多。 例如：假設每份報紙的購進價為0.15元，售出價為0.2元，退回價為0.12元，需求量服從均值500份、均方差50份的正態分布，報童每天應購進多少份報紙才干平均收入最高，這個最高收入是多少？2021071830解：查表可

12、得n0.32516即每天購進516份報紙。 按照(2)式，可得最高收入G23.484元。由于按(4)式， 其中 500 ,50由于2021071831 問題： 人群中有病人帶菌者和安康人易感染者.任何兩人之間的接觸是隨機的.當安康人與病人接觸時安康人能否被感染也是隨機的.經過實踐數據或閱歷掌握了這些隨機規律. 怎樣估計平均每天有多少安康人被感染，這種估計的準確性有多大？ 3 傳染病的隨機感染 一個完好的建模引見求解方法?2021071832 (參見美-堆鹽問題87A求解)2021071833 模型假設注：符號闡明2021071834 陳列與組合，概率計算 隨機變量與分布函數，離散型隨機變量的分

13、布律二項分布預備知識建模時能夠用到的一些物理定律、數學公式或方法等建模目的是尋覓安康人中每天平均被感染的人數與知參數 的關系. 模型分析2021071835 模型建立利用二項分布的性質并留意到人群總數為n,有記假設2中任何二人接觸的概率為一安康人與一名指定病人接觸的概率. 一安康人每天接觸的人數服從二項分布. 2 再記一安康人與一名指定病人接觸并感染的概率為32021071836 模型建立(4)一安康人每天被感染的概率 2021071837 模型建立與求解為了得到簡明的便于解釋的結果，需對4式進展簡化。 7最后得到89方法、推導2021071838 模型求解數據處置2021071839 模型解

14、釋結果分析2021071840 模型評注模型推行、或模型優缺陷2021071841 模型評注注: 參賽論文除摘要外，還要附上參考文獻、程序、數據處置情況等.20210718424 為什么航空公司要超訂機票 問題：他備好行裝預備去游覽，訪問New York城的一位摯友。在檢票處登記之后，航空公司職員通知說，他的航班曾經超員訂票。乘客們該當馬上登記以便確定他們能否還有一個座位。 航空公司一向清楚，預訂一個特定航班的乘客們只需一定的百分比將實踐乘坐那個航班。因此，大多數航空公司超員訂票?也就是，他們辦理超越飛機定員的訂票手續。而有時，需求乘坐一個航班的乘客是飛機包容不下的，導致一位或多位乘客被擠出而

15、不能乘坐他們預訂的航班。 航空公司安排延誤乘客的方式各有不同。有些得不到任何補償，有些改訂到其他航線的稍后航班，而有些給予某種現金或者機票折扣。建模練習 2021071843 根據當前情況，思索超員訂票問題： 航空公司安排較少的從A地到B地航班 機場及其外圍加強平安性 乘客的恐懼 航空公司的收入迄今損失達數千萬美圓 建立數學模型，用來檢驗各種超員訂票方案對于航空公司收入的影響，以求找到一個最優訂票戰略，就是說，航空公司對一個特定的航班訂票該當超員的人數，使得公司的收入到達最高。確保他的模型反映上述問題，而且思索處置“延誤乘客的其他方法。此外，書寫一份簡短的備忘錄給航空公司的CEO首席執行官，概

16、述他的發現和分析。 20210718445.1 統計量均值：mean(x)中位數：median(x)規范差：std(x) 方差：var(x)5 假設檢驗2021071845偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x)2021071846 對總體X的分布律或分布參數作某種假設，根據抽取的樣本察看值，運用數理統計的分析方法，檢驗這種假設能否正確，從而決議接受假設或回絕假設.5.2 假設檢驗20210718471.參數檢驗：假設觀測的分布函數類型知，這時構造出的 統計量依賴于總體的分布函數，這種檢驗稱為參數檢驗. 參數檢驗的目的往往是對總體的參數及其有關性質作出明確的判別.2.非參數檢

17、驗：假設所檢驗的假設并非是對某個參數作出明確的判別，因此必需求求構造出的檢驗統計量的分布函數不依賴于觀測值的分布函數類型，這種檢驗叫非參數檢驗. 如：要求判別總體分布類型的檢驗就是非參數檢驗.2021071848假設檢驗的普通步驟2021071849一單個正態總體均值的檢驗5.2.1 參數檢驗2021071850小 結2021071851二單個正態總體方差的檢驗2021071852三兩個正態總體均值的檢驗2021071853四兩個正態總體方差的檢驗20210718545.2.2 非參數檢驗二概率紙檢驗法 概率紙是一種判別總體分布的簡便工具.運用他們，可以很快地判別總體分布的類型.概率紙的種類很

18、多.前往2021071855 在總體服從正態分布的情況下，可用以下命令進展假設檢驗. h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗數據 x 的關于均值的某一假設能否成立，其中sigma 為知方差， alpha 為顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值：1總體方差 知時，總體均值的檢驗運用z檢驗假設檢驗根本統計命令2021071856 h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m tail =-1，檢驗假

19、設“x 的均值小于 m tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區間.2021071857 例1. MATLAB統計工具箱中的數據文件gas.mat中提供了美國1993年1月份和2月份的汽油平均價錢price1,price2分別是1、2月份的油價，單位為美分,它是容量為20的雙樣本.假設1月份油價的規范偏向是每加侖4分幣=4，試檢驗1月份油價的均值能否等于115.2021071858解 作假設：m = 115.首先取出數據，用以下命令

20、： load gas然后用以下命令檢驗 h,sig,ci = ztest(price1,115,4)前往：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.檢驗結果: 1. 布爾變量h=0, 表示不回絕零假設. 闡明提出的假設： 均值為115是合理的. 2. sig值為0.8668, 遠超越0.5, 不能回絕零假設 3. 95%的置信區間為113.4, 116.9, 它完全包括115, 且精度很高.20210718592總體方差 未知時，總體均值的檢驗運用t 檢驗 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)檢驗數據 x 的關于均值的某一假

21、設能否成立，其中alpha 為顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值： 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區間.tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 m tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05.2021071860前往：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.檢驗結果: 1.布爾變量h=1, 表示回絕零假設. 闡明提

22、出的假設油價均值115是不合理的. 2. 95%的置信區間為116.8 120.2, 它不包括115, 故不能接受假設.3. sig值為4.9517e-004, 遠小于0.5, 不能接受零假設. 例2. 試檢驗例1中2月份油價price2的均值 能否等于115.解 作假設：m = 115，price2為2月份的油價，不知其方差，故用以下命令檢驗 h,sig,ci = ttest( price2 ,115)20210718613兩總體均值的假設檢驗運用 t 檢驗 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗數據 x ，y 的關于均值的某一假設能否成立，其中alpha 為

23、顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 y 的均值 tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 y 的均值 tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 y 的均值 tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為與x與y均值差的的 1-alpha 置信區間.2021071862前往：h = 1，sig = 0.0083，ci =-5.8,-0.9.檢驗結果:1.布爾變量h=1, 表示回絕零假設. 闡明提出的假設“

24、油價均值一樣是不合理的. 2. 95%的置信區間為-5.8,-0.9,闡明一月份油價比二月份油價約低1至6分.3. sig-值為0.0083, 遠小于0.5, 不能接受“油價均一樣假設. 例3. 試檢驗例1中1月份油價price1與2月份 的油價price2均值能否一樣.解 用以下命令檢驗 h,sig,ci = ttest2(price1,price2)20210718634非參數檢驗：總體分布的檢驗MATLAB工具箱提供了兩個對總體分布進展檢驗的命令:2h = weibplot(x) 此命令顯示數據矩陣x的正態概率圖.假設數據來自于正態分布，那么圖形顯示出直線性形狀.而其它概率分布函數顯示出

25、曲線形狀. 此命令顯示數據矩陣x的Weibull概率圖.假設數據來自于Weibull分布，那么圖形將顯示出直線性形狀.而其它概率分布函數將顯示出曲線形狀.前往1h = normplot(x)2021071864例4. 一道工序用自動化車床延續加工某種零件，由于刀具損壞等會出現缺點.缺點是完全隨機的，并假定消費任一零件時出現缺點時機均一樣.任務人員是經過檢查零件來確定工序能否出現缺點的. 現積累有100次缺點紀錄，缺點出現時該刀具完成的零件數如下： 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505310 851試察看該刀具出現缺點時完成的零件數屬于哪種分布.2021071865缺點出現時該刀具完成的零件數如下(100次缺點紀錄)： 459 362