1、專題提升（八）二次函數在實際生活中的應用【經典母題】某超市銷售一種飲料，每瓶進價為 9元，經市場調查表明，當售價在10元到 14元之間（含10元，14元）浮動時，每瓶售價每增加0.5元，日均銷量減少40 瓶；當售價為每瓶12元時，日均銷量為400瓶.問銷售價格定為每瓶多少元 時，所得日均毛利潤（每瓶毛利潤=每瓶售價-每瓶進價）最大？最大日均毛利 潤為多少元？解：設售價為每瓶x元時，日均毛利潤為y元，由題意，得日均銷售量為40040（x12）65 = 1 360 80 x,y=（x9）（1 360- 80 x）=80 x2+2 080 x-12 240（1g x 14）. TOC o 1-5 h

2、 z _2 080= 132a 2X （ 80）v1013 14, .當 x=13 時,y 取最大值,y 最大=80X 132+2 080X 13-12 240=1 280（元）.答：售價定為每瓶13元時，所得日均毛利潤最大，最大日均毛利潤為1 280元.【思想方法】 本題是一道復雜的市場營銷問題，在建立函數關系式時，應注意自變量的取值范圍，在這個取值范圍內,需了解函數的性質（最大最小值,變化情況，對稱性，特殊點等）和圖象，然后依據這些性質作出結論.【中考變形】1. 2017錦州某商店購進一批進價為20元/件的日用商品，第一個月，按進價 提高50%的價格出售，售出400件，第二個月，商店準備在

3、不低于原售價的 基礎上進行加價銷售，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少.銷 售量y（件）與銷售單價x（元）的關系如圖Z8-1所示.y（件）（1）圖中點P所表示的實際意義是 當售價定為35元/件時、銷售量為300件;銷售單價每提高1元時，黑匚二銷售量相應減少_20件；圖 Z8-1（2）請直接寫出y與x之間的函數表達式：_y= 20 x+ 1 000 ;自變量x的取值范圍為 30& x&50 ;（3）第二個月的銷售單價定為多少元時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）圖中點P所表示的實際意義是：當售價定為35元/件時，銷售量為300 件；第一個月的該商品的售價為20X（1+ 50%

4、） = 30（元），銷售單價每提高1元時， 銷售量相應減少數量為（400 300）中35 30） = 20（件）.解得,k= 20,、b= 1 000,（2）設y與x之間的函數表達式為 y= kx+ b,將點（30, 400）, （35, 300）代入，400=30k+ b,得、300=35k+ b,；y與x之間的函數表達式為y= - 20 x+ 1 000.當 y= 0 時，x=50,自變量x的取值范圍為30 x 50.設第二個月的利潤為W元，由已知得 W= （x 20）y=（x 20）（ 20 x+1 000）= 20 x2+ 1 400 x- 20 000= 20（x35）2+4 500

5、,v-200, .當 x=35 時,W取最大。4 500.答：第二個月的銷售單價定為35元時，可獲得最大利潤，最大利潤是 4 500 元.2.2016寧波一模大學生自主創業，集資5萬元開品牌專賣店，已知該品牌商 品成本為每件a元，市場調查發現日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間存在次函數關系，如下表所示:銷售價x（元/件）110115120125130銷售量y（件）5045403530若該店某天的銷售價定為110元/件，雇有3名員工，則當天正好收支平衡（即 支出=商品成本+員工工資+應支付的其他費用 ）.已知員工的工資為每人每 天100元，每天還應支付其他費用200元（不包括集資款）.求日

6、銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；（2）該店現有2名員工，試求每件服裝的銷售價定為多少元時，該服裝店每天 的毛利潤最大（毛利潤=銷售收入一商品成本一員工工資一應支付的其他費用)；(3)在(2)的條件下，若每天毛利潤全部積累用于一次性還款，而集資款每天應按其萬分之二的利率支付利息，則該店最少需要多少大(取整數)才能還清集資 款？解：(1)由表可知，y是關于x的一次函數，設y=kx+ b,解得k= - 1,、b= 160,將 x= 110, y= 50; x=115, y=45 分另1J代入，f110k+ b=50,得k115k+ b=45, .y= x+ 160(0 x50 0

7、00+ 0.000 2X 50 000t,解得 t102-2. 49.t為整數，t的最小值為103天.答：該店最少需要103天才能還清集資款.3. 2017青島青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間淡季旺季未入住房間數100日總收入(元)24 00040 000價格比淡季上漲1.下表是去年該酒店豪華問某兩天的相關記錄：31(1)該酒店豪華間有多少問？旺季每間價格為多少元？(2)今年旺季來臨，豪華間的問數不變，經市場調查發現，如果豪華間仍舊實(注：上漲價格行去年旺季的價格，那么每天都客滿；如果價格繼續上漲，那么每增加25元, 每天未入住房間數增加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪

8、華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元?需為25的倍數)解：(1)設淡季每間的價格為x元，依題意得40000 x1 + 324 000 x+ 10,解得x = 600,酒店豪華間有40 00040 000600X 1+3）50（間）,旺季每間價格為x+ 1x= 600+1X 600= 800（元）. 33答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價格為800元;(2)設該酒店豪華間的價格上漲x元，日總收入為y元，y = (800+ x) ,0 25 )= 25(x 225)2 + 42 025,當x = 225時，y取最大值42 025.答：該酒店將豪華間的價格上漲 225

9、元時，豪華間的日總收入最高，最高日 總收入是42 025元.4.某公司經營楊梅業務，以3萬元/t的價格向農戶收購楊梅后，分揀成 A, B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售，B類楊梅深加工再銷售. A類楊梅的包裝成本為1萬元/t,根據市場調查，它的平均銷售價格y(萬元/t)與銷售數量x(x2)(t) 之間的函數關系式如圖Z82, B類楊梅深加工總費用s(單位：萬元)與加工數量t(單位：t)之間的函數關系是s= 12 +3t,平均銷售價格為9萬元/t.圖 Z8-2(1)直接寫出A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數關系式；(2)第一次該公司收購了 20 t楊梅，其中A類楊梅x t,經營這批楊梅所獲得

10、的 毛利潤為W萬元(毛利潤=銷售總收入一經營總成本).求W關于x的函數關系式；若該公司獲得了 30萬元毛利潤，問：用于直接銷售的A類楊梅有多少噸？ (3)第二次該公司準備投人132萬元資金，請設計一種經營方案，使公司獲得 最大毛利潤，并求出最大毛利潤.解：(1)y=x+ 14 (2x8);(2)二銷售A類楊梅x t,則銷售B類楊梅(20 x)t.當20 x8 時，W= 6x+9(20-x)-3X20-x- 12+3(20 x) = x + 48,函數表達式為W=x2 + 7x+ 48 (2x8);當 20 x8 時，x+48 = 30,解得 x= 18.答：當毛利潤達到30萬元時，直接銷售的A

11、類楊梅有18 t;設該公司用132萬元共購買m t楊梅，其中A類楊梅為x t, B類楊梅為(m x)t,購買費用為3m萬元.由題意，得 3m+x+ 12+3(mx) = 132,化簡，得3m=x+ 60.當 20 x8 時，W= 6x+9(m-x)-132,由 3m=x+60,得 W= 48,當 x8 時, 毛利潤總為48萬元.答：綜上所述，購買楊梅共64 t,且其中直銷A類楊梅4 t, B類楊梅52 t公司能獲得最大毛利潤64萬元.【中考預測】某襯衣店將進價為 30 元的一種襯衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，調查表明：這種襯衣售價每上漲1 元，其銷售量將減少10 件(1)寫出

12、月銷售利潤y(元)與售價x(元/件)之間的函數關系式；(2)當銷售價定為45元時，計算月銷售量和銷售利潤；(3)襯衣店想在月銷售量不少于300件的情況下， 使月銷售利潤達到 10 000元，銷售價應定為多少？(4)當銷售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤解：(1)由題意可得月銷售利潤y 與售價之間的函數關系式為y=(x30)600 10(x 40) = 10 x2+ 1 300 x 30 000;(2)當 x=45 時，60010(x 40) = 550(件)，y = 10 X 452 + 1 300X 45-30 000= 8 250(元)；(3)令y=10 000,代入(1)中函數

13、關系式，得10 000= - 10 x2+1 300 x- 30 000,解得 x = 50, x2=80.當x= 80時，600-10(80-40) = 200300(不合題意，舍去)，故銷售價應定為50 元；(4)y= 10 x2+1 30cx30 000= 10(x 65)2+ 12 250, . .x= 65 時，y 取最大 值 12 250.答：當銷售價定為 65元時會獲得最大利潤，最大利潤為 12 250元次函數與實際問題分類整理1、理論應用 (基本性質的考查：解析式、圖象、性質等)2、實際應用 (拱橋問題，求最值、最大利潤、最大面積等) 類型一：最大面積問題例一：如圖在長200米

14、，寬80米的矩形廣場內修建等寬的十字形道路，綠地面積y(itf)與路寬x(m)之間的關系？并求出綠地面積的最大值?變式練習1:如圖，用50m2的護欄全部用于建造一塊靠墻的長方形花園，寫出長方形花園的面積y(itf)與它與墻平行的邊的長 x(m)之間的函數關系式？當 x為多長時，花園面積最大？類型二：利潤問題例二：某商店經營T恤衫，已知成批購進時單價是 2.5元.根據市場調查，銷售量與銷售單價 滿足如下關系：在某一時間內，單價是13.5元時，銷售量是500件，而單價每降低1元，就可以 多售出200件.請你幫助分析：銷售單價是多少時，可以獲利最多？設銷售單價為x元，(0VXW13.5)元，那么銷售

15、量可以表示為 ;銷售額可以表示為 ;所獲利潤可以表示為;當銷售單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 變式訓練2.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價 1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件 40元，如何定價才能使利潤最大？變式訓練3:某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷從虧損到盈利的過程，如下圖的二次函數圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤y （萬元）與銷售時間x （月）之間的關系（即前 x個月的利潤之和y與x之間的關系）.（1）根據圖上信息，求累積利潤 y （萬元）與銷售時間 x （月

16、）的函數關系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元？（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？為（萬元）變式訓練4.某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件 70元，試銷中銷售量 y （件）與銷售單價 x （元）的關系可以近似 的看作一次函數（如圖）.(1)求y與x之間的函數關系式；(2)設公司獲得的總利潤(總利潤=總銷售額-總成本)為P元，求P與x之間的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；根據題意判斷：當x取何值時，P的值最大？最大值是多少？類型三：實際拋物線問題例三：某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖10所示。(1

17、)以隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，求該拋物線對應的函數關系式；(2)某卡車空車時能通過此隧道，現裝載一集裝箱箱寬3m,車與京f共高4.5m,此車能否通過隧道？并說明理由。變式練習3:如圖是拋物線型的拱橋，已知水位在AB位置時，水面寬例2圖4/6米，水位上升3米就達到警戒水位線 CD,這時水面寬4/3米,若洪水到來時，水位以每小時0.25米的速度上升，求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂?8米,變式練習4:如圖，某大學的校門是一拋物線形狀的水泥建筑物，大門的地面高度為兩側距地面4米高處各有一個掛校名的橫匾用的鐵環，兩鐵環的水平距離為 6米，則校門的高度為。(精確

18、到0.1米)題圖變式：1如圖，排球運動員站在點 。處練習發球，將球從 。點正上方2m的A處發出，把 球看成點，其運行的高度 y (m)與運行的水平距離 x(m)滿足關系式y=a(x-6) 2+h.已知球網 與。點的水平距離為9m,高度為2.43m,球場的邊界距 。點的水平距離為18m。(1)當h=2.6時，求y與x的關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)(2)當h=2.6時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由;(3)若球一定能越過球網，又不出邊界，求h的取值范圍。課后練習：一，利潤問題:1.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存， 商場決定采取適當的降價措施.經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出 2件.(1)若商場平均每天要盈利 1200元，每件襯衫應降價多少元？(2)每件襯衫降低多少元時，商場平均每天盈利最多？二，面積問題：2,如下圖，在一個直角三角形的內部作一個長方形ABCD其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)設長方形的一邊 AB= x m,那么AD力的長度如何表示？(2)設長方形的面積為 y m2,當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？.有一個拋物線形拱橋，其最大高度為16m,跨度為40m,現把它的示意圖放在平面直角坐標系中，如圖該拋物線的解析式為 。.