1、第七章 無窮級數1齊諾悖論阿基里斯與烏龜 公元前五世紀，以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論： 如果讓阿基里斯(Achilles，古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑，讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始，假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍，也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據是：當比賽開始的時候，阿基里斯跑了1000米，此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜仍然前于他10米， 如此分析下去，顯然阿基里斯離烏龜越來越近，但卻是永遠也追不上烏龜的.這個結論顯然是荒謬的，但奇怪的是，這種推理在邏輯上卻沒有任何

2、毛病.那么，問題究竟出在哪兒呢？ 2第一節 無窮級數的概念 無窮級數是高等數學的一個重要組成部分，它是表示函數、研究函數的性質以及進行數值計算的一種工具。計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積31、級數的定義： (常數項)無窮級數通項級數的前 n 項部分和數列42、級數的收斂與發散：定義(設極限為S ) ， 則稱該無窮級數收斂， 且稱 S 為該級數的和，并記為 5解例1討論無窮級數 的收斂性. 所以級數收斂，且和為 1。6解例2所以級數發散. 所以7解收斂發散例3討論等比級數(幾何級數) 的收斂性. 8發散發散綜上所述，9齊諾悖論阿基里斯與烏龜 阿基里斯是希臘傳說中跑得最快的人

3、。一天他正在散步，忽然發現在他前面一千米遠的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說：“阿基里斯，誰說你跑得最快？你連我都追不上！”阿基里斯說：“胡說！我的速度比你快何止上百倍！就算剛好是你的十倍，我也馬上就可以超過你！”烏龜說：“就照你說的，咱們來試一試吧！當你跑到我現在這個地方，我已經向前跑了一百米。當你向前跑過這一百米時，我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近，卻永遠也追不上我！”阿基里斯說：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你說的好像也有道理耶。這到底是怎么回事呢？ 10AB 假定阿基里斯現在A處，烏龜現在B處. 為了趕上烏龜，阿基里斯先

4、跑到烏龜的出發點B，當他到達B點時，烏龜已前進到B1點；當他到達B1點時，烏龜又已前進到B2點，如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方，烏龜已又向前爬動了一段距離.因此，阿基里斯是永遠追不上烏龜的！BB1B1B211 如果我們從級數的角度來分析這個問題，齊諾的這個悖論就會不攻自破。 設阿基里斯的速度為烏龜速度的10倍，則他跑完1000米時，烏龜又爬了100米；等阿基里斯跑完這段路，烏龜又向前爬了10米，依次類推，阿基里斯需要追趕的全部路程為 12思考題：還有沒有其他方法解此題？這里已經假定可以追上。13研究課題1：無限循環小數轉化為分數？14解例4小課題：請編寫一套把循環小數轉化為分數的

5、方法。15循環小數轉化為分數的方法：第一型：16例如：17第二型：18例如：19第二節 無窮級數的基本性質也收斂，且有性質1證20說明：證矛盾.21性質2證2223性質3 去掉、添加或改變級數中的有限項，不會影響它的斂散性. 這是因為，去掉、添加或改變級數中的有限項后所得數列的部分和數列與原級數的部分和數列只相差一個常數，所以具有相同的斂散性。注意：原級數若收斂，則改變級數中的有限項后，一般要改變它的和.24性質4 收斂級數任意加括號后仍收斂，且其和不變.證例如，25證性質4 收斂級數任意加括號后仍收斂，且其和不變.注收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.推論 發散級數去括號仍發散。例如26性

6、質5 (級數收斂的必要條件)證27說明：1、如果級數的一般項不趨于零，則級數發散； 級數發散； 級數發散。282、必要條件不充分：再舉一個重要例子： 但級數發散。 調和級數 29調和級數增加的速度非常緩慢，例如 那么調和級數到底的收斂還是發散？ 調和級數 證明：調和級數發散。于是矛盾，調和級數 假設調和級數收斂，其和為 S ，所以級數發散。證因為31 進一步的研究可以發現，雖然調和級數發散到正無窮大，但其發散的速度卻是驚人的緩慢。 這說明調和級數發散到正無窮大實在不是直接的計算所能得到的，由于調和級數發散到正無窮大的緩慢性，我們也可形象地稱調和級數為一“堅韌不拔”的級數，另一方面它又提醒我們：

7、人不可“貌相”，級數的斂散性不可憑“想象”，需要嚴格的證明。調和級數 例1 判斷下列級數的斂散性： 因為都收斂，故原級數收斂，解且和為33收斂；發散。例1 判斷下列級數的斂散性： 34第三節 正項級數1、定義：這種級數稱為正項級數。2、正項級數收斂的充要條件：定理(一) 正項級數的收斂問題35(二)比較判別法證明定理(1)36(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價命題。注：定理的條件可放寬為： 定理37解例1所以原級數收斂. 38解例2故原級數發散； 于是有 39所以于是40重要參考級數：幾何級數，p - 級數，調和級數。比較：41解例3例4解所以原級數發散。所以原級數收斂。42比較判別法的

8、極限形式：43證明44可知兩級數有相同的斂散性。45證明由比較判別法可知， (注意：單向) 由(2)即得結論。 46例5例6所以原級數發散。所以原級數收斂。解解47例7例8發散解所以原級數發散。解所以原級數收斂。48常用等價無窮小：49解例1所以原級數收斂. 50例9解51例10收斂，解所以原級數收斂。52例11所以原級數收斂。53例12解所以原級數收斂。所以原級數發散。54證例13由基本不等式55(三)比值判別法 (達朗貝爾比值判別法) 證略56例14 判別級數下列級數的斂散性 所以級數收斂。解解所以級數收斂。57解解所以級數發散.所以級數收斂.58解練習：所以級數收斂。59解所以用比值法無

9、法判斷.用比較法，所以原級數收斂。60例15解61(四)根值判別法 (柯西根值判別法) 證略62例16解所以級數收斂. 例17解所以級數收斂. 63解例18級數發散。64第四節 任意項級數，絕對收斂定義：正、負項相間的級數稱為交錯級數。定理(萊布尼茨判別法) 稱萊布尼茨型級數 如果交錯級數 滿足條件(一)交錯級數 65證另一方面， 由條件(2)可知， 即原級數收斂， 由條件(1)可知， 注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯級數收斂的充分條件，而非必要條件。定理(萊布尼茨判別法)如果交錯級數 滿足條件67例19解這是交錯級數， 由萊布尼茨定理知，級數收斂。一般地，稱為交錯 p - 級數. 所以

10、級數收斂。證明級數 收斂。68解由萊布尼茨定理知級數收斂。練習69(二)任意項級數的絕對收斂與條件收斂正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數。定理：絕對收斂必收斂。70證明定理：71說明：(1) 定理不可逆：級數收斂，未必絕對收斂；72這是因為它們的依據是 說明：73例20 判定下列級數是絕對收斂、條件收斂或發散. 解故原級數絕對收斂. 解故級數絕對收斂. 74解故級數發散. 解所以原級數絕對收斂。75例21解76例22解即原級數非絕對收斂;77由萊布尼茨定理， 此交錯級數收斂，故原級數條件收斂78例23解而原級數為萊布尼茲級數，故收斂，即條件收斂。79例24解所以級數發散；故級數絕對收斂；8

11、0小結：判定數項級數斂散性的思路：正項？Y比較判別法比值判別法N絕對收斂？YENDN若用比值法，發散若用比較法，萊布尼茨定理N發散Y81第五節 冪級數 (一)冪級數及其收斂半徑和收斂域1、冪級數的定義級數稱為關于 x 的冪級數。822、冪級數的收斂半徑和收斂域83證O定理 (阿貝爾Abel定理) 84由正項級數的比較判別法知, 證85由(1)結論,幾何說明：收斂區域發散區域發散區域這與所設矛盾. 86此時正數 R 稱為冪級數的收斂半徑.規定問題：如何求冪級數的收斂半徑?（2）在整個數軸上收斂； 87定理直接地講，就是88證89證畢.90求下列冪級數的收斂半徑和收斂域。例1解發散；收斂。91求下

12、列冪級數的收斂半徑和收斂域。例1一般，92解收斂半徑端點處：收斂；發散；例293解收斂半徑端點處明顯發散，例394例4解例5解95發散；發散，故收斂域為 (-1, 3) .例6解96缺少偶次冪的項級數收斂；例7解直接應用比值判別法，級數發散；97級數收斂，所以原級數的收斂域為級數收斂；級數發散；98(二)冪級數的性質冪級數的加減法：加法：減法：99冪級數和函數的分析性質100且收斂半徑仍為R. (2) 逐項求導后，原來收斂的端點可能變發散。101注：逐項積分后，原來發散的端點可能變收斂。且收斂半徑仍為R. 102解例8收斂半徑端點處明顯發散，103解例8所以兩邊從 0 到 x 積分, 104(

13、1)解逐項求導, 所以例9 求下列冪級數的收斂域及和函數：105(2)解收斂半徑106(3)解107簡便寫法：解(3)108(4)解109第六節 泰勒公式與泰勒級數(一)泰勒公式110不足：問題：1、精確度不高；2、誤差不能估計。111分析：2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在 點相交112n 階接觸113拉格朗日型余項114證明：且115116則由上式得證畢117118此時泰勒公式稱為麥克勞林公式。麥克勞林(Maclaurin)公式119(二)泰勒級數定義的泰勒級數。 的麥克勞林級數。120第七節 某些初等函數的冪級數展開式問題：2. 如果能展開，怎么展開?3. 展開

14、式是否唯一?1. f (x) 在什么條件下才能展開成冪級數?與求和函數的相反問題：求冪級數，在其收斂域內以 f (x) 為和函數函數的冪級數展開。121上式兩端逐項求導，得122且展開式是唯一的。123證由泰勒公式直接獲證。124(一)直接展開法(泰勒級數法)步驟：先討論展開成麥克勞林級數。2、寫出冪級數 ，并求其收斂域 D. 如果是，則 f (x)在 D 上可展開成麥克勞林級數 125例1解對任意固定的 x, 由比值法， 126對任意固定的 x, 由比值法， 即證得 127128例2解129130例3收斂域為：( 不為正整數)推導略131特別, 雙階乘132133(二)間接展開法間接展開法是根據展開式的唯一性，利用已知展開式，通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導, 逐項積分等方法，求出函數的冪級數展開式。134利用逐項求導公式，得例4解根據已知展開式135例5解兩邊從 0 到 x 積分