1、函數(shù)模型的應(yīng)用實例目 標(biāo) 要 求熱 點(diǎn) 提 示1.進(jìn)一步感受函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，強(qiáng)化用數(shù)學(xué)解決實際問題的意識2進(jìn)一步嘗試用函數(shù)描述實際問題，通過研究函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題3了解數(shù)學(xué)建模的過程.學(xué)習(xí)本節(jié)時要通過具體實例，感悟如何在實際問題中建立函數(shù)模型，并通過一定的練習(xí)，掌握在實際問題中建立函數(shù)模型的步驟由于熟練掌握常用函數(shù)，是在實際問題中建立函數(shù)模型的前提，因此在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，應(yīng)回顧一下常見函數(shù)圖象、性質(zhì)、變化規(guī)律，達(dá)到準(zhǔn)確把握它們的特性.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每

2、降價1元，商場平均每天多售出2件于是商場經(jīng)理決定每件襯衫降價15元經(jīng)理的決定正確嗎？1函數(shù)模型應(yīng)用的兩個方面(1)利用函數(shù)模型解決問題；(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些開展趨勢進(jìn)行預(yù)測2應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的根本過程1某林區(qū)的森林蓄積量每一年比上一年平均增長10.4%，那么經(jīng)過x年可增長到原來的y倍，那么函數(shù)yf(x)的圖象大致為()解析：設(shè)原來的蓄積量為a，那么a(110.4%)xay，y1.104x，應(yīng)選D.答案：D2某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)：T(t)t33t60，t0表示時間1200，其后t取值為正，那么上午8時的溫度是_解析：由1200時，t0

3、，且1200以后t為正值，可知1200以前t為負(fù)值，即上午8時應(yīng)t4，故T(4)(4)33(4)608.答案：83某種儲蓄的月利率是0.8%，(按復(fù)利計)存入100元本金后，本息和y(元)與所存月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為_解析：因為月利率是0.8%，所以存入1個月后本息和為100(10.8%)，存入2個月后本息和為100(10.8%)100(10.8%)0.8%100(10.8%)2，故存入x個月后本息和為100(10.8%)x(xN*)答案：y100(10.8%)x(xN*)4(2021浙江理)某地區(qū)居民生活用電分為頂峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：高峰時間段用電價

4、格表低谷時間段用電價格表高峰月電量(單位：千瓦時)高峰電價(單位：元/千瓦時)低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50到200的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388假設(shè)某家庭5月份的頂峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，那么按這種計費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為_元(用數(shù)字作答)答案：148.45某商店賣西瓜，6 kg以上(含6 kg)每千克4角，6 kg以下每千克6角，請表示出西瓜質(zhì)量x(kg)與銷售金額y的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖象思路

5、分析：稅金銷售額稅率，“不少于問題需建立不等式求解溫馨提示：要注意在細(xì)心閱讀與準(zhǔn)確理解題意的根底上，引入函數(shù)符號，將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，列出數(shù)量關(guān)系即建立出函數(shù)模型 (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為_；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過_小時后，學(xué)生才能回到教室思路分析：由圖象知，此函數(shù)為分段函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解溫馨提示：(1)圖象(圖表)題目，先由條件確定函數(shù)的類型，然后寫出函數(shù)解析式(2)解決此類題目，要注意函數(shù)定義域的變化，即表示的是函數(shù)

6、的整個圖象，還是其一局部，還是上面的某些點(diǎn)，以免出現(xiàn)漏解或增解的情況 類型三數(shù)據(jù)擬合型應(yīng)用問題【例3】某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保存兩位有效數(shù)字)思路分析：只給數(shù)據(jù)，沒明

7、確函數(shù)關(guān)系，這樣就需要準(zhǔn)確地畫出散點(diǎn)圖然后根據(jù)圖形狀態(tài)，選擇適宜的函數(shù)模型來解決實際問題解：以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖(如以下圖(1)和(2)即該經(jīng)營者下月把12萬元中的3.2萬元投資A種商品，8.8萬元投資B種商品，可獲得最大利潤約為4.1萬元溫馨提示：根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，然后觀察散點(diǎn)圖，選擇適宜的函數(shù)模型，并求解新的問題，這是本節(jié)新的解題思路請同學(xué)們在用待定系數(shù)法求解析式時，選擇其他的數(shù)據(jù)點(diǎn)，觀察結(jié)果的差異 如圖，用寬度為1 m的矩形鐵皮，彎起兩邊，制作成橫截面積為矩形的水槽試問，怎樣設(shè)計才能使水槽的流量最大？心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能

8、力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)0.1x22.6x43(0 x30)y值越大，表示接受能力越強(qiáng)(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？(2)第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？(3)第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？解：(1)y0.1x22.6x430.1(x13)259.9.所以，當(dāng)0 x13時，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)；當(dāng)13x30時，學(xué)生的接受能力逐步下降(2)當(dāng)x10時，y0.1(1013)259.959.當(dāng)?shù)?0分鐘時，學(xué)生的接受能力為59.(3)當(dāng)x13時，y取得最大值所以，在第13分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)(2)

9、某地西紅柿從2月1日起開始上市通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植本錢Q(單位為：元/102 kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從以下函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植本錢Q與上市時間t的變化關(guān)系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植本錢最低時的上市天數(shù)及最低種植本錢時間/t50110250種植成本/Q1501081501通過建立實際問題的數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法稱為數(shù)學(xué)模型方法，簡稱數(shù)學(xué)建模在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決

10、實際問題中的最大、最省等問題2解決函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是實際問題數(shù)學(xué)化，讀題是解決問題的起點(diǎn)，要讀懂整個題目有幾層意思，每層意思是什么，要解決什么實際問題，與其相關(guān)的因素有哪些等等，即在理解的根底上，通過列表、畫圖、引入變量、建立直角坐標(biāo)系等手段把實際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言；二是對得到的函數(shù)模型進(jìn)行解答，得出數(shù)學(xué)問題的解數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解我們也可以這樣直觀地理解這個概念：數(shù)學(xué)建模是一個讓純粹數(shù)學(xué)家(

11、指只懂?dāng)?shù)學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用的數(shù)學(xué)家)變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等等的過程 數(shù)學(xué)模型一般是實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質(zhì)的區(qū)別要描述一個實際現(xiàn)象可以有很多種方式，比方錄音、錄像、比喻、傳言等等為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代 應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建