1、ch4一次二階矩法4.1一次二階矩中心點法4.2一次二階矩驗算點法4.3JC法4.4相關隨機變量的可靠度分析方法隨機變量為正態分布，且功能函數為線性函數假定抗力R和荷載效應S均服從正態分布，對于功能函數Z=R-S，,由于Z是R、S的線性函數，根據正態隨機變量的特性，Z也服從正態分布，其平均值及標準差為則定義可靠指標：正態分布失效概率與可靠指標之間的精確關系這種情況下可靠指標是唯一的，且與失效概率之間有精確的對應關系。令隨機變量為對數正態分布，功能函數為線性函數假定抗力R和荷載效應S均服從對數正態分布，結構功能函數可表示為Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服從正態分布,Z也服從正態分布，是

2、lnR、lnS的線性函數，根據正態隨機變量的特性，其平均值及標準差也可以精確得到：可靠指標為：4.1中心點法假定隨機變量x1、x2xn服從正態分布，但功能函數 不是線性函數. 這時, (1)精確求解Z的平均值和標準差是非常困難的; (2)即便能夠求得，Z也不服從正態分布，也不能用上面方法來計算結構的可靠指標。 若將非線性功能函數作為泰勒級數展開，其一次展開式（前兩項）的概率分布應服從正態分布;但一次展開式已不是原來的功能函數，所計算可靠指標與結構失效概率之間不再存在精確的對應關系;在這種情況下如何選擇展開點，從而使近似計算結果與精確失效概率的誤差最小,成為一次二階矩法要研究的問題。4.1中心點

3、法基本原理設結構的極限狀態方程為 將極限狀態函數在中心點M= ( )處展開為泰勒級數，并作線性化處理，得根據概率論中隨機變量參數估計 ，Z*的統計參數為: 結構的可靠指標 在中心點處展開為泰勒級數：中心點法的線性示意圖該法選用的線性化點（即平均值點）不在失效邊界上（這也被看作中心點法不盡如人意的主要原因）對中心點法的評述中心點法的主要弱點(1)沒有考慮基本變量的概率分布 (2)均值、方差及可靠指標的計算式是誤差傳遞公式(3)同一個結構往往可以列出幾種等價的極限狀態方程，不同的極限狀態函數在運用中心點法計算時，其結果可能不一致。(4)將非線性功能函數在隨機變量的平均值處展開不合理，由于平均值不在

4、極限狀態曲面上，展開后的線性極限狀態面可能會較大程度地偏離原來的極限狀態曲面。 (5)基本變量不服從正態分布和對數正態分布時，計算出的結構可靠度與結構的實際情況出入較大，不能采用。驗算點法基本原理關于設計驗算點設點P(x1，x2，xn)為極限狀態方程Z=0所對應的曲面上的點，d(P，M)為點P到中心點M( )的距離，則能使mind(P，M)的點P*稱為設計驗算點，簡稱為驗算點。記為P*(x*1，x*2，x*n)，顯然驗算點的坐標滿足 驗算點法示意M驗算點法設計驗算點法求可靠指標（1）理論推導當線性化點選在設計驗算點xi*(i=1,2,n)上時 Z的均值為（求Z的數學期望得）由于設計驗算點在失效

5、邊界上，故有 則有表示第個隨機變量對整個標準差的相對影響，因此稱為靈敏系數。設計驗算點法求可靠指標（2）假設各隨機變量獨立，則可求解Z的方差： 引入分離函數式，將上面的根式線性化，得 將 乘以分母整理后得設計驗算點法求可靠指標（3）根據可靠指標的定義，有由于 ， 必有 （對于所有i） 設計驗算點法求可靠指標（4）從而可解出設計驗算點解出設計驗算點P*（ ， ， ）后，該點還應滿足 式（13）代表n個方程，再加上（14）共有n+1個方程，未知數有 和 ，也是n+1個。盡管如此，聯立求解還是有困難，通常用迭代法求解。設計驗算點法求可靠指標（5）計算步驟（1）選取設計驗算點坐標的初值，一般取 （2）

6、由式（11） 計算 的值，其中包括 （3）由式（13）得到 和 的關系 （4）由式（14）解出 值 （5）將該值代入式（13），求出 新值 以該 新重復進行（2）-（5）計算，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時 即為所求的可靠指標， 即為所確定的設計驗算點坐標。設計驗算點法求可靠指標評述驗算點法對極限狀態方程中服從正態分布的隨機變量計算結果尚可，而非正態分布誤差較大。4.3JC法求可靠指標在工程結構可靠度分析中，永久荷載一般服從正態分布，風壓、雪壓、樓面活載服從其它類型分布（如極值型等），截面抗力R服從對數正態分布。因此在極限狀態方程中，常包含非正態分布的基本變量，對于這種極限狀態方程

7、的可靠度分析，一般要把非正態變量進行當量正態化,用其當量正態分布的統計參數代替原隨機變量的統計參數，仍按驗算點法求解。JC法的基本概念就是在應用前面所述方法(驗算點法)時，將非正態的隨機變量先行“當量正態化”。JC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出來的，因為國際安全度聯合委員會(JCSS)推薦采用這個方法而得名。 4.3.1隨機變量的當量正態化 當量正態變量 ：設x是服從某分布的連續型隨機變量，其概率密度為f(x)，分布函數為F(x)。若存在服從正態分布的隨機變量，其概率密度為連續密度函數h(y),分布函數H（y）使得在某一點x*處有(1)f(x*)

8、=h(x*)(2)F(x*)=H(x*)則稱y為非正態變量x在點x*處的當量正態變量。 4.3.1隨機變量的當量正態化當量正態變量的統計參數1.非正態變量x在x*處的當量正態變量的均值 取標準正態分布 的逆 ，得由分布函數的定義及當量正態分布的定義-根據已知非正態分布函數可求其當量正態分布的均值。4.3.1隨機變量的當量正態化2.當量正態變量標準差 將（5）式引入，得：標準正態分布的密度函數4.3.1隨機變量的當量正態化式(5)和(6)表示的就是當量正態變量的均值和標準差，它們是由已知的非正態分布隨機變量的概率密度函數和分布函數表示出來的。目的：用非正態分布的密度函數和分布函數求當量正態變量統

9、計參數隨機變量的當量正態化舉例當量正態化實例1 極值I型分布某可變荷載產生的壓力SQ服從極值I型分布，平均值為84.0kN，標準差25.2kN，試對SQ進行當量正態處理（在S*Q=84.0處）。極值I型（最大值）分布4.3.1隨機變量的當量正態化即：已知的極值I型分布在均值處的當量正態分布的標準差和均值分別為24.096和79.735隨機變量的當量正態化當量正態化實例 2對數正態分布（由于對數正態分布與正態分布的特殊關系，其當量正態化有更簡捷的形式 ），推導如下：，為的當量正態變量X服從對數正態分布，x=lnx服從正態分布對數正態密度函數：正態分布密度函數：隨機變量的當量正態化由當量正態化定義

10、依據對數正態分布函數與正態分布函數的關系4.3.2JC法求可靠指標計算步驟設結構的極限狀態方程為Z=g(x1，x2，xn)=0，基本變量xi的統計參數均值為 標準差為 ，(i=1，n)，則JC法的具體實施步驟加下： （l）假定基本隨機變量的設計驗算點P*的坐標值 （初值一般取為 ）； （2）對基本變量xi在驗算點處進行當量正態化處理，計算其當量正態分布yi的統計參數 ， ,并用來代替 和 并記為 ， ( 1，n)；(3）計算 的值，其中包括 注意此處的 用當量正態化后的數值，即4.3.2JC法求可靠指標計算步驟（4） 確定 和 的關系 （5）求（6）求出 新值 （7）以該新 重復進行（2）（5

11、）計算 ，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時 即為所求的可靠指標， 即為所確定的設計驗算點坐標。 4.3.3JC法計算實例某軸心受壓短柱，承受永久荷載產生的壓力SG，汽車、人群可變荷載產生的壓力SQ，截面抗力為R。各變量的統計信息如下表，試用JC法求可靠指標及對應的失效概率。變量SGSQR分布類型正態極值I型對數正態平均值63（kN）84（kN）365.8kN）標準差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）4.3.3JC法計算實例1.建立極限狀態方程 Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=02.假定初始的設計驗算點,初始驗算點取為均值，即 x1*=R*=365.8；x2

12、*=SG*=63；x3*=SQ*=84.03.將非正態變量R 和SQ在均值處進行當量正態化處理抗力R對數正態分布，則 4.3.3JC法計算實例可變荷載SQ極值I型分布，則4.3.3JC法計算實例4計算Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0JC法計算實例5. 和 的關系 JC法計算實例6.將求得的 代回5重新R*、 第一次迭代結果7. 以第6步得到的值進行第二次迭代，此時（1）R*108.16 （2）R和SQ的當量正態化處理(因 x* 的變化，其當量正態變量相應也變了）JC法計算實例SQ的當量正態化處理：R的當量正態化處理：(3)計算（4）第2次迭代求出新的R*=244.6,SG*

13、=65.855,SQ*=178.74第三次迭代結果：求出新的R*=268.18,SG*=64.83,SQ*=203.36第四次迭代結果：求出新的R*=244.60,SG*=65.855,SQ*=178.74第五次迭代結果：求出新的R*=271.69,SG*=64.617,SQ*=207.09停止迭代，計算結束對JC法的評述（1）一次二階矩法中較為精確的可靠度分析方法；（2）與驗算點法有相同的原理和步驟，區別在于：對非正態分布的隨機變量，計算過程中用到的統計參數，均為其當量正態變量的統計參數；（3）當量正態變量的統計參數隨驗算點位置而變化，每一次迭代都要重新算一次當量正態變量的統計參數。作業4.

14、4相關隨機變量的可靠度分析方法引言：以上三種方法，要求隨機變量相互獨立。實際工程中隨機變量之間可能存在著一定的相關性，如：海（水）工結構的風荷載與水壓力；結構自重與抗力巖土工程中的粘聚力和內摩擦角；地震作用與抗力等。4.4.1廣義隨機空間的概念各坐標軸之間是正交的笛卡爾空間各坐標軸之間不是正交的廣義隨機空間相關隨機變量的協方差和相關系數相關隨機變量的協方差：相關隨機變量的相關系數：4.4.1廣義隨機空間的概念理論上的可靠度分析方法廣義隨機空間內的功能函數為 構成的廣義隨機空間內，結構的失效概率 可由下式給出：按上式直接計算結構失效概率是比較困難的！4.4.1廣義隨機空間的概念簡單問題對于功能函

15、數Z=R-S，R、S服從正態分布（非相互獨立），則Z也服從正態分布，其統計參數可表示為：此時的可靠指標：4.4.2廣義隨機空間內的可靠度分析方法實際問題（1）正態隨機變量線性極限狀態方程的情況由正態隨機變量的特性知，Z也服從正態分布，其統計參數為以三個隨機變量為例4.4.2廣義隨機空間內的可靠度分析方法實際問題（2）一般情況下（即功能函數為非線性以及隨機變量是非正態分布）將非線性功能函數在驗算點處線性展開將非正態隨機變量在驗算點處進行當量正態化處理對隨機變量進行當量正態化、對功能函數線性化處理后，原功能函數變為：4.4.2廣義隨機空間內的可靠度分析方法對于非正態變量的當量正態化并不改變隨機變量間的線性相關性，即通過隨機變量當量正態化，即用驗算點法進行可靠度分析(即JC法)：同樣，引入分離函數 ，將根式線性化稱為靈敏系數可靠度分析公式為4.4.3廣義隨機空間內的可靠度分析方法實例X1服從正態分布，X2服從正態分布，X1 、X2相關實例4實例5(1) 求標準差及靈敏系數 初值1234X1*38.029.696030.088530.132930.1329X2*7.04.3777