1、函數零點的應用.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y = f(x)(xC D),把使f(x)=0的實數x叫做函數y = f(x)(xC D)的零點.(2)三個等價關系方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數y = f(x)有零點.函數零點存在性定理：設函數 f x在閉區間a,b上連續，且f a f b 0,那么在開區間a,b內至少有函數f x的一個零點，即至少有一點x0a,b，使得f x00。f x在a,b上連續是使用零點存在性定理判定零點的前提(2)零點存在性定理中的幾個“不一定”(假設f x連續)若f a f b0 ,則f x的零點不一定只有一個，可以有多個若

2、f a f b0 ,那么f x在a,b不一定有零點若f x在a,b有零點，則f a f b不一定必須異號.若f x在a,b上是單調函數且連續，則f a f b 0 f x在a,b的零點唯一.二次函數y=ax2+bx+c (a0)的圖象與零點的關系A0A= 0A0)的圖象與x軸的交點性,0), (x20W)尢交點零點個數210角度1根據函數零點個數求參數取值范圍典例 已知函數f(x)=|x2+3x|, xCR,若方程f(x)a|x1|=0恰有4個互異的實數根，則實 數a的取值范圍是.解析 設y1 = f(x)= |x2+3x|, y2=a|x1,在同一直角坐標系中作出y1，y2的圖象如圖所示由圖

3、可知f(x)-a|x- 1|=0有4個互異的實數根等價于 yi=|x2+3xpfy2=a|x 1的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1,y= x23x,所以有兩組不同解，消去 y得x2+(3a)x+a=0有兩個不等實根,y= a 1 x所以 A= (3-a)2-4a0,即 a210a+90,解得 a9.又由圖象得 a0,，0a9.變式1已知函數d - 3, - 1xW 0, g(x)= x+ 1若方程g(x)mxm = 0有且僅有兩個不等x23x + 2, 0 x0時，因為臨界位置為y= m(x+ 1)過點(0,2)和(1,0)分別求出這兩個位置的斜率k=2和k2=0,此時m 0,2

4、)；11 y。x0 + 1 2 x0+ 1y=x0+13當m0時，過點(一1,0)向函數g(x)=-3, -1xa,解析：f(x)=當 xa 時，由 x - 2=0,得 xi=i x2= 3,3x，xF 2a 2, xa,x當a1時，x3, 1,3成等差數列，則 x3 = 5,代入一x-+2a2=0得，a=-9; x53當一1waW3 時，萬程一x-+2a-2 = 0,即 x2+2(1 a)x+3= 0, x設方程的兩根為x3,x4,且x33時，顯然不符合.所以a的取值集合為一55, 5+譽.變式4已知函數f x滿足f xf 3x ,當 x 1,3 , f x In x,若在區間 1,9 內,

5、函數g x f x ax有三個不同零點，則實數 a的取值范圍是(解析 Q f x f 3x HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x一 一xx HYPERLINK l bookmark4 o Current Document f x f一，當 x3,9時，f x f-In ,333In x,1 x 3所以f x XIn-,3 x 9 3而g x f x ax有三個不同零點y f x與y ax有三個不同交點,如圖所示，可得直線 y ax應在圖中兩條虛線之間，所以可解得： a 9 3e例5 :已知函數f (x)是定義在 ,00, 上的偶函數，當X 0時，

6、2|x1|1,0 x 2f(x) 1，則函數g(x) 4f(x) 1的零點個數為()f x 2 , x 22解析 由f x為偶函數知：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當 x 0,2時，利用y 2x利用圖像變換 TOC o 1-5 h z 簟 a -* G，一1作出圖像，x 2時，f x f x 2 ,2即自變量差2個單位，函數值折半，進而可作出2,4 , 4,6 的圖像，g x的零點個數 一 .1 . . .、即為f x 根的個數，即f x與y 的交點個數，觀察圖像在 x 0時，有5個交 44點，根據對稱性可得 x 0時，也有5個交點。共計10個交點變式5定義域為 R的偶函

7、數f x滿足對 xR,有fx2f x f1,且當x 2,3 時，f x 2x2 12x 18,若函數 y f x log a x 1 在 0,上至少有三個零點，則a的取值范圍是()解析 f x 2 f x f 1體現的是間隔2個單位的自變量，其函數值差f 1 ,聯想到周期性，考慮先求出f 1的值，由f x為偶函數，可令x 1 ,得f 1 f 1 f 1f 10 f x 2 f x , f x為周期是2的周期函數。已知條件中函數y f x loga |x 1有三個零點，可將零點問題轉化為方程 f x log a x 10即f x loga x 1至少有三個根，所以 f x與y log a x 1

8、有三個交點。先利用a 1時，不會有3f x在x 2,3的函數解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得:x上萬即可,3T1,3 時，個交點，考慮0 a 1的圖像。設g x logax,則y loga x 1 g x 1，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當 x 2時，y loga x 1的圖像在frr21_即 loga 2 1 f 22 loga 32 log a a 所以 30 aa變式6已知定義在R上的函數f x滿足f x 2 f x ,當x- 1 x2, x 1,1一一一f x，其中t 0,若方程3f xx恰有三個不同的實數根，t 1 x 2 ,x 1,3則實數t的取值范圍是（）所解方程可

9、視為y f x與g xx ，、， ,一的交點，而t的作用為影響y3t 1 x 2圖像直線的斜率，也絕對此段的最值（ xymax t）,先做出y 的圖像，再根據三個交點的條件3作出f x的圖像（如圖），可發現只要在 x 2處，f x的圖像高于g x圖像且在x 6處f x的圖像低于g x圖像即可。所以有 f 6 g 6 項f(22t2“t2f 2 g 2 f (2) t -3sin x 1,x 0變式7已知函數f x2的圖loga x a 0,a 1 ,x 0像上關于y軸對稱的點至少有 3對，則實數a的取值范圍是（ ）解析 考慮設對稱點為 x0, x0,其中x0 0 ,則問題轉化為方程fx0fXo

10、至少有三個解。即sin x 1 log a x 所以問題轉化為g x sin -x 1與2解析由f x 2 f x可得f x 4 f x 2 f x ,即f x的周期為4,h xlogaX有三個交點,先做出y sin x 1的圖像，通過觀察可知若y log a x 2與其有三個交點，則 0 a1 ,進一步觀察圖像可得：只要h 5 ,則滿足題意，所sin5-1 log a 5八，1，2 log a 5 log a loga5a角度2根據函數有無零點求參數取值范圍1 TOC o 1-5 h z 典例函數f(x)=x2ax+1在區間2，3上有李點，則頭數 a的取值氾圍是()解析由題意知方程ax=x2

11、+1在弓，3上有解，即a= x+：在3上有解，設t = x+1,2x 2xxC 1, 3 ,則t的取值范圍是 2, 10 .，實數a的取值范圍是 2, 130 . 233變式1已知函數f x ax3 3x2 1,若f x存在唯一的零點x0,且x0 0 ,則a的取值范圍是() HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 一一 Q1 33.1Q斛析：ax 3x 1 0 a 一 一，令t ,依題意可知a t 3t只有一個x x x零點to且to 0 ,即y a與g t t3 3t只有一個在橫軸正半軸的交點。2g t 3t2 3可知g t在 ，1,1,減，在1,

12、1增，g 12作出圖像可得只有a 2時，y a與g tt3 3t只有一個在橫軸正半軸的交點。0, x0,解析 函數g(x) = f(x) + xm的零點就是方程f(x)+x=m的根，畫出 h(x) = f(x) + x =x, xW0,*的大致圖象(圖略).ex+x, x0觀察它與直線 y=m的交點，得知當 mw 0或m1時，有交點，即函數 g(x) = f(x) + x m有令點.角度3根據零點的范圍求參數取值范圍典例1 一元二次方程x2 2kx 2k 1 0,方程有大于0的兩個實數根的充要條件是什么？解析0思路一：根的分布，令f (x) x2 2kx 2k 1,依題意，k需滿足 f(0)0

13、,k 0.一 1一解得 一k02k 0-k02k 10變式一元二次方程x2 2kx 2k 1 0,方程有大于1的兩個實數根的充要條件是什么? 解析 提示：根的分布或韋達定理，部分過程如下02思路一：根的分布，令 f(x) x 2kx 2k 1,依題意，k需滿足 f(1)0k100思路二：韋達定理 (x1-1)+( x2-1) 0 x1 x22代入求解即可(x1-1) (x2-1) 0 x1x2-( x1 x2)+1 0典例2若函數f(x)= (m-2)x2+mx+ (2m + 1)的兩個零點分別在區間(一1,0)和區間(1,2)內，則 m的取值范圍是.mw 2,解析 依題意，結合函數f(x)的

14、圖象分析可知 m需滿足f 1 f00,f1 f 2 0,m w2, 11即m 2-m+ 2m+1 2m+1 0,解得4Vm2.m 2+m+ 2m+1 4 m 2 +2m+ 2m+1 0依題意，k需滿足 f (1) 0 ,解得 2V k 1或3 k0必備二級結論【附錄】結論11 一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am20(b 4ac 0)2一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am3一元二次方程ax22af (m) 0,( a(am20(b 4ac 0)b一 m2abx c 0有兩個大于bm c) 0)bx c 0有一個大于bm c) 0)bx c 0有兩個小于bm c) 0

15、)m的實數根的充要條件m的實數根，一個小于m的實數根的充要條件m的實數根的充要條件結論2一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有兩個大于m的實數根的充分條件也就是說一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)解集包含，m ,用函數語言講就是二次函數y ax2 bx c(a 0)在定義域，m大于0恒成立。元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有兩個小于m的實數根充分條件也就是說一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)解集包含m,用函數語言講就是二次函數y ax2 bx c(a 0)在定義域m,大于0恒成立。一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有兩個大于m的實數根充分條件也就是說

16、一元二次不等式 ax2 bx c 0( a 0)解集包含，m ,用函數語言講就是二次函數y ax2 bx c(a 0)在定義域，m小于0恒成立。一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有兩個小于m的實數根充分條件也就是說一元二次不等式 ax2 bx c 0( a 0)解集包含m,用函數語言講就是二次函數y ax2 bx c(a 0)在定義域 m,小于0恒成立。函數，不等式，方程的相互轉換在高中數學中叫做劃歸思想。結論3,m大于0恒成立的充要條件是,m大于0恒成立的充要條件是二次函數y ax2 bx c(a 0)在定義域2af (m) 0,( a(am bm c) 0)20(b 4ac 0)b

17、一 m2a或者 0(b2 4ac 0)結論42一次函數y ax bx c(a 0)在定義域2af (m) 0,( a(am bm c) 0)0(b2 4ac 0)-m 或者 0(b2 4ac 0)2a元二次方程 ax2 bx c0有兩個實數根在區間m, n之間的充要條件結論7結論5af (m) 0af (n) 00b m n 2a0有兩個實數根在區間m, n左邊的充要條件一元二次方程 ax2 bx c af (m) 00b m 2a元二次方程ax2 bx c0有兩個實數根在區間m, n右邊的充要條件af (n) 00bn2a結論62ax bx c 0兩個頭數根一個在區間m,n中間，另一個在區間

18、m,naf ( m )0af ( n )0右邊的充要條件2ax bx c 0兩個實數根一個在區間m, n左邊，另一個在區間m,n右邊的充要條件af (m) 0af (n) 02ax bx c 0兩個實數根一個在區間m,n左邊，另一個在區間m,n中間的充要條件af (m) 0af (n) 0一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有兩個實數根在區間 m, n 左邊的充分條件結論 8一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0) 的解集包含區間 m, n二次函數 y ax2 bx c 0(a 0) 在定義域 m, n 上恒大于 0一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有兩個實數根在區間 m, n 右邊的充分條件一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0) 的解集包含區間 m, n二次函數y ax2 bx c 0(a 0) 在定義域 m, n 上恒大于 0ax2 bx c 0(a 0)兩個實根一個在區間 m, n 左邊，一個在區間 m,n 右邊的充分條件一元二次不等式ax2 bx