1、中國藥科大學 數學教研室 楊訪第三節 二重積分的應用 重積分的應用主要討論二重積分和三重積分在幾何和物理上的應用。 二重積分在幾何上的應用主要解決曲面面積計算問題。二重積分和三重積分在物理上的應用則解決分布在相應區域上的相關物理量的計算問題。本節概要一曲面的面積 面積計算是數學應用的一個基本問題。面積計算的研究經歷三個階段，最初解決的是直邊平面圖形的面積計算，其研究結果是導出了各類直邊圖形的面積計算公式。第二個階段討論的是曲邊平面圖形的面積計算，其研究結果是建立定積求面積的概念和方法。第三個階個階段則討論一般曲面圖形的面積計算。 曲面面積的研究需解決兩個問題： 什么是曲面面積？曲面面積如何定義

2、？ 如何求曲面面積？ 從概念上講，曲面面積的計算既不同于平面直邊圖形的面積，也不同于平面曲邊圖形的面積。因為平面直邊圖形的面積可歸結為單位面積的統計，而平面曲邊圖形的面積可歸結為平面直邊圖形面積和極限來定義。1(1) 問題的性質 1. 曲面面積的概念 平面圖形因其“平”，故可化為直線的長度來定義和度量，曲面圖形因其“曲”，其面積不能直接歸結為長度單位來定義。但“平和曲”是相對的，在大的范圍內是“曲”的，在小的范圍內卻可看成是平的。因此可考慮對曲面進行分割，使其轉化為平面問題來處理。 曲面分割后化為一系列小平面片，但小平面片是傾斜的，一般仍不能直接求面積，為此考慮將小斜面片向坐標面投影，使其轉化

3、為平面片面積來計算。(2) 分析處理曲面面積問題的方法 用分割曲面法求曲面面積縮小率 由曲面與方程的對應關系，曲面 的方程對應于一個二元函數。從曲面方程的形式看，曲面既可由顯式方程表出，也可由隱式方程表出。為討論的確定性，下就曲面方程的不同形式考察曲面面積的計算。 設有曲面 ，其方程為 : z = f( x ,y )， 將 向 xOy 平面投影，設投影區域為 Dxy，求曲面 的面積 A(1) 曲面由顯式方程給出 2. 曲面面積的定義和計算 分割 化整為零 將 向 xOy 平面投影，設投影區域為 Dxy . 用平行于 x、y 坐標軸的直線組成的直線網分割投影區域 Dxy ，以這組直線為準線作母線

4、平行于 z 軸的平面，這組平面將曲面 分割為一系列的小曲面片： A1 , A2 , ， An ， 于是曲面面積 A 的計算可歸結為小曲面片 A 的計算。任取小曲面片 A，考慮曲面面積元 d A 的計算。設 A 在 xOy 平面的投影為 xy . 考察曲面面積元 d A與其在 xOy 平面的投影 d xy 的關系。 任取 P( x ,y ) xy，考慮小曲面片 A 在點 P( x ,y )處的切平面。 設切平面被與 A對應的柱面割下的小平面的面積為 T. 由于 T A，故 dT = d A 作切面 化曲為平P( x,y ) 因為 dT 在 xOy 平面投影亦為 d xy ，而 d xy 易于計算

5、，故為求 dT 只需計算 dT 與 d xy 間的“縮放率”。 dT 與 d xy 間的“縮放率”取決于 dT 的傾斜程度,dT 的傾斜度可用其法向量表示。 記 為 dT 在點( x ,y )處的單位法向量，作輔助向量則 亦為 dT 在點( x ,y )處的法向量，其大小恰好是dT 的面積，即有 計算 dT切面元與其投影的關系 由投影定理 由曲面方程 z = f( x ,y )，可求得于是約定 ，則有 積零為整 求曲面面積 由于在直角坐標系下有 d xy = d xd y，故由元素法求得曲面 的面積為 所得結果不僅給出了曲面面積的計算法，實際也給出了曲面面積的一種定義。(2) 曲面由其它顯式方

6、程給出時的情形 以上結果是假定曲面方程以 z = f( x ,y )的形式給出,并將曲面向 xOy 平面投影的情形下得到的。 在實際應用中，為計算方便，常需考慮將曲面向不同坐標面投影。 若將曲面向其它坐標面投影，其結果是類似的。 若考慮向 xOz 平面投影，則將曲面方程該寫為 : y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz . 相應可求得 若考慮向 yOz 平面投影，則將曲面方程改寫為 : x = h( y ,z ),( y ,z ) D yz . 相應可求得 曲面向 xOz 平面投影 曲面向 yOz 平面投影(3) 曲面由隱式方程給出 若曲面方程為 :F( x ,y ,z )=

7、0 ，則曲面可對應于以下三種形式的單值函數之一： : z = f( x ,y ),( x ,y ) D xy , : y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz , : x = h( y ,z ),( y ,z ) D yz . 此時這三種形式的顯式方程雖未必能解出，但其導數卻可求得。因此仍可對選定的投影面按相應的曲面面積積分公式計算曲面面積。例：設有一棵地球同步通訊衛星，距地面的高度為h = 36000 km，運行的角速度與地球自轉的角速度相同,試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比值。 對此實際應用問題首先應考慮建立合適的坐標系。 容易想到，宜選擇地球球心為原點，地心到通訊

8、衛星的連線為 z 軸建立坐標系。 由直觀易看出，通訊衛星所覆蓋的區域 是以 z 軸為對稱軸、半頂角為 的圓錐面截地球上半球面的部分。分析通過二重積分計算曲面面積 解 建立曲面方程,確定曲面面積表達式 設地球半徑為 R（R = 6400km）,則 的方程為 于是通訊衛星所覆蓋的區域 的面積為 計算曲面元投影縮放率 選擇坐標系進行計算 對此二重積分而言，由于積分區域為圓域，且被積函數具有 f( x 2 + y 2 ) 的形式，故宜采用極坐標進行計算。 作極坐標變換 x = r sin ，y = r cos ，則有 計算曲面面積 由于 ，代入曲面面積計算結果有 由此求得通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積

9、的比為 % . 由上結果知，該衛星覆蓋了全球三分之一以上的面積，因此只要使用三棵相隔 60 的通訊衛星就可覆蓋地球的全部表面。 結果分析例: 求曲面 被曲面 z 2 = 2 x 割下的那部分曲面的面積。 曲面面積計算問題首先應考慮投影面的選擇，并由此確定曲面方程的形式。 選擇投影面應使得相應曲面顯式方程易于解出，且投影區域形式簡單。為此需先作所求曲面圖形。分析 方程 表示頂點在原點，以 z 軸為對稱軸的圓錐面。 方程 z 2 = 2 x 表示母線平行于 y 軸的拋物柱面。 作圓錐面被拋物柱面割下的那部分曲面的圖形關鍵是作出兩曲面的交線。選擇投影面求曲面面積 解 作所求曲面的圖形拋物柱面切割錐面

10、的圖形考察投影區域 選擇投影面 選擇投影面要考慮兩個因素：一是考察所論曲面在哪一個坐標面的投影區域形式較為簡單，二是所論曲面對應定義在投影區域上的曲面方程的形式是否簡單。 曲面片投影本質上是其邊界曲線的投影，確定曲線投影關鍵是確定相應的投影柱面。 本例曲面片邊界曲線為 下考察所論曲面片在各坐標面的投影區域及對應曲面方程的形式。 由曲線方程 消去 z 得投影柱面 xy:( x -1 )2 + y 2 = 1 . 相應的投影區域為 Dxy:( x - 1 )2 + y 2 1 . 對應曲面方程為 考慮向 xOy 平面投影的情形 由曲線方程 消去 y 得投影柱面 xz: z 2 = 2x ，z = x . 相應的投影區域為 對應曲面方程為 考慮向 xOz 平面投影的情形 由曲線方程 消去 x 得投影柱面 yz: z 4 - 4 z + 4y 2 = 0 . 相應的投影區域復雜！ 因而 yOz 平面不適合作為投影面。 考慮向 xO