1、得分評卷人(A) 2 個(B) 4 個(C) 6 個20122013學年度明德衡民中學高一數學競賽試題時量：120分鐘 滿分：100分)題號123456答案、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在 每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)(1)已知集合 M =6,1,2,3,4, N =1,3,5, P=MN ,則 P 的子集共有(A)(B)(C)2.2(D)3、2(2)函數的y =3腳3圖象是 TOC o 1-5 h z yyO 1 x O 1 x(A)(B)(C)(3)如圖1是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為(A) 6(B) 9(4)已知向量 a, b 夾角為 45

2、 , |a| =1 且 |2 ab|= TTc ,則 |b| =JC 設函數f (x) =sin(ox +中)+cos8x+平)何0,中 一)的最小正周期為 冗 且滿足 2，f(x) = f(x),則(A) f (x)在(0,)單調遞減2(C)f (x)在(0,三)單調遞增2(B)f (x)在(三4(D) f (x)在(-43二、一，.3)單調遞減4更)單調遞增4(6)在等腰RtA ABC中，/C =90：現沿斜邊AB上的高CD折成直二面角 A-CD-B,那么得到的二面角 C -AB-D的余弦值為(A)亳 彳 (C) T (D) 號得分 評卷人 二、填空題：(本大題共5小題，每小題6分，共30

3、分，把正確答案填在題中橫線上)(7)已知長、寬、高分別為 3,4,5的長方體內接于球(頂點都在球面上)，則此球的表面積是.(8)三棱錐ABCD中，E, F分別是AC,BD的中點，若CD =4, AB = 2 ,且EF_L AB, 則EF與CD所成的角為.(9)已知直線l :x y+3=0被圓C：(xa)2+(y 2)2 =4截得的弦長為2 J2 ,則a的值 為.(10)若直線x +my -m =0與mx (2m -3)y -1 =0互相垂直，則m的值為.(11)關于x的方程 石二，=k(x-2)+3有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是 .三、解答題：(本大題共4小題，其中第12-14小題各8分

4、，第15小題10分，共34分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)得分 評卷人 (12)(本小題滿分8分)如圖2 , P為菱形ABCD所在平面外一點，PA_L平面ABCD ,求證：PC_BD.得分評卷人(13)(本小題滿分8分)2BC 中，內角 A,B,C 滿足 A+C = 2B,BC,且 sinC=2 ,13求 cos A.(14)(本小題滿分 8 分)ABCA1B1cl 中，/ABC=90L得分 評卷人如圖3,在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)AB=BC=AA=2, D 是 AB 的中點.(I)求證：AC1 平面 BiDC ；(II)求直線ACi與平面BiBCCi所成角的正切值

5、得分評卷人(15)(本小題滿分10分)已知圓心為坐標原點 O的圓與直線l :x + y + 42 = 0相切，如圖4所示.(I)求圓O的方程;(II)若點P在直線x=8上，過P引圓求證：直線 AB恒過定點.2012 2013學年度明德衡民中學高一數學競賽答案(時量：120分鐘 滿分：100分)、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在每小題給出的四個 選項中只有一個是符合題目要求的)題號123456答案BABDAC、填空題：（本大題共5小題，每小題6分，共30分，把正確答案填在題中橫線上）(7) 5可,2(8) 303或-50或25 一 3:二 k 一 一12三、解答題：（本大題共4

6、小題，其中第12-14小題各8分，第15小題10分,共34分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）（12）（本小題滿分8分）PA_L平面ABCD ,求證:證明：連接AC, 四邊形 ABCD為菱形,PC_ BD.BD _ AC . PA_L平面 ABCD , BD 匚平面 ABCD ,PA_BD.PA AC=A,BD _L平面 PAC. PC匚平面PAC,PC-BD.（13）（本小題滿分8分）5AABC 中，內角 A,B,C 滿足 A+C=2B,BC,且 sin C=上，求 cosA . 13解：由三角形內角和定理得 A+B+C=n, n結合 A+C =28得8=.3 TOC o 1-

7、5 h z 5212又因為 B C ,且 sinC = ,則 cosC = v1 -sin C =一 1313sinC=(J 24點2 132 132-2二八.從而 cosA =cos(- -C) = cos-cosC sin 335 3 -12 =. 26(14)(本小題滿分8分)ABC-ABCi 中，/ABC = 90如圖3,在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)圖3AB=BC=AA=2, D 是 AB 的中點.(I)求證：ACi 平面 BiDC ；(II)求直線ACi與平面B1BCC1所成角的正切值解：(I)證明：連接BC1，交CB1于E ,則E為BCM中點，連接DE , D是AB的中點，

8、DE / AC1 . 2分又 AC1迎平面B1DC , DE。1平面B1DC , ACJ/平面 B1DC .nABB1 BCC1?BB1 _L 平面 ABC = BB1 _L AB (II)AB _ BC則上AC1B是直線AC1與平面B1BCC1所成的角.因為 AB = BC = AA =2,在 Ft AB1C 中，BC1 =,BC2 +C1c2 = 20),由圓心O到直線l的距離d = r得0+0+412 TOC o 1-5 h z 一= r ,則r2 =16 ,即圓的方程為 x2 +y2 =16. 4分12 12(H)設 A(X1，y)B(X2，y2),則切線PA的方程為x1x + y1y = 16,切線PA的方程為x2x + y2y =16. 6分、8%+y1y0=1