1、PAGE PAGE 10滾動測試卷三(第一七章)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知集合M=x|x2+x0,N=x2x14,則MN等于()A.-1,0B.(-1,0)C.(-2,+)D.(-2,0答案:C解析:由x2+x0,得x(x+1)0,即-1x0,故M=-1,0;由2x14=2-2,即x-2,故N=(-2,+);因此,MN=(-2,+),故選C.2.在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=60,a=4,其面積S=203,則c=()A.15B.16C.20D.421答案:C解析:由三角形面積公式可得SABC=12ac

2、sinB=124csin60=203,據此可得c=20.3.如圖,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,a12.設1ij1,0b=log320,f(-1)=log32-1-log32=-10,f(x)=ax+x-b的零點所在的區間為(-1,0),故選B.10.已知函數f(x)=2sin (2x+)2的圖象過點(0,3),則函數f(x)的圖象的一個對稱中心是()A.-3,0B.-6,0C.6,0D.12,0答案:B解析:由題意,得3=2sin.又|2,故=3.因此f(x)=2sin2x+3.所以f(x)的圖象的對稱中心的橫坐標滿足2x+3=k,kZ,即x=-6+k2,kZ.所以結合選項可知f(x

3、)的圖象的一個對稱中心是-6,0.故選B.11.已知x,y滿足約束條件x-y0,x+y2,y0,若z=ax+y的最大值為4,則a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:作出不等式組對應的平面區域(陰影部分),如圖所示.則A(2,0),B(1,1),若z=ax+y過點A時取得最大值為4,則2a=4,解得a=2,此時,目標函數為z=2x+y,即y=-2x+z,平移直線y=-2x+z,當直線經過點A(2,0)時,截距最大,此時z最大為4,滿足條件.若z=ax+y過點B時取得最大值為4,則a+1=4,解得a=3,此時,目標函數為z=3x+y,即y=-3x+z,平移直線y=-3x+z,當直線經過

4、點A(2,0)時,截距最大,此時z最大為6,不滿足條件,故a=2,故選B.12.已知函數f(x)=xcos x-sin x-13x3,則不等式f(2x+3)+f(1)0時,f(x)0,函數在區間(0,+)內單調遞減.又函數是奇函數,函數在R上單調遞減.f(2x+3)+f(1)0,f(2x+3)-1,x-2.故答案為A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知a0,b0,ab=8,則當a的值為時,log2alog2(2b)取得最大值.答案:4解析:由題意,知log2alog2(2b)log2a+log2(2b)22=log2(2ab)22=log21622=4,當且僅當log

5、2a=log2(2b),即a=2b時等號成立.又因為ab=8,且a0,所以a=4.14.已知函數f(x)=2x-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,則f(5-a)=.答案:-74解析:當a1時,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合題意,舍去;當a1時,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-74.15.在正項等差數列an中有a41+a42+a6020=a1+a2+a100100成立,則在正項等比數列bn中,類似的結論為.答案:20b41b42b43b60=100b1b2b3b100解析:結合等差數列和等比數列的性

6、質,類比題中的結論可得,在正項等比數列bn中,類似的結論為20b41b42b43b60=100b1b2b3b100.16.已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n-1,1,則f(m)+f(n)的最小值是.答案:-13解析:求導得f(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2處取得極值知f(2)=0,即-34+2a2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在區間(-1,0)內單調遞減,在區間(0,1)內單調遞增,故當m-1,1時,f(m)min=f(0)=-4.又f(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對稱軸為x=

7、1,當n-1,1時,f(n)min=f(-1)=-9.于是,f(m)+f(n)的最小值為-13.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,bcos C=a-12c.(1)求角B的大小;(2)若b=1,求a+c的最大值.解:(1)bcosC=a-12c,ba2+b2-c22ab=a-12c,b2-c2=a2-ac,b2=a2+c2-ac,cosB=12.又B(0,),B=3.(2)b2=a2+c2-2accosB,1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.ac(a+c)24,當且僅當a=c時等號成立,14(a+c)21,即a+c2,a

8、+c的最大值為2.18.(12分)在數列an中,已知a1=1,a2=2,2an+1-an=an+2-2.(1)設bn=an+1-an,求數列bn的通項公式;(2)設cn=2n2bn,求數列cn的前n項和Sn.解:(1)2an+1-an=an+2-2,an+2-an+1=an+1-an+2,bn+1-bn=2,即bn是以2為公差的等差數列.由題意知b1=a2-a1=2-1=1,bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)cn=2n22n-1=n4n.Sn=14+242+n4n.4Sn=142+243+n4n+1.-,得-3Sn=4+42+43+4n-n4n+1=4-4n+11-4-n4n+1=(1-

9、3n)4n+1-43,Sn=(3n-1)4n+1+49.19.(12分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+33csin B.(1)若a=2,b=7,求c;(2)若3sin2A-6-2sin2C-12=0,求A.解:(1)a=bcosC+33csinB,sinA=sinBcosC+33sinCsinB,cosBsinC=33sinCsinB,tanB=3,B=3.b2=a2+c2-2accosB,c2-2c-3=0,c=3.(2)B=3,3sin2A-6-2sin2C-12=3sin2A-6-1+cos2C-6=3sin2A-6+cos43-2A-

10、6-1=3sin2A-6-cos2A-6-1=2sin2A-3-1=0,又6A0,an+10.,得an-1an+1=13an-1-1an-1+1(n2,nN*),且a1-1a1+1=12-112+1=-130,an-1an+1是首項為-13,公比為13的等比數列.因此,an-1an+1=-1313n-1=-13n,an=3n-13n+1.(2)由(1)得,cn=(3n+1)an=3n-1.(反證法)假設存在正整數l,m,n,且1lmn,使得cl,cm,cn成等差數列,則2(3m-1)=3l+3n-2,即23m=3l+3n,所以23m-l=1+3n-l,即23m-l-3n-l=1,則3m-l2-3n-l-(m-l)=1,得3m-l(2-3n-m)=1.l,m,nN*,且1l