1、 投稿時間：2009.3.20 電話電子郵箱： PAGE PAGE 9從一例談求函數最值的常規方法與技巧甘肅省高臺縣第一中 韓天禧 (郵編734300)本文僅從一道短小精悍、結構精巧的題目出發，從多角度全方位著手，來梳理歸納求函數最值的常規方法與技巧,與您共商討.題目 已知 ,、 為大于零的常數，求 的最小值.一、利用均值不等式求函數最值1 使積定的代數技巧解法一 . 即 當且僅當 , 時, 有最小值.2 使積定的三角技巧解法二 由 , 可設 , 其中 , 則 ., 即當且僅當 = , , , 時, 有最小值.3 使等號成立的技巧解法三 設 , 由均值不等式得:, 兩

2、式相加得, 保證等式成立的條件為 即 , 此時, 因此 當且僅當時, 有最小值.二、利用向量求函數最值解法四 設 , , 由 , 得:, 當且僅當 , 即 時, 有最小值.三、利用換元法求函數最值1 代數換元技巧解法五 當時, ,當且僅當等號成立;當時, 令 , 由, 得 (或), 這樣由, 等號成立條件為 , ,得, 它在時也成立. 所以 有最小值.2 三角換元技巧解法六 由 , 令 , 則.設, 再設 ，其中 得 , , 由+得, 又由, 得 所以 當且僅當時, 取得最大值1, 就有最小值為. 所以最小值為.注 若- 得 , 由 , 無最值.四、利用數形結合法求函數最值1 把化歸為直線坐標

3、軸上的截距和的技巧解法七 令, 可化為方程, 它表示過定點的直線, 它在軸與軸上的截距分別為,.由于=+, 說明幾何意義是過定點的直線在兩坐標軸上的截距和.設過定點的直線方程為, 由于截距為正, 得 . 它在軸上的截距為, 在軸上的截距為, 則=, 當且僅當,時, 有最小值.2 把化歸為橢圓長、短半軸平方和的技巧解法八 令, 可化為方程, 它表示過定點的橢圓,其中,由得=, 進而得. = =五、利用判別式法求函數最值,解法九 , 可化為，由于, 得, 由該方程在上有實根,得, 即 解得 , 因此的最小值為.六、利用導數求函數最值解法十 , 當, 得;當 得 , 故 在處有最小值.這道題構造精巧

4、、新穎別致，頗有思考性、挑戰性,求解入口寬,方法靈活多變。以上十種解法從多角度全方位來求解，其解法基本概括了求函數最值的常規方法與技巧，這種一題多解，對夯實雙基,提升能力有事半功倍的效果。盤點求最值方法與技巧甘肅省高臺縣第一中 韓天禧 (郵編734300)題目（2009天津卷理）設若的等比公項,則的最小值 A 8 B 4 C 1 D 解析 因為，所以.1均值不等式法解法 1 （1的代換技巧）.當即時“=”成立，故選擇C解法 2 （1的三角代換技巧）由，令，則.當,即時有最小值4.解法 3 （均值不等式技巧）由,得，又.即時有最小值4.解法4 (構造結論技巧) 由，得，兩式相加得.即時有最小值4

5、.2向量法解法5 設 , , 由 , 得：.當 時,即時有最小值4.3. 數形結合法解法6. （構造兩點間的距離技巧）記：外的一點P到直線的距離=它不大于P點到原點間的距離=，即，得.解法7. （ 構造直線在坐標軸上的截距和技巧）令, 得，它表示定點在直線上, 該直線在軸與軸上的截距分別為,. 由于, 說明的幾何意義是過定點的直線在兩坐標軸上的截距和.設過定點的直線方程為, 由于截距為正, 得 . 它在軸上的截距為, 在軸上的截距為, 則.當時,即時有最小值4.解法8. （構造橢圓長、短半軸平方和技巧）令得，它表示定點在橢圓上，該橢圓長半軸平方與短半軸平方分別為,.由于, 說明的幾何意義是過定

6、點的橢圓的長、短半軸平方和.由得, 又.故.當時,即時有最小值4.4. 換元法解法9 (變元增量技巧)由可知，.故設，其中得，代入得.故.當時,即時有最小值4.解法10 （三角換元技巧）由，令，其中 設, 再設 ，其中 得 , ,由+得, 又由, 得 所以 當且僅當時, 取得最大值1, 就有最小值為2，有最小值為4. 5. 判別式法解法11 設,則代入得關于的一元二次方程, 其中,在上有實根得, 即 解得 .6. 配方法解法12 由，得,.當時有最小值4.7.導數法解法13記，由，得,，, 當,得；當 得 , 故 在時有最小值.這道題構造精巧、新穎別致，頗有思考性、挑戰性,求解入口寬,方法靈活

7、多變。以上十三種解法從多角度全方位來求解，其解法基本概括了求函數最值的常規方法與技巧，這種一題多解，對夯實雙基,提升能力有事半功倍的效果。練習1.(2009山東卷理)設x，y滿足約束條件 ， 若目標函數z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為A. B. C. D. 42.（06上海春）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點，則三角形面積的最小值為 .3.（08全國一10）若直線通過點，則 A B CD 答案： 1. A； 2. 4； 3. D.“七招”巧解一類最值孟金梅 甘肅省高臺縣第一中學 （734300） 本文由一道高考題（07年山東卷）變式,從不同思

8、維角度出發,對此類最值問題求解作以歸納,以供參考.題目 已知且求的最值.第一招 消元(將兩個變量消去一個)由得(,即)所以 ,當且僅當,即時等號成立,故時,取得最小值16. 第二招 常數“1”的變換因為且，所以=，當且僅當,即時等號成立,由，解得故時,取得最小值16.第三招 三角換元由可設，其中，則所以 =當且僅當即時,取得最小值16.第四招 和差換元由可設則所以= = 當且僅當，此時 時,取得最小值16.第五招 數形結合L0L1L0由得作出函數的圖像（如右），令利用“線性規劃”知識，平移直線至位置時，直線與曲線相切與點A，此時取得最小值.由消去得，則，解得或.經檢驗不合題意舍去,故,此時A(4,12).所以時,取得最小值16.第六招 構造向量法,即利用向量性質(當且僅當與同向共線時等號成立)由且，設則所以,由