1、考點13定積分與微積分基本定理(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念(2) 了解微積分基本定理的含義、號3知識整合、定積分.曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形：由直線 x=a、x=b(a巾)、y=0和曲線y = f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖).(2)求曲邊梯形面積的方法與步驟:(如圖);分割：把區間a, b分成許多小區間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形近似代替：對每個小曲邊梯形 以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值(如圖);求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和;取極限：當小曲邊梯形的個數趨向無

2、窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個定值，即為曲邊梯形的面積.b圖圖.求變速直線運動的路程如果物體做變速直線運動，速度函數為v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法,求出它在a44內所作的位移s.定積分的定義和相關概念(1)如果函數f (x)在區間a,b上連續，用分點a=xoxi-yxi.ixi-yxn=b將區間a,b等分成n個小區間，n . n b-a .一，在每個小區間埠1,刈上任取一點a(i=1,2,n),作和式 f(q)Ax= f (。)；當n-8時，上i 1i=4 n述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間a,b上的定積分，記作bf(x)dx,即

3、abn b -a .f (x)dx = lim f ( i).an 二 inb(2)在f f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a,b叫做積分區間，函數f(x)叫做被a積函數，x叫做積分變量，f (x)dx叫做被積式.定積分的性質 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Current Document bbj kf (x )dx = k J f (x )dx (k 為常數)； HYPERLINK l bookmark24 o Current Document aabbbf f (x) g(x)dx = f (x)dx J g(x)dx ;

4、aaabcbf f (x)dx= f f (x)dx+ f f(x)dx(其中 aca 0); a xb. exdx = ex |a; aa177dxXab - I abaX aan(8)Jxdx = 2 x2 |： (b a a 圭 0). a 3點考向一考向一定積分的計算.求定積分的三種方法(1)利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強；(2)利用微積分基本定理求定積分；(3)利用定積分的幾何意義求定積分.當曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分.例如，定積分二X2dx的幾何意義是求單位圓面積的，所以1 1 - x2 dx=-.404.用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟(1)把被

5、積函數變形為募函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質變形為求被積函數為上述函數的定積分；(3)分別用求導公式找到一個相應的原函數；(4)利用牛頓萊布尼茨公式求出各個定積分的值；(5)計算原始定積分的值.分段函數的定積分分段函數求定積分，可先把每一段函數的定積分求出后再相加.奇偶函數的定積分a(1)若奇函數y=f(x)的圖象在-a, a上連續，則f(x)dx = 0; _a TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18 o Current Document aa(2)若偶函數y=g(x)的圖象在-a, a上連續，則g(x)dx

6、=2f g(x)dx .- _a0 TOC o 1-5 h z 典例引領1典例 1jx l|dx = HYPERLINK l bookmark72 o Current Document A. 1B, 12C. 2D. 3【答案】A.110dli【解析】o x -1dx = o (1 - x)dx jx-2x2 10=1一2 = 2.故選A.【解題技巧】求定積分的關鍵是找到被積函數的原函數，為避免出錯，在求出原函數后可利用求導與積分 互為逆運算的關系進行驗證 .變式拓展t1.若 cos2t = 一 gcosxdx ,其中 t w （0,冗），貝U t =花 A.一6花C.12B.D.花35冗6考

7、向二利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略(1)利用定積分求平面圖形面積的步驟根據題意畫出圖形；借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；計算定積分，寫出答案.(2)知圖形的面積求參數求解此類題的突破口:畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數，由 定積分求出其面積，再由已知條件可找到關于參數的方程，從而可求出參數的值.(3)與概率相交匯問題解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積，再用相應概率公式進行計算.典例引領典例2設拋物線C: y=x2與直線l： y=1圍成的封閉

8、圖形為P,則圖形P的面積S等于B.D.C. 232y = x -由 y x ,得 x = 1.y =1 _.121 3 14如圖，由對稱性可知，S =2（儼1（x2dx） =2（仔1gx3 O）=鼻.故選D.變式拓展2.用S表示圖中陰影部分的面積，則 S的值是cA. L f(x)dxbca f(x)dx b f(x)dxcB.f (x)dxaf (x)dx - f (x)dxba考向三定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運動與變力做功問題利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時, 關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系，確定好積分區間，得到積分表達式，再利用微

9、積分基本定理計算即得所求典例引領25s,典例3 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 v（t） =7-3t +，5 （t的單位:1 tv的單位：m/s）行駛至停止.在此期間汽車繼續行駛的距離（單位：m）是 一，r ，11A . 1 + 25ln 5B. 8+25ln 34 + 25ln 5D. 4+50ln 2【答案】C【解析】令v(t)=0得，3t2-4t-32=0,解得t=4(t =8舍去). 3汽車的剎車距離是j(7 3t+ 含)dt =7t -|t2 +25ln(t +1)|4 = 4+25ln 5.故選C.變式拓展3.已知物體運動的速度與時間的關系式為A. 111

10、01 C.4v=4t9,則物體從t = 0至ijt = 5所走的路程為B. 5D. 20聲點沖關*1.定積分jx(2 -x dx的值為_ 冗 B.C.九22九22.求曲線y = x與y =x所圍成的圖形的面積S,正確的是C.2.S X-X 改B.1 2S = 0 x -x dx12S = 0 y -y dyD.S = yy-Vy )dy3.若a% (sin x +cosx )dx4、2 上2，則a的值不可能為2C.13 7t1229冗12B.D.7冗437冗12A. 139C.45m6mD.11 m213一 m2314,已知函數 f (x )在 R 上可導，且 f (x )=4x x f (1

11、 )+2f (0 ),則 J。f (x)dx =B. -139D.45.汽車以v = (3t+2) m/s作變速運動時，在第 1s至2s之間的1s內經過的路程是6,若函數 f (x ) = Asin |切x -(A 0,80)的圖象如圖所示，則圖中陰影部分的面積為/TB.2 - .3C.4D.7.已知二項式.x1+ 一2 ax9)的展開式中1 x +- idx的值為e2 1A.2e2 -3B .2e2 3C.22一 eD.-528.曲線y = -x2 -x與x軸所圍成圖形的面積被直線y = kx分成面積相等的兩部分，則k的值為D.三一129.設f (x )=2x-x2,在區間b,1】上隨機產生

12、10000個隨機數，構成5000個數對(為必i=1|2, ,5000),記滿足f (x )Yi (i =1|2| ,5000 )的數對(xi,yi )的個數為X則X的估計值約為A. 3333B. 3000C. 2000D. 166710.已知定義在R上的函數f(x)與g(x )，若函數f(x)為偶函數，函數g(x)為奇函數,a且 1fo f (x )dx = 6 ,貝U 總 f x 2g x dx =直通高考（2015年高考湖南卷理科）20 (x-1)dx =2.（2015年高考天津卷理科）曲線y=x2與直線y =x所圍成的封閉圖形的面積為3.（2015年高考山東卷理科）執行如圖所示的程序框圖

13、，輸出的T的值為是否輸出T.4.（2015年高考福建卷理科）2 _如圖，點A的坐標為（1,0），點C的坐標為（2,4），函數f （x）=x若在矢巨形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于5.（2015年高考陜西卷理科） 如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為息參考答案.變式拓展L【答案】C TOC o 1-5 h z 【解析】cosxdx sin x= sin t,且cos 2r = -f cosxdx? cos2f = -sinf SP1 - 2sin2r - -sinr, J 00解得寫in

14、?二 1 或sin/ 二一：f,故選C.【點睛】本題主要考查定積分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函數值求角，意在考查綜合tt運用所學知識解決問題的能力，是中檔題.求解時，首先求出定積分C cosxdx,代入cos2t = - cosxdx ,00利用二倍角公式得到關于 sint的方程，求出sint ,結合t的范圍可得結果.【解析】由定積分的幾何意義知，圖中陰影部分的面積為-f x dx f(x)dx = f (x)dx - f (x)dx. abba3.【答案】B【解析】由積分的物理意義可知物體從故選D.5_ 2 _5_t=0 到 t=5 所走的路程為 * (4t 9 )dt = (

15、2t2 9t) |0= 50 45 = 5.故選B.考點沖關【解柝y=Jx(2_xj, (x1 )2 +y2 =1表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，定積分1Jx(2-x )dx等于該圓的面積的四分之一,二定積分x(2-x )dx =故選 A.2.【答案】A【解析】如圖所示,a【解析】由題得 .sin x+cosx )dx =sin xcosx。44_冗一冗,=cossin cosa 一44sin a =sina - cosa=V2sin 1 a 一】=避，所以sin a，把a = I幾代入，sin ，顯然不成立，故選B.42424224.【答案】C1解析】由題意得門#) = 4-3*了川融

16、門0= 4,3。1 = 4-3,，得到.1) = 1,3】f ，1 貫* I3 g所以/(工)=4工一1+8 ：所以 f(4/一f+8|dx = ； 21*-丁+8工 |J = - ml 、4 J 4故選C.5.【答案】D23t223【解析】由題意可得在第1s至2s之間的1s內經過的路程S= 1 (3t+2)dt = (3- + 2t)|1 =6 + 43-26.【答案】C., T 7T I TT 1 TT _一,，TT 1【解析】由圖可知，A=1 , T=-,即 T=兀，0=2,則 f x =sin. 2x-.23626圖中的部分的面積為兀一 2cos(2x7 /|cosi-cos/F260

17、2 I16 6j I 6JJ2 2-M=.故選C2 )4【名師點睛】本題考查了導數在求解面積中的應用，關鍵是利用圖形求解函數的解析式，再在運用積分求解.定積分的計算一般有三個方法:利用微積分基本定理求原函數;利用定積分的幾何意義，即利用面積求定積分;利用奇偶性、對稱性求定積分，如奇函數在對稱區間的定積分值為0.【解析】二項式 x+ 1的展開式的通項為 中=C；x92ax2；xC11C；x9r ,令 r = 3可得 x32a的系數為 1c92a21, 一 r 21二.由題意得W2a32ax-：dx= 2x2e2 -3故選B.【名師點睛】先由二項式定理求得展開式的通項，根據題意求得實數a的值,再根

18、據微積分基本定理求定積分.【解析】如圖所示，曲線 y = x2x與x軸的交點為（一1,0）和（0,0）,曲線2y = -x - x 與直線 y = kx的交點為(1 -k, -k -k2 )和(0,0). TOC o 1-5 h z 0 o0o由題意和定積分的幾何意義得：(-x2-x)dx = 2 J j x2 x kx )dx , HYPERLINK l bookmark155 o Current Document ,.3,3、- /，廣 1(1 +k) (1 +k)131 直化簡得：-=2 ，即 1=(1 + k)3,解得：k=隹1=16、322%2故選D.般轉化為定積分的計算及應用,【點

19、睛】1.由函數圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用,定要找準積分上限、下限及被積函數，且當圖形的邊界不同時，要討論解決.具體步驟如下:(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點坐標，確定積分上、下限；(3)確定被積函數，注意分清函數圖形的上、下位置；(4)計算定積分，求出平面圖形的面積.2.由函數求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數可根據其幾何意義，求出其圍成的幾何 圖形的面積，即其定積分.9.【答案】A【解析】滿足yi f (x )是在曲線y=f(x)、y=0,x=1所圍成的區域內(含邊界)，又該區域的面積一 1221 3 122為(2xx2 )dx=x2 x3 |0 = ,故 X 的估計值為父5000亡3333.0333故選A .【名師點睛】對于曲邊梯形的面積， 我們可以用定積分來計算.設事件A為0,1上隨機產生數對(x, y),0 x1滿足y E f (x ) ”，則總的基本事件為 ，對應的測度為正方形的面積1,而隨機事件 A對應的0三y三1y f (x) TOC o 1-5 h z 測度為為曲邊梯形 0 Ex W1的面積，它可利用定積分來計算.0y 0)的幾何意義是表 a示曲線y = f(x )以下、x軸以上和直線x = a, x=b之間的曲邊梯形的面積，解題時要注意面積非負,而定積分的結果可以為負.直通高考1.【答案】021