1、應用數學 主編:河南機電學校基礎部第九章立 體 幾 何第一節平面的基本性質圖9-1平時我們見過的長方體、圓柱、圓錐等都是空間圖形，空間圖形就是由空間的點、線、面所構成的圖形.靜止的水面、黑板面、地面等，它們有一個共同特征平坦.由此可抽象出平面的概念，平面是平坦且可以無限延伸的圖形.通常畫平行四邊形表示平面.當平面是水平放置的時候，常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的2倍長，如圖9-1所示.畫兩個相交平面時，若一個平面的一部分被另一個平面遮住，應把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫.平面可以用一個希臘字母，來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示，如平面，平面AC等.第一節平面的基本性

2、質空間圖形的基本元素是點、直線、平面，從運動的觀點看，點運動構成直線，線運動構成平面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質集合中“”的符號只能用于點與直線和點與平面的關系，“”和“”的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系，雖然借用集合符號，但在讀法上仍用幾何語言a(平面外的直線a)表示立體幾何中有一些公理，構成一個公理體系.人們經過長期的觀察和實踐，把

3、平面的三條基本性質歸納成三條公理.第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質圖9-2公理1如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內. 如圖9-2所示：或者表示為A，B,AB.這條公理是判定直線是否在平面內的依據，也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿.公理1 說明了平面與曲面的本質區別.通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內的方法，又是檢驗平面的方法.第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質圖9-3公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的

4、集合是一條過這個公共點的直線.如圖9-3所示.或者表示為P,P，=l,Pl.公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據，并提供了確定兩個平面交線的方法.今后所說的兩個平面(或兩條直線),如無特殊說明,均指不同的平面(直線).第一節平面的基本性質公理3經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面或者A，B，C三點不共線，存在唯一的平面，使得A，B，C.如果一個圖形的所有點都在同一個平面內，則稱這個圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形.第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質圖9-4推論1經過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.已知：直線l，點C是直線l外一點.求證：過點C和直線l

5、有且只有一個平面.證明：(存在性)：如圖9-4所示，在直線l上任取兩點A、B， A,B,C三點不共線.由公理3，經過不共線的三點A，B，C可確定一個平面，點A,B在平面內.根據公理1，l，即平面是經過直線l和點C的平面.(唯一性)：A,Bl，l，C，點A，B，C，由公理3，經過不共線的三點A，B，C的平面只有一個，所以，經過l和點C的平面只有一個.第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質圖9-5如圖9-5和圖9-6所示，由推論1得出：推論2經過兩條相交直線有且只有一個平面.推論3經過兩條平行直線有且只有一個平面.圖9-6第一節平面的基本性質第一節平面的基本性質圖9-7第二節兩條直線的位置關系如

6、圖9-8所示，長方體中下列各對線段所在直線的位置關系如何？AB與AD；AB與DC；AB與D1D.顯然，直線AB與AD相交于點A；直線AB與DC平行；直線AB與D1D不在同一個平面內，如果兩條直線不在同一個平面內，那么稱它們為異面直線.圖9-8兩條異面直線一定沒有公共點，因為假如它們有且只有一個公共點，那么它們相交，從而它們在同一個平面內，與前提矛盾；假如它們有兩個不同的公共點，那么它們重合，從而也在同一個平面內，與前提矛盾.所以它們沒有公共點.第二節兩條直線的位置關系空間兩直線的位置關系有四種：(1)相交有且只有一個公共點；(2)平行在同一平面內，沒有公共點；(3)異面不在任何一個平面內，沒有

7、公共點；(4)重合有無數多個公共點.在上面的例子中，直線AB與直線D1D是異面直線，觀察它們的特點，可以得到下面的定理.第二節兩條直線的位置關系第二節兩條直線的位置關系定理1連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直在平面內平行于同一條直線的兩條直線互相平行，在空間也有類似的結論.圖9-9第二節兩條直線的位置關系第二節兩條直線的位置關系公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行.公理4表述的性質叫做空間平行線的傳遞性；在幾何學中，通常用互相平行的直線表示空間里一個確定的方向.在平面內，對應邊平行且方向相同的兩個角相等，在空間中，這個結論仍然成立.如果一個角的兩邊和另一

8、個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.第三節直線和平面的位置關系根據公理1可以知道，一條直線與一個平面如果有兩個公共點，這條直線就全部在這個平面內，此外，直線和平面的位置關系還有相交(一條直線與一個平面有一個公共點)和平行(一條直線與一個平面沒用公共點)兩種.直線和平面的位置關系有三種：(1)直線在平面內(無數個公共點)；(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面平行(沒有公共點).它們的圖形可分別表示為如圖9-10所示的圖形，符號可分別表示為l，l=A，l.圖9-10第三節直線和平面的位置關系第三節直線和平面的位置關系定理1(直線和平面平行的判定定理)如果不在一

9、個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.圖9-11第三節直線和平面的位置關系第三節直線和平面的位置關系定理2(直線和平面平行的性質定理)如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.圖9-12第三節直線和平面的位置關系第三節直線和平面的位置關系圖9-13在長方體中，上底面與下底面平行，側面與底面相交.由此可得出兩個平面的位置關系有三種情形：(1)兩個平面平行(兩個平面沒有公共點).(2)兩個平面相交(所有公共點位于一條直線上).(3)兩個平面重合(有三個公共點不在一條直線上).畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊

10、形的相鄰兩邊分別畫成平行的.第四節平面與平面的位置關系第四節平面與平面的位置關系定理1(兩個平面平行的判定定理)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.圖9-14推論如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.第四節平面與平面的位置關系第四節平面與平面的位置關系定理2(兩個平面平行的性質定理)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.圖9-15同理可得面面平行的另一性質：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.第四節平面與平面的位置關系第四節平面與平面的位置關系圖9-16第四節平

11、面與平面的位置關系為了描述空間兩條直線的位置關系，需要引入異面直線所成的角這一概念.如圖9-17所示，已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點O作直線aa,bb,a,b所成的角的大小與點O的選擇無關，把a,b所成的銳角(或直角)叫異面直線a,b所成的角(或夾角).為了簡便，點O通常取在異面直線的一條上.異面直線所成的角的范圍是如果兩條異面直線所成的角是直角，則兩條異面直線垂直.兩條異面直線a,b垂直，記作ab.第五節兩條直線所成的角第五節兩條直線所成的角圖9-17第五節兩條直線所成的角和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線.因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂

12、線的定義要注意“相交”的含義.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長度，叫做兩條異面直線間的距離.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.第五節兩條直線所成的角以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉一周，顯然軸與另一條直角邊旋轉過程中產生的任何一條直線垂直，由此可以得到下述概念.如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.第六節直線與平面垂直直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a.畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直.利用定義，我們

13、得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質.第六節直線與平面垂直第六節直線與平面垂直圖9-18定理(直線與平面垂直的判定定理)如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.即若ll1，ll2，l1l2B，l1，l2，則l如圖9-18所示.第六節直線與平面垂直第六節直線與平面垂直圖9-19第六節直線與平面垂直圖9-20第六節直線與平面垂直從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.空間中任一點向平面引垂線，垂足稱為該點在平面上的射

14、影.該點與垂足間的線段稱為該點到平面的垂線段.第六節直線與平面垂直如果一條直線與一個平面相交，但不與平面垂直，那么這條直線稱為這個平面的斜線，斜線與平面的交點稱為斜足.斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段.從斜線上一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線稱為斜線在這個平面上的射影.第六節直線與平面垂直三垂線定理在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.第六節直線與平面垂直圖9-21第六節直線與平面垂直三垂線定理的逆定理在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與

15、這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在直線 自一點向平面引垂線,垂足叫這點在這個平面上的射影.這個點和垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.第六節直線與平面垂直一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫斜足；斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段.過斜線上斜足外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影，垂足和斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段在這個平面內的射影.第六節直線與平面垂直直線與平面平行，直線在平面的射影是一條直線，直線與平面的垂直射影是點，斜線上任一點在平面內的射影一定在斜

16、線的射影上.射影長相等定理從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線中(1) 射影相交兩條斜線相交；射影較長的斜線段也較長；(2) 相等的斜線段射影相等，較長的斜線段射影較長；(3) 垂線段比任何一條斜線段都短.第六節直線與平面垂直在實際問題中經常要考慮兩個平面所成的角度，例如，在修筑堤岸時，要考慮到河堤與地面要組成適當的角度.下面開始研究兩個平面所成的角度.平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.若棱為l，兩個面分別為，的二面角記為-l-.第七節平面與平面垂直如圖9-22所示，過二面角的棱上的一點O分別在兩個半平面內作棱的兩條垂線OA、OB，則AOB叫做二面角-l-的平面角.一個平面垂直于二面角-l-的棱l，且與兩個半平面的交線分別為OA、OB，O為垂足，則AOB也是-l-的平面角.二面角的平面角范圍是0，180；二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直.第七節平面與平面垂直第七節平面與平面垂直圖9-22第七節平面與平面垂直第七節平面與平面垂直圖9-23利用三垂線定理作二面角的平面角是解決二面角問題的一種重要方法，