1、固態物理黃鎮華(Dated: May 12, 2015)PACS numbers:I.習題1有一晶體，平衡時體積為V0，原子間相互作用勢能為U0，如果相距為r的兩原子相互作用勢為：u(r) = rm + rn(1)mn證明：（）體積彈性模量為K = |U |（2）求出體心立方結構惰性分子晶體的體積彈性模量109V0解答：（1）N個原子的相互作用勢為NU =(+)2rmrn(2)已知晶體的彈性模量與內能的關系式為d2UK = (V)V0dV 2(3)晶體的體積可以表示為V = Nr3(4)則彈性模量為d2Uk =(V)V0dV 2(5) ddNrm)3=Nr(+r0d(Nr3) d(Nr3) 2

2、rn ddN(+)3=Nrr03Nr2dr 3Nr2dr 2rmrn rd 1 Nm1n1=(mr nr)r09N dr r2 2 rd Nm3n3=(mr nr)r09N dr 2 rNm4n4=(m 3)mr+ (n + 3)nrr09N 21N(m + 3)m+ (n + 3)n=9Nr3 2mnrr000dU由于晶體的平衡條件|= 0，即r=rdr0d Ndr 2Nm1n1(+)|=(mr nr)|= 0(6)r=r0r=r0rmrn2= m= nrnmr00Electronic address: 125432594 .com2將上述式子回帶到K中，則出1NK =9Nr3 2(m +

3、3)m+ (n + 3)n(7)mnrr0001 N=9V 2mn mnmnrr000mn=|U0| 9V(U0 0)0（2）已知惰性分子晶體的兩個原子間的相互作用能為（參照固態物理2-46式）ABu(r) = r6 + r12(8)若令A = 46, B = 412，則上述式子可以改寫成勒納勢126u(r) = 4( ) ( ) rr(9)若晶體內含有N個原子，則總的勢能為1U (r) =N (4)A ( ) A6( r ) 126(10)122r其中A12, A6與晶體結構有關的晶格求和常數，可在固態物理中表2-7查得。根據晶體的平衡條件|dU= 0r=rdr0dU (r)137|r=r0

4、 = 2N12A12( r )+ 6A6( r ) |r=r0 = 0(11)dr2A12 1/6= r = ()0A6回帶到U (r0)NA262A12U (r ) = (12)0由于V0 =r ，4N 3m = 6, n = 12，則由（）式可知603 336A6A12)5/2K =A12(13)23由書上表2-7查得體心立方結構惰性分子晶體的晶格求和常數為A6 = 12.25，A12 = 9.11求得70.1K =(14)3II.習題2證明系統的能量為i = (ni + 1/2)i3,3NE =ii=1解答：系統的哈密頓量可表示為3N3N 21212 V 2H =m u +() u u(

5、15)i i0 i juiuji=1i,j=1ui為原子偏離平衡位置的位移矢量，其中系統的動能項為3N122T =m u(16)i ii=1系統的勢能項為3N 21= V V() u u(17)0 i j2uiuji,j=1現引入簡正坐標Qi，滿足3Nm u =a Q(18)i iij jj則系統的哈密頓量可改寫為3N3N12212 2H =Q + Q(19)ii i2i=1i=1其中動能項為3N122T =Q(20)ii=1勢能項為3N122 2V = Q(21)i ii=1由此日函數3N3N12212 2L = T V =Q Q(22)ii i2i=1i=1根據正則方程與正則動量關系Hpi

6、 = Q(23)iLpi =QiQi + 2Qi = 0i = 1, 2, 3, . . . 3N(24)i4上述方程的解為Qi = Aisin(it + i)i = 1, 2, 3, . . . 3N(25)此時原子偏離平衡位置的位移矢量可表示為 aij u =miA sin( t + )i = 1, 2, 3, . . . 3N(26)ijiij 推廣到量子力學的情況下，將動量改寫成算符形式= i，則系統的哈密頓量可改寫為p piiQi3N3N 121H22 2=+ Q(27)i iQi2i=1i=1求解方程3N3N 121H(Q , Q) = (22 2 Q )(Q , Q) = E(Q

7、 , Q+)(28)13N13N13Ni iQi2i=1i=1由于Qi是簡正的，則波函數可寫作(Q1, Q3N ) = 12 3N(29)此時任意一個簡正坐標的方程為1 1( 22 2+ i Qi )i = ii2i = 1, 2, 3, . . . 3N(30)2Qi令i =Q(31)ii 1 =piii此時可構造出產生湮滅算符1a =( + i )(32)iii21ai = ( i )ii2代入方程中 = (aa + 1 ) = (n + ) = ii2ii i1Hi = 1, 2, 3, . . . 3N(33)i iiiii2總的系統能量為3NE =(34)ii=15III.題3為什么

8、離子晶體與光的相互作用時，相對而言，光子動量為零？解答：由德關系：p = k = = (35)/k， = h是粒子的能量，是粒子的速度。其中k為粒子的對于光子的動量= = ocp(36)oc為光速。對于離子晶體，聲子的動量為= pp(37)p其中p的大小接近于聲速。對于離子晶體與光子的相互作用，當光子的能量等于（聲子的準粒子激發能）才能激發。由于c p(38)故po pp(39)所以光子動量po可以看作是零。IV.習題4求證CV = 3R證明：由習題2可知，每一個簡正坐標Qi均可看成獨立的諧振子，每個諧振子的能量分別可表達為：i = (ni + 1/2)ii = 1, 2, 3, . . .

9、3N(40)現假設每個諧振子的頻率都相同，則每個諧振子的能量的統計平均值可以表示為：ejjjE =(41)ejjn n ejj1nj= + 2n ejnj1= +Inen j2nj其中 = 1 ，式中第二項求和可以利用級數展開式：kBT 1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn1 x(x 1)(42)6故1E = +Inen (43)j2nj11= +In21 ee1= +21 ee 11= +2總能量為3N 個諧振子的能量求和，即e 13E = 3NE =N + 3N(44)2將 = 1 代入，則熱容量可表示為kBTe/kBT()2dECV = 3N k(45)T 2 (e/kBT 1)2dTB對于高溫極限的情況kBT ，也即/kBT 1時，利用ex = 1 + x + 1 x2 + 1 x3 + . . . + 1 xn(x 1)(46)2!3!n!熱容量可以作以下近似：e/kBT()2CV =3N k(47)T 2 (e/