1、高職醫(yī)用高等數(shù)學分部積分法教學點滴【摘要】 通過對 5個有代表性的實例的分析，闡明了適用于分部積分法的若干種常見題型的簡明求解方法：只需按先后順序選取對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類函數(shù)之一為u，同時保證v容易求得，從而達到利用分部積分公式簡明準確求解問題的目的。 【關(guān)鍵詞】 分部積分法; u(x)的選取; dv 的選取在現(xiàn)行大多數(shù)高職醫(yī)用高等數(shù)學教材中，講授分部積分法求不定積分時，往往都是先給出分部積分公式：設(shè)u=u(x),v=v(x) 具有連續(xù)的導數(shù)，則udv=uv-vdv ，然后就是各種不同類型的例題，即使一些較高水平的輔導教材也只是簡單提示應(yīng)用此公式的關(guān)鍵是

2、：如何選取u和dv ，選取的原則：積分容易者選為dv ，求導容易者選為u;在二者不可兼得的情況下，首先要保證的是前者1。然后仍然是若干種不同類型的例題，其中u 及dv 的選取又各不相同2,3，而這些龐雜的不同類型的例題中，如何正確選取u 及dv ，極不容易區(qū)分，又難以把握，往往由此引起混淆乃至于學生束手無策，導致糟糕的教學效果。筆者在多年的教學實踐中，針對高職醫(yī)用高等數(shù)學教材的把握，總結(jié)出掌握分部積分公式的關(guān)鍵是：首先選取u，然后保證u=dv 容易求得。具體實施步驟是：按先后順序選取對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類函數(shù)之一為u;然后保證v=dv 容易求得。此種解題思

3、路簡潔明了，避免了針對各種龐雜混亂題型的區(qū)分，有利于簡明準確的求解問題，學生只需按先后順序記住四類函數(shù)即可應(yīng)用分部積分公式求解相應(yīng)問題，大大減輕了學生的學習負擔。具體闡述如下：1 實例分析例1 xex dx此題中有兩類不同的函數(shù)：冪函數(shù)x和指數(shù)函數(shù)lnx 。其中任何一類函數(shù)的積分及求導都很容易，若盲目選取ex為u，則xexdx=exdx22=exx22-x22 ex dx ，此時完全違背了分部積分公式的指導思想：將不容易求解的不定積分udv 轉(zhuǎn)化為容易求解的不定積分vdu 。在此題中，不定積分x22exdx比不定積分xexdx 更難求解，導致原題無法求解。正確而又簡明的解題思路是：按先后順序選

4、取對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)中的冪函數(shù)x 為u，同時保證容易求得v=exdx=ex ，從而順暢的求解此題。即：xexdx=xdex=xex-exdx=xex-ex+c例2 xln xdx此題中也出現(xiàn)了例1中的冪函數(shù)x，另一函數(shù)為對數(shù)函數(shù)lnx，但此題如仿例1選冪函數(shù)x為u，則v=lnx dx=xlnx-x1xdx=xlnx-x 。那么求解過程如下：xlnxdx=xd(xlnx-x)=x(xlnx-x)-(xlnx-x)dx=x2lnx-x2-xlnxdx+12x2+c=x2lnx-12x2-xlnxdx+c移項后有： xlnxdx=12lnx-14x2+c此解題過程

5、雖然也能求解出最后的正確結(jié)果，但解題過程成冗長，況且還遇到了較復(fù)雜的問題，即lnxdx=xlnx-x 的求解，而v 的求解過程在學習分部積分公式的初期學生往往還很不容易掌握。上述xlnxdx 的求解過程可以作為后續(xù)學習中的思考題讓學生完成。而例2正確而又簡潔的求解過程為：按先后順序選取四類函數(shù)之一的對數(shù)函數(shù)lnx 為u，同時v=xdx=x22也容易求得。則求解過程簡潔而又順暢。即：lnx dx=lnxdx22=lnxx22-x2x1xdx=x22lnx-12xdx=12x2lnx-14x2+c例3 xarctanx1+x2dx此題中出現(xiàn)了三類函數(shù)，冪函數(shù)x ，反三角函數(shù)arctanx ，無理分

6、式函數(shù)11+x2 ，學生往往對v=dv 的求解及u 的選取感到很茫然，幾乎無從下手，很難正確求解此題。簡潔而又明晰的求解過程是：按先后順序選取四類函數(shù)之一的反三角函數(shù)arctanx 為u，同時保證v=x1+x2dx=1+x2也容易求得，則解題過程依舊順暢。即：xarctanx1+x2dx=arctanxd1+x2=arctanx1+x2-1+x211+x2dx=1+x2arctanx-11+x2dx其中不定積分11+x2dx 可用第二類換元法求解：令x=tant ，則 dx=sec2tdx，11+x2dx=1sectsec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+c=ln|1+x2+

7、x|+c于是xarctanx1+x2dx=1+x2arctanx-ln|1+x2+x|+c例4 x3ln2xdx此題若盲目的選取u=x3 ，則首先v=ln2xdx 的求解是個較復(fù)雜的問題。v=xln2x-x2lnx1xdx=xln2x-2lnxdx=xln2x-2(xlnx-x)=x(ln2x-2lnx+2)同時原題的求解過程更為困難。x3ln2xdx=x3dx(ln2x-2lnx+2)=x3x(ln2x-2lnx+2)-x(ln2x-2lnx+2)dx3=x4(ln2x-2lnx+2)-3x3(ln2x-2lnx+2)dx此時求解不定積分應(yīng)再用分部積分公式，但v=dv 的求解更為復(fù)雜，學生往

8、往已經(jīng)沒有信心繼續(xù)求解了。簡明的求解過程為：按先后順序選取四類函數(shù)之一的對數(shù)函數(shù)ln2x 為u ，而v=x3dx=14x4 又很容易求得。則解題過程較為簡潔順暢：x3ln2xdx=ln2xdx44=ln2xx44-x442lnx1xdx=x44ln2x-12x3lnxdx=x44ln2x-12lnxdx44=x44ln2x-12(lnxx44-x441xdx)=x44ln2x-12(x44lnx-x416)+c=x44ln2x-x48(lnx-14)+c例5 e3xcos2xdx被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積。此時可選任意函數(shù)為u及dv 。方法一 選u=e3x，dv=cos2xdx，則 v

9、=12sin2x原式=12e3xd sin2x=12(e3x sin2x- sin2xde3x)=12e3xsin2x-32e3xsin2xdx=12e3xsin2x+34e3xd cos2x=12e3xsin2x+34(e3xcos2x-cos2xde3x)=12e3xsin2x+34e3xcos2x-94e3xcos2xdx移項后，有e3xcos2xdx=113e3x(2 sin2x+3cos2x)+c方法二 選u=cos2x,dv=e3x, 則 v=13e3x原式=13cos2xde3x=13(cos2xe3x-e3xd cos2x)3e3xcos2x+23e3xsin2xdx=13e3

10、xcos2x+29sin2xde3x=13e3xcos2x+29(sin2xe3x-e3xd sin2x)=13e3xcos2x+29e3xsin2x-49e3xcos2xdx移項后，有 3xcos2xdx=113e3x(3cos2x+2sin2x)+c2 結(jié)語分部積分公式作為求解不定積分問題的一種重要方法，尤其在學習分部積分公式的初期，高職層次的學生對公式中u及dv 的選取感覺很不好掌握，不同類型的問題選不同的函數(shù)為u及dv ，同一類函數(shù)在此問題中選作u ，而在另一問題中又被選為dv ，因而對公式的應(yīng)用產(chǎn)生困惑、混亂和畏懼，影響學習效果。本研究闡述了只需按先后順序選取對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類函數(shù)之一為u，同時保證v=dv 容易求得即可簡潔順暢的應(yīng)用分部積分公式求解不定積分。此解題思路更容易被學生理解和掌握，從而把困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題加以解決，對學生的學習有很大幫助。另外，隨著學習的深入和問題的綜合程度的提高，還有其他類型的需綜合應(yīng)用多種方法(包括分部積分法)求解的問題，