1、第六章短期聚合風險模型.知識要點 1、 短期聚合風險模型 對于 ,其中N表示保險期內一切承保保單發生索賠的次數隨機變量，Xi 表示第I次發生理賠時的理賠額隨機變量，S為保險期內的理賠總額隨機變量。 Xi 對不同的i是獨立同分布的，N 與各Xi是獨立的。稱此模型為短期聚合風險模型。 2、 理賠次數和理賠額的分布 1 泊松分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數： 2 負二項分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數。 負二項分布可以看作是泊松分布的一種推行，假設泊松參數也是一個隨機變量，且有密度函數f(x)，由全概率公式有： .而：特別地，當的密度為 ，x 0時，N服從參數r = a ,p= /1

2、+ 的負二項分布。 3S的分布問題 假設S的分布函數和密度函數分別為Fx和f(x),那么：. 除用卷積方法之外，還可以用矩母函數法及逆轉公式來求S的分布，由矩母函數的定義有：其中X是與各Xi 同分布的隨機變量。 也就是說，假設知道Xi 和N的矩母函數，就可計算出S的矩母函數，.而 4、復合泊松分布 在聚合風險 中，當N服從泊松分布時，S的分布就稱為復合泊松分布。這樣：ES=EXEN= EX其中 為泊松參數。. 關于復合泊松分布有如下的幾個定理和規律： 1假設S1，S2， ，Sm是相互獨立的隨機變量，且Si服從參數為i 的復合泊松分布，理賠額的分布為Pi(x),i=1,2,m,那么 服從參數為

3、的復合泊松分布，且個別理賠額分布為： 2對于一個復合泊松分布隨機 ，可以分解為： 個別理賠額的分布列為：Xx1 x2 xmPp1 p2 pm.那么N1，N2，Nm相互獨立且Ni服從參數為 i= pi的泊松分布，其中 為S的泊松參數。 對于此定理，假設xi僅取正整數值，那么理賠總額S的密度函數為： 對于此定理，還有更普遍的推行，也就是說在聚合風險模型中，假設理賠額只取正整數，理賠次數N的分布滿足： (n=1,2,) 3在復合泊松分布中，假設保險標的損失隨機變量為X，保險合同有一個免賠額d，即 ，Xd , X d是其真正的理賠額隨機變量，泊松參數為 ，那么帶免賠的理賠總額S仍是復合泊松分布，泊松參

4、數變為 Px d),個別理賠額的分布密度函數為：. 5、聚合理賠量的近似模型 1正態近似 定理 假設S是復合泊松分布，泊松參數為 ，個別理賠額的數學期望 與方差 2有界，那么： 定理 假設S服從復合負二項分布，參數為r,p,個別理賠額隨機變量的數學期望與方差分別為有界的 與2 ，那么：. 2平移伽馬近似 定義 其中，gx為 (,) 分布的概率密度函數，hx為相應的平移x0個單位的平移伽馬分布的概率密度函數。 由定義知平移伽馬分布有三個參數x0， ,，假設能定出這三個參數，這個分布也就知。求解下面的方程組可處理這一問題：.重點及難點解析 本章的重點內容是復合泊松分布，包括當個別理賠額是正整數時的

5、復合泊松分布，另外，理賠總額S分布的正態近似及平移伽馬近似也是本章的重點內容。 當然，對重點內容可以進展引申，譬如當索賠次數分布為負二項分布、幾何分布、超幾何分布、二項分布等；更簡單的還有二點分布，這時聚合風險模型與個別風險模型有相通之處。當然，個別索賠額的分布方式更加多樣，特別是當個別索賠額隨機變量的取值僅為正整數值時，是本章的難點。 下面看幾個例子，以便讓讀者有一些感性認識。 例1 一組一年期的定期壽險組合，每份保單的保險金額都一樣為B個單位元，索賠次數N服從泊松分布，參數為 ，以下陳說中哪一項為哪一項不正確的？ A、E ( S )=E ( N )B= B B、Var ( S )= Var

6、 ( N )B2 C、S的能夠取值為0，B，2B， D、E ( X )=B , Var( X )= B2 E、P(S Bx)=P(N x).解 由聚合風險模型有： E ( S )=E ( N )EX= B所以 A正確。 Var ( S )= E2XVar ( N )+EN Var ( X)= B2 所以 B正確。 由于每次理賠額均為常數B，所以在保險期內索賠總額僅取B的倍數，所以C正確。 依題意有：PX=B=1 所以 EX=BM，Var(X)=0 所以 D錯誤。由于 S=BN所以 PS BX=PBN BX=PN X所以 E正確。所以選 D。 例2 保險人承保了保險金額為1萬元的一年定期不測險保

7、險單1000份，假設投保人出險的概率是獨立的，每個被保險人索賠的概率為0.0002，求索賠總額超越12000元的概率。.以上兩道例題有類似之處，理賠額均為常數，這樣索賠總額S的ES為：. 例3 設Si，i=1，2，n ,是一系列相互獨立的且具有一樣分布的復合負二項分布，負二項分布的參數分別為K和P，個別索賠額的密度函數為(x),令： ，下面有關S的陳說哪一項是錯誤的？ A、S仍是復合負二項分布 B、S的個體索賠額的密度函數仍為(x) C、復合負二項分布具有可加性.所以 S的分布仍是復合負二項分布，參數為nk和P，個別索賠額的密度函數仍為(x)，因此A、B、D正確。. 但是，上述結果并不意味著復

8、合負二項分布與復合泊松分布具有一樣的可加性。假設Si不獨立同分布，S的矩母函數為： 也就是說，假設負二項分布參數qi不一樣，即使K、MXt對每個Si都一樣，復合負二項分布也沒有可加性，但是P和MXt對每個Si 都一樣，K參數對每個Si 具有不同的ki時，復合負二項分布是具有可加性的。由于. 所以，綜合以上分析，此題的答案應選C。 例4 保險人提供具有如下情形的三種保險： 對于每一個保險標的，方差和期望的索賠金額是相等的，對于每一類型的保單，保費是按1+ 倍的期望值收取，求 ，使總索賠額超越總保費的概率為0.05。 A. 0.09 B. 0.1 C. 0.11 D.0.12 E.0.13解 期望

9、的總索賠額是：種類保單數索賠概率期望索賠金額12350010005000.050.100.155105. 總索賠額的方差是：. 這道題可用個別風險模型處理，兩種方法難度相當；由于保單數量較多，正態分布近似總是不錯的選擇。 例5 具有正整數個別索賠額的復合泊松分布的總索賠額隨機變量的概率密度函數如下： 知索賠總額的數學期望為1.68，求期望的索賠次數。 A. 0.60 B. 0.70 C. 0.80 D. 0.90 E.1.0. 例6 S是具有以下特征的復合泊松分布； 個別索賠額為1，2或3； ES=56；VarS=126； =29。決議索賠額為2時的期望索賠次數是多少？ A.10 B.11 C

10、.12 D.13 E.15. 此例和上例也有類似之處，對于復合泊松分布、 泊松參數、個別索賠的正整數值及對應的概率值，這兩個量知，一切未知的量即可求出；或知道其他的一些量就可求出另外一些量，但此題也可推行到其他一些情況，譬如索賠次數分布改為負二項分布或二點分布時， 知改為負二項分布的參數k與p知或二項分布的參數n與p知，再計算此題。此方面的詳細標題參見本章思索題。 由于復合分布的重要性，再看如下的例子： 例7 對于泊松參數為6的復合泊松分布，個別索賠額的分布為 ,另外，還知索賠總額的一些如下概率值：x1 2 4P1/3 1/3 1/3S34567P0.01320.02150.0271P(6)0

11、.0410.求P6 A.0.031 B.0.066 C.0.039 D.0.0365 E.0.0345. 當然此題也可在沒有P3、P4、P5、P7的值時算出，不過那要算出P0、P1、P2、P3 P4、P5的值才干求P6的值。當然這種計算讀者會感到很無聊，假設給出一些特殊的值，此題便立刻具有了靈性。 例8 設復合分布 ，其中Xi相互獨立且N與 Xi 獨立，問下面選項哪一項為哪一項正確的？ 假設個別索賠額P(x)=e-x,x 0,那么Var(S)=E(N2) ； 假設Var(N)=EN，那么Var(S)=P2EN； E(S2) = EN E(X2) +P12 E(N2) A、僅正確 B、僅正確 C

12、、僅正確 D、 正確 E 、都不對 . 例9 對復合負二項分布，參數r=1，p=1/3，個別索賠額服從參數為 的指數分布，知Ms1，0=3，求 。 A.4.9 B.5.0 C.3.5 D.4.0 E.4.5. 例10 沒有再保險時的總索賠分布為復合泊松分布,假設用平移伽馬分布來近似,那么平移伽馬分布的參數為( =2.0, =5,x0=40).假設有50 的比例再保險,也用平移伽馬分布來近似,求有再保險時的平移伽馬分布的有關參數. A.x0 = 20, = 20, = 10 B. x0 = 40, = 40, = 20 C. x0 = 20, = 20, = 20 D. x0 = 10, = 1

13、0, = 10 E. x0 = 20, = 20, = 30解 依題在沒有再保險時有:. 在有50 的比例再保險時,泊松參數 不會發生改動,個別索賠額會變為原來的1/2,再保后有: 解得: x0R=20,aR=20, R=10 ,其中 x0R,aR,R 為有再保險時的平移伽馬分布參數,所以此題答案為A. 例11 某保險人承保了一醫療保險,其中包括住院費和其他費用,個別賠付的特征如下:. 另外,住院費用和其他賠付金額的協方差為100 000.保險人對住院破費全部保險,對其他破費保險了損失的80 ,索賠次數服從參數為4的泊松分布,求保險人賠付總額的方差. A.9710 400 B.10500 C.9720400 D.1020 400 E.9920 400種類平均值標準差住院其他1000500500300. 這是一道沒有全額賠付的例題,這有點像再保險情況下的一些數字特征或分布函數的有關計算,這種例子在實務中的運用非常普遍,下面再看一道類似的例題,望讀者能歸納出這類題的解題方案. 例12 保險公司承保的風險服從泊松參數為100的復合泊松分布.個體索賠額服從均值為500的指數分布,該保險人進展了比例再保險,自留額為80 ,求在這種情況下保險人和