1、專題09 三角函數1.【2021全國高考真題】若，則( )A.B.C.D.【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果.【詳解】將式子進行齊次化處理得：.故選：C.【點評】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.2.【2021全國高考真題】下列區(qū)間中，函數單調遞增的區(qū)間是( )A.B.C.D.【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區(qū)間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，則，A選項滿足條件，B不滿

2、足條件；取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，且，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點評】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數.3.【2021北京高考真題】函數，試判斷函數的奇偶性及最大值( )A.奇函數，最大值為2B.偶函數，最大值為2C.奇函數，最大值為D.偶函數，最大值為【答案】D【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.【詳解】由題意，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：D.4.【2021浙江高考真題】已知是互不相

3、同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個數的最大值為2，故選：C.法2：不妨設，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個數的最大值為2，故選：C.【點評】思路分析：代數式的大小問題，可根據代數式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據三角變換的公式特征選擇放縮的方向.5.【2021全國高考真題(理)】把函數圖像上所有點的橫坐

4、標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則( )A.B.C.D.【答案】B【分析】解法一：從函數的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數出發(fā)，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，根據已知得到了函數的圖象，所以，令，則，所以，所以；解法二：由已知的函數逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不

5、變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.【點評】本題考查三角函數的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，關鍵是要注意每一步變換，對應的解析式中都是的變換，圖象向左平移個單位，對應替換成，圖象向右平移a個單位，對應x替換成，牢記“左加右減”口訣；圖象上每個點的橫坐標伸長或縮短到原來的k倍，對應解析式中替換成.6.【2021全國高考真題】已知為坐標原點，點，則( )A.B.C.D.【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐標，應用向量數量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B

6、：，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯誤；故選：AC.7.【2020年高考全國卷理數】設函數在，的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為A. B.C.D.【答案】C【解析】由圖可得：函數圖象過點，將它代入函數可得：，又是函數圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得.所以函數最小正周期為故選C.【點評】本題主要考查了三角函數的性質及轉化能力，還考查了三角函數周期公式，屬于中檔題.8.【2020年高考全國卷理數】已知，且，則A.B.C.D.【答案】A【解析】，得，即，解得或(舍去)，又.故選：A.【點評】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數關系求

7、值，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.9.【2020年高考全國卷理數】若為第四象限角，則A.cos20B.cos20D.sin20【答案】D【解析】方法一：由為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以，故選：D.方法二：當時，選項B錯誤；當時，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點評】本題主要考查三角函數的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數值等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10.【2020年高考全國卷理數】已知2tantan(+)=7，則tan=A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】，令，則，

8、整理得，解得，即.故選：D.【點評】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.11.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首個國際圓周率日( Day).歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數學中的“割圓術”相似.數學家阿爾卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形(各邊均與圓相切的正邊形)的周長，將它們的算術平均數作為的近似值.按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達式是A. B. C. D. 【答案】A【解析】單位圓內接正邊形的每條邊所對應的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，則

9、.故選：A.【點評】本題考查圓周率的近似值的計算，根據題意計算出單位圓內接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.12.【2020年新高考全國卷】下圖是函數y= sin(x+)的部分圖像，則sin(x+)= A. B. C. D.【答案】BC【解析】由函數圖像可知：，則，所以不選A，當時，解得：，即函數的解析式為：.而故選：BC.【點評】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令x00(或x0)，即

10、可求出.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出和，若對A，的符號或對的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.13.【2019年高考全國卷理數】函數f(x)=在的圖像大致為A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得是奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A.又，排除B，C，故選D.【名師點睛】本題考查函數的性質與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數學運算素養(yǎng)，采取性質法或賦值法，利用數形結合思想解題.解答本題時，先判斷函數的奇偶性，得是奇函數，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案.14.【2019年高考全國卷理數】關于函數有下述四個結

11、論：f(x)是偶函數f(x)在區(qū)間(，)單調遞增f(x)在有4個零點f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是A. B.C.D.【答案】C【解析】為偶函數，故正確.當時，它在區(qū)間單調遞減，故錯誤.當時，它有兩個零點：；當時，它有一個零點：，故在有個零點：，故錯誤.當時，；當時，又為偶函數，的最大值為，故正確.綜上所述，正確，故選C.【名師點睛】本題也可畫出函數的圖象(如下圖)，由圖象可得正確.15.【2019年高考全國卷理數】下列函數中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【答案】

12、A【解析】作出因為的圖象如下圖1，知其不是周期函數，排除D；因為，周期為，排除C；作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調遞增，A正確；作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調遞減，排除B，故選A.圖1圖2圖3【名師點睛】本題主要考查三角函數的圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養(yǎng)，畫出各函數圖象，即可作出選擇.本題也可利用二級結論：函數的周期是函數周期的一半；不是周期函數.16.【2019年高考全國卷理數】已知(0，)，2sin2=cos2+1，則sin=A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，又，故選B.【名師點睛】本題是對三角函數中二倍角公式、同角三

13、角函數基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數問題，研究角的范圍后得出三角函數值的正負很關鍵，切記不能憑感覺.解答本題時，先利用二倍角公式得到正余弦關系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案.17.【2019年高考全國卷理數】設函數=sin()(0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：在()有且僅有3個極大值點在()有且僅有2個極小值點在()單調遞增的取值范圍是)其中所有正確結論的編號是A.B.C.D.【答案】D【解析】若在上有5個零點，可畫出大致圖象，由圖1可知，在有且僅有3個極大值點.故正確；由圖1、2可知，在有且僅有2個或3

14、個極小值點.故錯誤；當=sin()=0時，=k(kZ)，所以，因為在上有5個零點，所以當k=5時，當k=6時，解得，故正確.函數=sin()的增區(qū)間為：，.取k=0，當時，單調遞增區(qū)間為，當時，單調遞增區(qū)間為，綜上可得，在單調遞增.故正確.所以結論正確的有.故本題正確答案為D.【名師點睛】本題為三角函數與零點結合問題，難度大，可數形結合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查數形結合思想.注意本題中極小值點個數是動態(tài)的，易錯，正確性考查需認真計算，易出錯.18.【2019年高考天津卷理數】已知函數是奇函數，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數為.若的最小正

15、周期為，且，則A.B.C.D.【答案】C【解析】為奇函數，；又，又，故選C.【名師點睛】本題主要考查函數的性質和函數的求值問題，解題關鍵是求出函數，再根據函數性質逐步得出的值即可.19.【2021北京高考真題】若點與點關于軸對稱，寫出一個符合題意的_.【答案】(滿足即可)【分析】根據在單位圓上，可得關于軸對稱，得出求解.【詳解】與關于軸對稱，即關于軸對稱， ，則，當時，可取的一個值為.故答案為：(滿足即可).20.【2021全國高考真題(理)】已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為_.【答案】2【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數或驗

16、證數值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2.方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2.故答案為：2.【點評】關鍵點睛：根據圖象求解函數的解析式是本題求解的關鍵，根據周期求解，根據特殊點求解.21.【2020年高考全國III卷理數】16.關于函數f(x)=有如下四個命題：f(x)的圖像關于y軸對稱.f(x)的圖像關于原點對稱.f(x)的圖像關于直線x=對稱.f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是_.【答案】【解析】對于

17、命題，則，所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題錯誤；對于命題，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，所以，函數的圖象關于原點對稱，命題正確；對于命題，則，所以，函數的圖象關于直線對稱，命題正確；對于命題，當時，則，命題錯誤.故答案為：.【點評】本題考查正弦型函數的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.22.【2020年高考江蘇】已知=，則的值是 .【答案】【解析】故答案為：【點評】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.23.【2020年高考北京】若函數的最大值為2，則常數的一個取值為_.【答案】(均可)【解析】因為，所以，解得，故可取.

18、故答案為：(均可).【點評】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應用，以及平方關系的應用，考查學生的數學運算能力，屬于基礎題.24.【2020年高考浙江】已知，則_，_.【答案】；【解析】，故答案為：【點評】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.25.【2020年高考江蘇】將函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是 .【答案】【解析】當時.故答案為：【點評】本題考查三角函數圖象變換、正弦函數對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎題.26.【2020年新高考全國卷】某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCDG，垂足為C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積