1、PAGE 3PAGE 35第3章 靜態電磁場及其邊值問題的解3.1 基本內容概述靜態電磁場包括靜電場、恒定電場和恒定磁場。本章分別討論了它們的基本方程和邊界條件，位函數，能量和力，電容、電阻和電感，最后介紹靜態場邊值問題的幾種解法（鏡像法、分離變量法和有限差分法）。3.1.1靜電場1.基本方程和邊界條件基本方程的微分形式基本方程的積分形式邊界條件 或 （3.5） 或 （3.6）2.電位函數（1）電位函數及其微分方程根據電場的無旋性（），引入電位函數，使 （3.7）電位函數與電場強度E的積分關系是 （3.8）在均勻、線性和各向同性電介質中，已知電荷分布求解位函數點電荷 （3.9）體密度分布電荷

2、（3.10）面密度分布電荷 （3.11）線密度分布電荷 （3.12）在均勻、線性和各向同性電介質中，電位函數滿足泊松方程 （3.13）或拉普拉斯方程（時） （3.14）（2）電位的邊界條件 （3.15a） （3.15b）3. 電場能量和電場力（1）能量及能量密度分布電荷的電場能量 （3.16）多導體系統電場能量 （3.17）能量密度為 （3.18）（2）電場力用虛位移法求電場力 （3.19a） （3.19b）4.電容及部分電容在線性和各向同性電介質中，兩導體間的電容為 多導體系統，每個導體的電位不僅與本身所帶的帶有關，還與其它導體所帶電荷有關。為表征這種關聯性，引入部分電容的概念，分為自有部分

3、電容和互有部分電容。3.1.2 恒定電場1.基本方程和邊界條件基本方程的微分形式 基本方程的積分形式邊界條件： 或 （3.22a） 或 （3.22b）用電位表示為 （3.23a） （3.23b）2.靜電比擬法均勻導電媒質中的恒定電場（電源外部區域）與均勻電介質中的靜電場（的區域）可以相互比擬。根據這種可比擬性，可以利用已經得到的靜電場的解來比擬地得到對應的恒定電場的解。3.電導導電媒質中兩電極間的電導為 3.1.3 恒定磁場1.基本方程和邊界條件基本方程微分形式積分形式邊界條件 或 （3.26a） 或 （3.26b）2.矢量磁位（1）矢量磁位及其微分方程根據恒定磁場的無源性（），引入矢量磁位A

4、，使得 （3.27）在均勻、線性和各向同性磁介質中，已知電流求解矢量磁位體分布電流 （3.28）面分布電流 （3.29） 線電流 （3.30）在均勻、線性和各向同性磁介質中，矢量磁位滿足泊松方程 （3.31）或拉普拉斯方程（時） （3.32）（2）矢量磁位的邊界條件 （3.33a） （3.33b）3.標量磁位在沒有傳導電流的區域（）由于，可引入標量磁位，使得 （3.34）在均勻、線性和各向同性磁介質中，標量磁位滿足拉普拉斯方程 （3.35）在兩種磁介質的分界面上，標量磁位的邊界條件是 （3.36a） （3.36b）4.磁場能量和磁場力（1）能量和能量密度多個電流回路的能量 （3.37）分布電流

5、的能量 （3.38）能量密度 （3.39）（2）磁場力用虛位移法求磁場力 （3.40a） （3.40b）5.電感回路的自感 （3.41）回路的互感 ， （3.42）紐曼公式 （3.43）3.1.4 邊值問題及其解的惟一性1.邊值問題的類型第一類邊值問題：已知位函數在場域邊界上的值。第二類邊值問題：已知位函數在場域邊界上的法向導數。第三類邊值問題：已知在部分場域邊界上的位函數值和另一部分場域邊界上的位函數法向導數。2 .惟一性定理在場域V的邊界面S上給定位函數或的值，則位函數的泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內有惟一解。3.1.5 鏡像法1.點電荷（或線電荷）對無限大接地導體平面的鏡像法 ， （3

6、.44）2.點電荷對導體球面的鏡像法（1）導體球接地 （3.45）（2）導體球不接地 （3.46）3.線電荷對接地導體圓柱面的鏡像法 （3.47）4.介質分界平面的鏡像法（1）點電荷對電介質分界平面的鏡像 （場點在介質1內） （3.48a） （場點在介質2內） （3.48b）（2）線電流對磁介質分界平面的鏡像 （3.49a） （3.49b）3.1.6 分離變量法1.直角坐標系中的分離變量法位函數滿足拉普拉斯方程方程的通解 （3.50a）或 （3.50b）2.圓柱坐標系中的分離變量法位函數滿足拉普拉斯方程方程的通解 （3.51）3.球面坐標系中的分離變量法位函數滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3

7、.52）3.1.7 有限差分法有限差分法的基本思想是將場域劃分成網格，把求解場域內連續的場分布，用求解網格節點上離散的數值解來代替，即用網格節點的差分方程近似替代場域內的偏微分方程來求解。采用正方形網格劃分時，二維拉普拉斯方程的差分格式為 （3.53）3.2 教學基本要求及重點、難點討論3.2.1 教學基本要求掌握靜電場的基本方程和邊界條件，掌握靜電場中的電位函數及其微分方程，掌握電位的邊界條件；理解電場能量和能量密度的概念，會計算一些典型場的能量，會計算典型雙導體的電容。掌握恒定電場的基本方程和邊界條件，了解靜電比擬法，會計算典型導體的電阻。掌握恒定磁場的基本方程和邊界條件，理解矢量磁位及其

8、微分方程，了解標量磁位的概念。理解磁場能量和能量密度，會計算一些典型場的磁場能量，會計算典型回路的電感。理解靜電場的惟一性定理及其重要意義。掌握鏡像法的基本原理，會用鏡像法求解一些典型問題。了解分離變量法的基本思想和解題步驟，能夠用分離變量法求解直角坐標系中的一些簡單的二維問題。3.2.2 重點、難點討論1.靜電場的基本方程靜電場的基本方程揭示了靜電場的基本性質，是分析計算靜電場問題的基礎。（1）靜電場的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。積分形式的基本方程描述某個區域內靜電場的整體性質，例如表示穿過任一閉合面S的電位移矢量D的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的總量，與束縛電荷無關。微分形式的

9、基本方程描述場中每一點的性質例如表明場中某點D的散度等于該點的自由體電荷密度。（2）高斯定律及其微分形式表明靜電場是有源場（有通量源），電荷是產生靜電場的源；電力線從正電荷出發，終止于負電荷。環路定理及其微分形式表明靜電場是無旋場（無旋渦源），是保守場。（3）在不同媒質的邊界面上，場矢量E和D一般是不連續的，和失去意義。所以，微分形式的基本方程在邊界面上不再適用，而積分形式的基本方程仍然適用。2.電位電位是靜電場中的一個重要概念。在課程教學中，應注意以下幾點：（1）電位的定義雖然是從靜電場的無旋性引入的，但它有明確的物理意義，它表示在電場中，將單位正電荷從P點移動到參考點Q時電場力所作的功。表

10、示為（2）點電荷的電位計算公式為我們提供了對任何所要計算的場點r處電位的一種方法。對于點電荷系，利用公式（3.9）求得所有點電荷在場點r處產生的電位，再由求得電場矢量E。顯然比直接計算各點電荷的電場矢量之和要容易些，這也是引入電位的優越性之一。如果源電荷是連續分布的，則可以利用公式（3.10）、（3.11）和（3.12）來計算電位。（3）計算電位的公式（3.9）（3.12）中保留了一定程度的不確定性。也就是說，電位總是包含有一個任意的附加常數，且可以對該常數任意賦值，而不會改變原問題的基本性質。因為與有相同的結果。（4）電位是一個相對量，在電場一定的情況下，空間各點的電位值，與參考點的選擇密切

11、相關。如何選擇電位參考點？一般應考慮到以下幾點：首先，電位參考點的選擇有一定的任意性。因此可以選擇適當的參考點，使電位表示式具有最簡單的形式。例如，點電荷的電位，若選無限遠處為參考點，則得；若選距離點電荷處為參考點，表達式則為。通常就是選擇無限遠處為電位參考點。其次，電位參考點的選擇不是完全不受限制的。為了能應用電位來描述電場各點的特性，在選擇參考點后，場中各點的電位應有確定的值。具體來說有以下四種限制：一是不能選擇點電荷所在點為電位參考點，否則會使場中各點電位為無窮大，這是沒有意義的。二是只有當電荷分布在有限區域時，才可以選擇無限遠處為電位參考點。三是對一些具有軸對稱性的問題通常也不能選擇無

12、限遠處為電位參考點，而是選擇半徑的圓柱面作為電位參考點。例如，對于同軸線問題可選擇外導體作為電位參考點。四是同一問題只能選定一個電位參考點。在實際的電位測量中，通常選擇“地”作為電位參考點。（5）在靜電場中，電位相等的點組成的面稱為等位面。一旦求得電位函數，就可得出等位面，這樣就可應用等位面族形象地描述靜電場。例如，點電荷產生的電場的等位面，是一個以點電荷所在點為中心的同心球面族。（以無限遠處為電位參考點）。（6）利用公式（3.10）、（3.11）或（3.12）計算電位，有時是困難的。我們可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程來得到電位解。3.靜電場能量靜電場的基本特性表現為它對靜止電荷有作用力，

13、說明靜電場有能量。對于常用的靜電場能量的幾種表示式應注意以下幾點：（1）表示點電荷系的互有能，式中的是除外的其余點電荷在處產生的電位，這個互有能也是該點電荷系的總靜電能。（2）表示連續分布電荷系統的靜電能量計算公式，雖然只有電荷密度不為零的區域才對積分有貢獻，但不能認為靜電場能量只儲存在有電荷區域。此公式只能應用于靜電場。（3）表示靜電場能量儲存在整個電場區域中，所有的區域都對積分有貢獻，稱為電場能量密度。公式既適用于靜電場，也適用于時變電磁場。4.靜電場問題的求解靜電場問題可分為兩大類：分布型問題和邊值型問題。已知電荷分布，求場分布，或已知電場分布，求電荷分布，這屬于分布型問題。求解的方法有

14、：（1）直接利用電場強度的計算公式（2.11）（2.14），由已知的電荷分布求出電場強度。當然，只有對一些電荷分布較簡單的情況，這種方法才易于進行。（2）直接利用電位函數的計算公式（3.9）（3.12），由已知的電荷分布求得電位，再由求得電場求得E。（3）應用高斯定理求解對稱分布的電場。當電場分布具有某種空間對稱性（譬如平面對稱、軸對稱、球對稱等）時，就可找到一個高斯面，使該面上的電場等于常數，這樣就很便捷地求得場分布。對于一些非對稱分布的場，有時可將其劃分為若干個對稱場分別利用高斯定理求解，然后再疊加。ab圖3.1ab圖3.2當存在兩種不同介質的分界面時，有兩種情況也適合用高斯定律求解。第一

15、種是在介質分界面上，電場強度E只有法向分量，這時電位移矢量D呈對稱分布，就可直接利用求得D，再由求得E。例如，圖3.1所示的半徑分別為a和b的同心球殼之間有兩層介質，此時D具有球對稱性，可直接利用據已知電荷分布求得D。第二種是在介質分界面上，E只有切向分量。根據電場邊界條件應有，但，即E呈對稱分布。此時，利用，將變為即可求得E。例如，圖3.2所示的同心球殼之間，兩種介質分別填充了一半的空間，此時有，即E呈球對稱分布，應用上述轉換即可求得E。（4）已知電場或電位分布，求電荷分布，可利用或求得體電荷密度；利用求得極化電荷體密度。利用邊界條件求得導體表面的自由電荷面密度或介質表面的極化電荷面密度。根

16、據給定的邊界條件求解空間任一點的電位，這就是邊值問題。求解邊值型問題的方法有：直接積分法對于一維的拉普拉斯方程或泊松方程進行直接積分，根據已知邊界條件確定積分常數。分離變量法求解二維、三維的的經典方法。鏡像法一種間接求解法。有限差分法、有限元法、矩量法、邊界元法等這一類屬于數值法。5.靜電比擬電荷的流動形成電流。在多數情況下，電荷流動是由于空間存在電場，該電場對電荷的作用力引起電荷的宏觀運動。當電荷流動不隨時間變化時，稱為恒定電流，對應的電場稱為恒定電場。欲在導體中形成恒定電流，必須在導體兩端施加恒定電源。當我們將研究的范圍限于電源外部的導體中時，恒定電場也是保守場，可用電位梯度來表示。根據惟

17、一性定理，均勻導電媒質中的恒定電場（電源外部）與均勻電介質中的靜電場（的區域）在滿足一定條件時是可以相互比擬的。有兩方面的應用：其一，恒定電場問題可轉化為相應的靜電場問題求解，或直接利用靜電場問題的結果，比擬地得出對應的恒定電場的解。其二，靜電場問題可通過相應的恒定電流場模型來進行實驗研究。這是因為恒定電流場模型更易于建立和便于測量。6.恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程揭示了恒定磁場的基本性質，是分析計算恒定磁場問題的基礎。（1）恒定磁場的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。磁通連續性原理及其微分形式表明恒定磁場是無源場（無通量源），磁感應線是無頭無尾的閉合線。安培環路定理及其微分形式表

18、明恒定磁場是有旋場（有漩渦源），恒定電流是產生恒定磁場的漩渦源。（2）恒定磁場基本方程適用于任何磁介質。對于線性和各向同性磁介質，有關系式。7.矢量磁位矢量磁位是為了簡化恒定磁場分析而引入的一個輔助矢量，沒有明確的物理意義。其定義的依據是恒定磁場的無源性（）矢量恒等式表明任何矢量場的旋度的散度恒等于零。因此，我們選擇式中的A就稱為矢量磁位，它自然滿足磁感應強度B的散度等于零的基本方程，故A的定義具有普遍意義，即任何恒定磁場都可以用A矢量表示。（1）只規定了A的旋度，為惟一地確定A還必須規定A的散度。在恒定磁場分析中，規定，這樣就將A的微分方程最大限度地簡化為泊松方程。（2）在直角坐標系中，矢量

19、拉普拉斯運算可以展開為三個分量的標量拉普拉斯運算的矢量和，即上式右邊的是標量拉普拉斯算符。但在其它坐標系中不存在這樣比較簡單的結果，在圓柱坐標系中僅只對z分量才有（3）由電流源分布求矢量磁位的直接積分公式是（3.28）（3.30），從這些公式可看出，電流元的矢量磁位都是與電流元平行的矢量。顯然，通過矢量磁位A來求磁感應強度B，比直接求B來得簡單，特別是在適當選擇的坐標系下，A只有一個分量，而B卻不只一個分量。（4）矢量磁位的微分方程與靜電位的泊松方程在形式上是相似的,但求解方程要復雜得多。對一些特殊的電流分布，則可將A滿足的泊松方程化為標量方程。例如，電流沿z軸方向流動，即，若求解場域的界面是

20、與z軸平行的柱面，則A也只有z方向的分量，且與z變量無關，即，則方程化為標量泊松方程。（5）磁通也可以通過矢量磁位A來計算。即穿過曲面S的磁通量等于A沿次曲面的周界的閉合線積分。通常，由A計算磁通量比由B計算要簡單。8.恒定磁場問題的求解求解恒定磁場問題的思路與求解靜電場問題有相同或相似之處。（1）用直接積分法求解對由已知的源電流分布，求磁場分布問題，可以利用公式（2.20）（2.22）進行直接積分求得磁感應強度B，還可以利用公式（3.28）（3.30）直接積分求得矢量磁位A，再由求得磁感應強度B。（2）應用安培環路定律求解磁場正像在靜電場問題中應用高斯定律求解那樣，如果問題具有足夠的對稱性，

21、我們就可以利用安培環路定律來求得磁場分布。關鍵的問題是選擇合適的閉合積分路徑，所尋求的積分路徑應該是H在其上具有恒定大小的曲線，以及H平行于（或垂直于）積分路徑的橫切方向的切線。例如，無限長直線電流的磁場、無限大平面電流層的磁場、均勻密繞環行線圈的磁場等，都可應用安培環路定律求磁場。（3）求解A的泊松方程或拉普拉斯方程；或求解標量磁位滿足的拉普拉斯方程。（4）應用磁場的鏡像法。9.鏡像法鏡像法是一種電場問題（也可用于磁場問題）的間接求解法。（1）鏡像法的基本思想是用位于場域邊界外虛設的較為簡單的鏡像電荷來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將分界面移去，這樣就

22、把原來有分界面的非均勻媒質空間變換成無界的單一媒質空間來求解。（2）鏡像法的理論依據是靜電場解的惟一性定理。在保持導體形狀、尺寸、帶電狀態，以及媒質特性不變的情況下，滿足泊松方程（或拉普拉斯方程）和邊界條件的解是惟一的。鏡像法巧妙地應用這一原理，針對多種典型的電磁場問題，把復雜問題簡單化，形成了一套有效的解法。（3）應用鏡像法的兩個要點：一是正確找出鏡像電荷的個數、位置以及電荷量的大小和符號，以滿足邊界條件不變為其準則。二是注意保持待求解的場域（稱為有效區）內的電荷分布不變，即鏡像電荷必須置于有效區之外。（4）用鏡像法解題時的幾個注意點： 如果邊界面不是單一的平面、球面或圓柱面，而是它們的組合

23、邊界面，此時設置一個鏡像電荷就不可能滿足邊界條件而必須再設置鏡像電荷的鏡像。譬如下面幾個典型例子：圖3.3所示的在無限大接地導體平面上凸起一個半球面時的鏡像法，應該有三個鏡像電荷 ， ， dqxza圖3.3(a)dqzxa圖3.3(b) ， q圖3.4(b)圖3.4所示的兩無限大平行接地導體板之間有一點電荷q，用鏡像法求解兩板之間的場分布時，將構成一個連續鏡像電荷系列。由于鏡像電荷距有效區越來越遠，當所要求的解答精確度一定時，可以只取有限個數的鏡像電荷（譬如34個鏡像電荷）來得到近似解。dq圖3.4(a) 兩個半無限大導體平面相交構成的劈形區域，只有交角時，才能用鏡像法求解，此時的鏡像電荷數為

24、（）個。譬如，時，故有個鏡像電荷，如圖3.5所示。 若，則不能用鏡像法求解。因為此時為滿足邊界面上電位為零的邊界條件，所設置的鏡像電荷必將進入有效區，這是違背鏡像法的基本原理的。q圖3.5(b)q圖3.5(a)10.分離變量法分離變量法是求解邊值問題的一種經典法。在應用分離變量法求解邊值問題時，應注意以下幾點：（1）根據場域邊界的幾何特征，建立適合的坐標系。通常使坐標與場域邊界面相吻合，例如具有球面邊界的問題，應選擇球坐標系；具有圓柱面邊界的問題，應選擇圓柱坐標系。另外，對一些具有對稱性的問題，應結合對稱性來確定坐標軸的取向，盡可能減少電位函數的自變量個數，從而降低方程的維數，以簡化求解，例如

25、，對于在均勻外電場放入一個導體球的問題，應以球心為坐標原點，極軸沿外場方向建立球坐標系。又如，對于導體球附近有一個點電荷的問題，則應以球心為坐標原點，極軸沿球心和點電荷q的連線建立球坐標系。（2）正確寫出電位函數的通解。當所求場域內存在不同媒質時，應將場域沿媒質分界面劃分成幾個區域，分別建立各個區域位函數的拉普拉斯方程，并分別寫出其通解。（3）正確寫出邊界條件。這里的邊界條件通常包括：場域邊界面上的已知條件、不同媒質分界面上的邊界條件以及無界場域問題中的無限遠處的邊界條件。3.3 習題解答題3.1圖 3.1 長度為的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點的電位；（2

26、）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場，并用核對。解 （1）建立如題3.1圖所示坐標系。根據電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點的電位為（2）根據對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點的電場為故長為的線電荷在點的電場為由求，有可見得到的結果相同。3.2 一個點電荷位于點，另一點電荷位于點，求空間的零電位面。解 兩個點電荷和在空間產生的電位令，則有即 故得 此即零電位面方程，這是一個以點為球心、為半徑的球面。3.3 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內外的電位函數分別為 （1）求圓柱內、外的電場強度； （2）這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到時， 時， （

27、2）該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.4 已知的空間中沒有電荷，下列幾個函數中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 在電荷體密度的空間，電位函數應滿足拉普拉斯方程（1）故此函數不是空間中的電位的解；（2）故此函數是空間中可能的電位的解；（3） 故此函數不是空間中的電位的解；（4） 故此函數不是空間中的電位的解。3.5 一半徑為的介質球，介電常數為，其內均勻分布自由電荷，試證明該介質球中心點的電位為 解 根據高斯定理，得時， 即 ， 時， 故 ， 則得中心點的電位為 3.6 電場中一半徑為、介電常數為的介質球，已知球內、外的電位函數分別為

28、驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解 在球表面上 故有， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 介質球表面的束縛電荷密度為3.7 無限大導體平板分別置于x=0和x=d處，板間充滿電荷，其體電荷密度為，極板的電位分別為0和，如題3.7圖所示；求兩極板之間的電位和電場強度。解 兩導體板之間的電位滿足泊松方程，故得x題3.7圖解此方程，得在處，故在處，故得故3.8 試證明：同軸線單位長度的靜電儲能。式中為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強度為內外導體間的電壓為則同軸線單位長度的電容為則得同軸線單位長度的靜電儲能為3.9 有一半徑為、帶電量的導

29、體球，其球心位于介電常數分別為和的兩種介質的分界面上，該分界面為無限大平面。試求：（1）導體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場沿徑向分布，根據邊界條件，在兩種介質的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 所以 導體球的電位故導體球的電容（2） 總的靜電能量為3.10 兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入介電常數為的液體中，兩板間加電壓，試證明液面升高式中為液體的質量密度，g為重力加速度。解 設液面上金屬板的高度為，寬度為。如題3.10圖所示。當金屬板之間的液面升高為時，其電容為題3.10圖 金屬板間的靜電能量為液體受到豎直向上的靜電力為而液體所受重力與相平衡，即

30、故得到液面上升的高度3.11 同軸電纜的內導體半徑為，外導體內半徑為；內外導體之間填充兩層損耗介質，其介電常數分別為和，電導率分布為和，兩層介質的分界面為同軸圓柱面，分界面半徑為。當外加電壓為時，試求：（1）介質中的電流密度和電場強度分布；（2）同軸電纜單位長度的電容及漏電阻。解 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，得電流密度 介質中的電場 而故則得到兩種介質中的電流密度和電場強度分別為 （3）同軸電纜單位長度的漏電阻為由靜電比擬，可得同軸電纜單位長度的電容為3.12 在電導率為的無限大均勻電介質內，有兩個半徑分別為和的理想導體小球，兩球之間的距離為，試求兩個小導體球面間的電阻。解

31、此題可采用靜電比擬的方法求解。假設位于介電常數為的介質中的兩個小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，兩小球表面的電位為所以兩小導體球面間的電容為由靜電比擬，得到兩小導體球面間的電導為故兩個小導體球面間的電阻為3.13 在一塊厚度為的導電板上， 由兩個半徑分別為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.13圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；(3) 沿方向的兩電極的電阻。設導電板的電導率為。解 （1）設沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.13 圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設內外兩圓弧面電極之間的電流為，則故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設沿方向的兩電

32、極的電壓為，則有由于與無關，故得故得到沿方向的電阻為 3.14 有用圓柱坐標系表示的電流分布，試求矢量磁位和磁感應強度。解 由于電流只有分量，且僅為圓柱坐標的函數，故也只有分量，且僅為的函數，即 （） （）由此可解得式中可由和滿足的邊界條件確定： 時，為有限值，若令此有限值為零，故得 時，、即由此可解得 ，故 （） （） 空間的磁感應強度為 （） （） 3.15無限長直線電流垂直于磁導率分別為和的兩種磁介質的分界面，如題3.15圖所示。試求：（1）兩種磁介質中的磁感應強度和；（2）磁化電流分布。題3.15圖解 （1）由安培環路定理，可得故得 （2）磁介質的磁化強度則磁化電流體密度由看出，在處，

33、具有奇異性，所以在磁介質中處存在磁化線電流。以軸為中心、為半徑作一個圓形回路，由安培環路定理，有題3.16圖故得到在磁介質的表面上，磁化電流面密度為3.16 已知一個平面電流回路在真空中產生的磁場強度為，若此平面電流回路位于磁導率分別為和的兩種均勻磁介質的分界平面上，試求兩種磁介質中的磁場強度和。解 因為是平面電流回路，當其位于兩種均勻磁介質的分界平面上時，分界面上的磁場只有法向分量，根據邊界條件，故有。在磁介質分界面兩側，作一個尺寸為小矩形回路，如題3.16圖所示。根據安培環路定律，得 （1）式中的是與小矩形回路交鏈的電流。若平面電流回路兩側為真空，則有 （2）由于和是分界面上任意兩點，由式

34、（1）和（2）可得到即題3.17圖媒質媒質于是故3.17 證明：在不同磁介質分界面上，矢量磁位的切向分量是連續的。解 由得在磁介質分界面上任取一點，圍繞該點作一個跨越分界面的狹長矩形回路，其長為、寬為，且令如題3.17圖所示。故得由于為有限值，上式右端等于零，所以 因平行于分界面，故有 3.18 長直導線附近有一矩形回路，此回路與導線不共面，如題3.18圖所示。試證明：直導線與矩形回路間的互感是（a）（b）題3.18圖解 設長直導線中的電流為，則其產生的磁場為由題3.18圖可知，與矩形回路交鏈的磁通為式中故直導線與矩形回路間的互感為3. 19 同軸線的內導體是半徑為的圓柱，外導體是半徑為的薄圓

35、柱面，其厚度可忽略不計。內、外導體間填充有磁導率分別為和兩種不同的磁介質，如題3.19圖所示。設同軸線中通過的電流為，試求：（1）同軸線中單位長度所儲存的磁場能量；（2）單位長度的自感。解 同軸線的內外導體之間的磁場沿方向，在兩種磁介質的分界面上，磁場只有法向分量。根據邊界條件可知，兩種磁介質中的磁感應強度，但磁場強度。（1）利用安培環路定律，當時，有題3.19圖所以 在 區域內，有 即故 同軸線中單位長度儲存的磁場能量為 （2）由 ，得到單位長度的自感為 題3.20圖3.20 如題3.20圖所示的長螺旋管，單位長度密繞匝線圈，通過電流，鉄心的磁導率為、截面積為，求作用在它上面的磁場力。解 由

36、安培環路定理可得螺旋管內的磁場為設鐵心在磁場力的作用下有一位移，則螺旋管內改變的磁場能量為則作用在鉄心上的磁場力為可見，磁場力有將鐵心拉進螺旋管的趨勢。 題 3.21圖3.21 一個點電荷與無限大導體平面距離為，如果把它移到無窮遠處，需要作多少功？解 利用鏡像法求解。當點電荷移動到距離導體平面為的點時，其像電荷，位于點處，如題3.21圖所示。像電荷在點處產生的電場為所以將點電荷移到無窮遠處時，電場所作的功為外力所作的功為3.22 如題3.22圖所示，一個點電荷放在的接地導體角域內的點處。求：（1）所有鏡像電荷的位置和大小；（2）點處的電位。 題 3.22圖解 （1）這是一個多重鏡像的問題，共有

37、個像電荷，分布在以點電荷到角域頂點的距離為半徑的圓周上，并且關于導體平面對稱，如題3.22圖所示。（2）點處電位 3.23 一個電荷量為、質量為的小帶電體，放置在無限大導體平面下方，與平面相距為。欲使帶電小球受到的靜電力恰好與重力相平衡，電荷的值應為多少？（設，）。解 將小帶電體視為點電荷，導體平面上的感應電荷對的靜電力等于鏡像電荷對的作用力。根據鏡像法可知，鏡像電荷為，位于導體平面上方為處，則小帶電體受到的靜電力為令的大小與重力相等，即于是得到3.24 一個半徑為的導體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個點電荷。（1）求點電荷與導體球之間的靜電力；（2）證明：當與同號，且成立時，表現為

38、吸引力。 題 3.24圖解 用鏡像法求解，像電荷和的大小和位置分別為， ，如題3.24圖所示。導體球自身所帶的電荷則用位于球心的點電荷等效。故點電荷受到的靜電力為（2）當與同號，且表現為吸引力，即時，則應有題3.25圖由此可得出3.25 一半徑為的無限長金屬圓柱薄殼，平行于地面，其軸線與地面相距為。在圓柱薄殼內距軸線為處，平行放置一根電荷線密度為的長直細導線，其橫截面如題3.25圖所示。設圓柱殼與地面間的電壓為。求：金屬圓柱薄殼內外的電位分布。解 線電荷在金屬圓柱薄殼內表面引起的感應電荷，用鏡像電荷等效替代，如題3.25圖(a)所示，圖中，位于。圓柱薄殼內任一點的電位為題3.25圖(a)其中

39、因，故得 則求圓柱薄殼外任一點的電位時，地面對圓柱薄殼的影響可用鏡像圓柱等效替代，如題3.25圖(b)所示，圖中題3.25圖(b)則圓柱薄殼外的電位為已知圓柱薄殼的電位為，即時，故得則3.26 如題3.26圖所示，在的下半空間是介電常數為的介質，上半空間為空氣，距離介質平面距為處有一點電荷，求：（1）和的兩個半空間內的電位；（2）介質表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷。題 3.26圖題 3.26圖（a）)圖 2.13題 3.26圖（b）)解 （1）在點電荷的電場作用下，介質分界面上出現極化電荷，利用鏡像電荷替代介質分界面上的極化電荷。根據鏡像法可知，鏡像電荷分布為，位

40、于 ， 位于 如題3.26圖（）、（）所示。上半空間內的電位由點電荷和鏡像電荷共同產生，即下半空間內的電位由點電荷和鏡像電荷共同產生，即（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為介質表面的極化電荷總電量為題3.27圖3.27磁導率分別為和的兩種磁介質的分界面為無限大平面，在磁介質1中，有一個半徑為、載電流為的細導線圓環，與分界面平行且相距為，如題3.27圖所示。設，求細導線圓環所受到的磁場力。解 細導線圓環受到分界面上磁化電流作用力。根據磁場鏡像法，磁化電流的作用可用一個半徑為a，載電流為I的鏡像圓環等效替代，如題3.27圖(a)所示。鏡像圓環中的電流為由于，在細導線圓環處產生的磁場

41、為題3.27圖（a）與細導線圓環交鏈的磁通為相互作用能為由虛位移法，可得到細導線圓環受到的磁場力為3.28 平行雙線傳輸線的半徑為，相距為，在傳輸線下方處放置其相對磁導率為的鐵磁性平板，如題3.28圖所示。設且，試求此平行雙線傳輸線單位長度的外自感。題3.28圖解 用磁場鏡像法求解，無限大鐵磁物質表面的磁化電流的作用，可用一對平行的鏡像傳輸線來替代，如題3.28圖（a）所示，鏡像電流為 電流在平行傳輸線的單位長度上產生的外磁通為題3.28圖（a） 鏡像電流在平行傳輸線的單位長度上產生的外磁通為 式中的。平行傳輸線的單位長度上總的外磁通為 則得外自感為 3.29 如題3.29圖所示的導體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內的電位的解。解 根據題意，導體槽沿z方向為無限長，電位滿足二維拉普拉斯方程電位滿足的邊界條件為 題