1、2021-2022 學年北京二中八年級第一學期期中數學試卷注意事項： 1答題前，考生務必在試題卷、答題卡規定位置填寫本人準考證號、姓名等信息考 生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號非選擇題答案用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應位置書寫作答，在試題卷上答題無效作圖可先使用 2B 鉛筆畫出，確定后必須用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆描黑一、選擇題（共 10 小題）.第 24 屆冬季奧林匹克運動會將于 2022 年 2 月 4 日

2、至 2 月 20 日在中國北京市和張家口市聯合舉辦以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）BCD下列計算正確的是（）Aa3a2aB（a2）3a5Ca6a2a3Da2a3a5 3下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）Am（a+b）ma+mb Cx2+xy3x（x+y）3Bx2+3x+2（x+1）（x+2） D4如果（2x+m）與（x+3）的乘積中不含 x 的一次項，那么 m 的值為（）A6B3C0D1 5如圖，直線MN 是四邊形 AMBN 的對稱軸，點P 是直線 MN 上的點，下列判斷錯誤的是（）AAMBMBAPBNCMAPMBPDANMBNM 6要使 16x2bx+

3、1 成為完全平方式，那么常數 b 的值是（）A4B8C4D8 7如圖，ABC 中，A40，AB 的垂直平分線分別交 AB，AC 于點 D，E，連接 BE，則BEC 的大小為（）A40B50C80D100如圖，AD 是等邊ABC 的一條中線，若在邊AC 上取一點 E，使得 AEAD，則EDC 的度數為（）A30B20C25D15平面直角坐標系中，已知 A（2，0），B（0，2）若在坐標軸上取 C 點，使ABC 為等腰三角形，則滿足條件的點 C 的個數是（）A4B6C7D8 10如圖，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若點 M，N 分別在 OA，OB 上，且PMN 為等邊三角形，則滿足上述

4、條件的PMN 有（）A2 個B3 個C4 個D無數個二、填空題（每題 2 分，共 16 分）11當 x4 時，（x4）0 等于若等腰三角形中有一個角等于 40，則這個等腰三角形的頂角的度數為已知 xm6，xn3，則 x2mn 的值為14若 a2+b219，ab5，則 ab如圖，從邊長為 a 的大正方形中去掉一個邊長為 b 的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是如圖，點 P 為AOB 內任一點，E，F 分別為點 P 關于 OA，OB 的對稱點若AOB30，則E+F已知一張三角形紙片 ABC（如圖甲），其中ABCC將紙片沿過點 B 的直線折疊，使點 C 落到 AB

5、 邊上的 E 點處，折痕為 BD（如圖乙）再將紙片沿過點 E 的直線折疊，點 A 恰好與點 D 重合，折痕為 EF（如圖丙）原三角形紙片 ABC 中，ABC 的大小為如圖，在等邊ABC 中，D 為 AC 邊的中點，E 為 BC 邊的延長線上一點，CECD，DMBC 于點 M下列結論正確的有（把所有正確的序號寫在橫線上）BMEM2CD3DMBM3CM三、解答題（共 54 分）因式分解；（1）ax2+2a2x+a3；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）計解：21計算：7mm4（3m2）22m222已知 4a2+2b210，求代數式（2a+b）2b（4ab）+2 的值如圖，在平面直角坐標系xOy

6、 中，直線l 是第一、三象限的角平分線已知ABC 的三個頂點坐標分別為 A（3，0），B（5，3），C（6，1）若ABC 與ABC關于 y 軸對稱，畫出ABC；若直線l 上存在點 P，使 AP+BP 最小，則點P 的坐標為，AP+BP 的最小值為如圖，在RtABC 中，C90，ACBC畫圖：作 AB 的垂直平分線，分別與 AB 交于點 D，與 BC 交于點 E；（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）連接 AE；過點 B 作 BF 垂直 AE，垂足為 F求證：ACBF如圖，AE 是ACD 的角平分線，B 在 DA 延長線上，AEBC，F 為 BC 中點，判斷AE 與 AF 的位置關系并證明老師在黑板上寫

7、出了一道思考題：已知a+b2，求 a2+b2 的最小值愛思考的小明同學想到了一種方法：先用b 表示 a，a2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2+b2；再進行配方得到：a2+b22（b）2+；根據完全平方式的非負性，就得到了 a2+b2 的最小值是請你根據小明的方法，當 x+y10 時，求 x2+y2 的最小值在ABC 中，ABAC，A90，點 D 在線段 BC 上，EDB C，BEDE， 垂足為 E，DE 與 AB 相交于點 F當 C，D 兩點重合時（如圖 1） 直接寫出EBF；直接寫出線段 BE 與 FD 之間的數量關系；當 C，D 不重合時（如圖 2），寫出線段 BE 與 F

8、D 的數量關系，并證明如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，經過點 M（0，m），且平行于 x 軸的直線記作直線ym我們給出如下定義：點P（x，y）先關于 x 軸對稱得到點 P1，再將點 P1 關于直線ym 對稱得到點 P，則稱點 P稱為點 P 關于 x 軸和直線 ym 的二次反射點點 A（5，3）關于 x 軸和直線 y1 的二次反射點 A的坐標是；點 B（2，1）關于 x 軸和直線 ym 的二次反射點 B的坐標是（2，5），m ；若點 C 的坐標是（0， m），其中 m0，點 C 關于 x 軸和直線 ym 的二次反射點是 C，求線段 CC的長（用含 m 的式子表示）；（4）如圖，正方形的四個頂

9、點坐標分別為（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2）， 若點 P（1，4），Q（1，5）關于 x 軸和直線 ym 的二次反射點分別為 P，Q，且線段PQ與正方形的邊沒有公共點，直接寫出 m 的取值范圍參考答案一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題 3 分，共 30 分）第 24 屆冬季奧林匹克運動會將于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中國北京市和張家口市聯合舉辦以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）BCD【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的概念求解解：選項 A、C、D

10、均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項 B 能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合， 所以是軸對稱圖形，故選：B下列計算正確的是（）Aa3a2aB（a2）3a5Ca6a2a3Da2a3a5【分析】根據整式的運算法則即可求出答案解：（A）a3 與 a2 不是同類項，不能合并，故 A 錯誤原式a6，故 B 錯誤原式a4，故 C 錯誤 故選：D下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）Am（a+b）ma+mb Cx2+xy3x（x+y）3Bx2+3x+2（x+1）（x+2） D【分析】根據因式分解的定義逐

11、個判斷即可解：A從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意； B從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意； C從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D等式的右邊是一個整式和一個分式的積，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：B如果（2x+m）與（x+3）的乘積中不含 x 的一次項，那么 m 的值為（）A6B3C0D1【分析】先根據多項式乘多項式進行計算，再合并同類項，根據乘積不含 x 的一次項得出 6+m0，再求出 m 即可解：（2x+m）（x+3）2x2+6x+mx+3m2x2+（6+m）x+3m，（2x+m）與（x+3）的乘積中不含

12、x 的一次項，6+m0，解得：m6， 故選：A如圖，直線MN 是四邊形 AMBN 的對稱軸，點P 是直線 MN 上的點，下列判斷錯誤的是（）AAMBMBAPBNCMAPMBPDANMBNM【分析】根據直線MN 是四邊形 AMBN 的對稱軸，得到點A 與點 B 對應，根據軸對稱的性質即可得到結論解：直線 MN 是四邊形 AMBN 的對稱軸，點 A 與點 B 對應，AMBM，ANBN，ANMBNM，點 P 時直線 MN 上的點，MAPMBP，A，C，D 正確，B 錯誤， 故選：B要使 16x2bx+1 成為完全平方式，那么常數 b 的值是（）A4B8C4D8【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再

13、根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定b 的值解：16x2bx+1（4x）2bx+1，bx24x1， 解得 b8故選：D如圖，ABC 中，A40，AB 的垂直平分線分別交 AB，AC 于點 D，E，連接 BE， 則BEC 的大小為（）A40B50C80D100【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到EAEB，根據等腰三角形的性質得到EBAA40，根據三角形的外角性質計算即可 解：DE 是 AB 的垂直平分線，EAEB，EBAA40，BECEBA+A80， 故選：C如圖，AD 是等邊ABC 的一條中線，若在邊AC 上取一點 E，使得 AEAD，則EDC 的度數為（）A30B20C25D15【分析】由

14、等邊三角形的性質可得 ADBC，CAD 30，結合等腰三角形的性質及三角形的內角和定理可求解ADE 的度數，進而可求解解：ABC 為等邊三角形，BAC60，AD 是等邊ABC 的一條中線，ADBC，CAD BAC30，AEAD，ADEAED，ADE+AED+CAD180，ADE75，EDC907515， 故選：D平面直角坐標系中，已知 A（2，0），B（0，2）若在坐標軸上取 C 點，使ABC 為等腰三角形，則滿足條件的點 C 的個數是（）A4B6C7D8【分析】分為 ABAC、BCBA，CBCA 三種情況畫圖判斷即可 解：如圖所示：當 ABAC 時，符合條件的點有 3 個； 當 BABC 時

15、，符合條件的點有 3 個；當點 C 在 AB 的垂直平分線上時，符合條件的點有一個 故符合條件的點 C 共有 7 個故選：C如圖，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若點 M，N 分別在 OA，OB 上， 且PMN 為等邊三角形，則滿足上述條件的PMN 有（）A2 個B3 個C4 個D無數個【分析】如圖在OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60，只要證明PEMPON 即可推出PMN 是等邊三角形，由此即可得結論解：如圖在 OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60OP 平分AOB，EOPPOF60，OPOEOF，OPE，OPF 是等邊三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN6

16、0，EPMOPN，在PEM 和PON 中，PEMPON（ASA）PMPN，MPN60，PNM 是等邊三角形，只要MPN60，PMN 就是等邊三角形， 故這樣的三角形有無數個故選：D二、填空題（每題 2 分，共 16 分）11當 x4 時，（x4）0 等于 1【分析】根據零指數冪的定義：a01（a0），求解即可 解：x4，x40，（x4）01故答案是：1若等腰三角形中有一個角等于 40，則這個等腰三角形的頂角的度數為40或100 【分析】由等腰三角形中有一個角等于 40，可分別從若 40為頂角與若 40為底角去分析求解即可求得答案解：等腰三角形中有一個角等于 40，若 40為頂角，則這個等腰三角

17、形的頂角的度數為40；若 40為底角，則這個等腰三角形的頂角的度數為：180402100這個等腰三角形的頂角的度數為：40或 100 故答案為：40或 100已知 xm6，xn3，則 x2mn 的值為 12【分析】根據同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減，進行運算即可解：x2mn（xm）2xn36312 故答案為：1214若 a2+b219，ab5，則 ab 3【分析】根據完全平方公式先求得（ab）2 的值，然后根據平方根的概念進行計算求解 解：（ab）2a22ab+b2，且 a2+b219，ab5，（ab）2192519109，ab3， 故答案為：3如圖，從邊長為 a 的大正方形中去掉一個

18、邊長為 b 的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是a2b2（a+b）（ab） 【分析】首先分別求出甲乙兩圖陰影部分的面積，然后根據面積相等可直接求得等式解：S（a2b2），S甲（a+b）（ab）乙又SS甲乙a2b2（a+b）（ab）故答案為：a2b2（a+b）（ab）如圖，點 P 為AOB 內任一點，E，F 分別為點 P 關于 OA，OB 的對稱點若AOB30，則E+F 150【分析】連接 OP，根據軸對稱的性質解答即可解：連接 OP，E，F 分別為點 P 關于 OA，OB 的對稱點，EOAAOP，POBBOF，AOBAOP+POB，EOF2AOB60，E，F

19、 分別為點 P 關于 OA，OB 的對稱點，PEOA，PFOB，AOB30，EPF150，E+F36060150150， 故答案為：150已知一張三角形紙片 ABC（如圖甲），其中ABCC將紙片沿過點 B 的直線折疊，使點 C 落到 AB 邊上的 E 點處，折痕為 BD（如圖乙）再將紙片沿過點 E 的直線折疊，點 A 恰好與點 D 重合，折痕為 EF（如圖丙）原三角形紙片ABC 中，ABC 的大小為 72【分析】先設ABCC2，然后用含有 的式子表示A，ADE，BED，進而得到AED，最后利用三角形的外角性質列出方程求得，即可求得ABC 的大小 解：設ABCC2，則A180ABCC1804，由

20、折疊得，BEDC2，ADEA1804，BED 是AED 的外角，BEDA+ADE，21804+1804， 解得：36，ABC72， 故答案為：72如圖，在等邊ABC 中，D 為 AC 邊的中點，E 為 BC 邊的延長線上一點，CECD，DMBC 于點 M下列結論正確的有（把所有正確的序號寫在橫線上）BMEM2CD3DMBM3CM【分析】根據等邊三角形的性質得到ACBABC60，求得E ACB30， 連接 BD，得到DBC ABC 6030，根據等腰三角形的性質得到 DM BC，求得 BMEM，故 B 正確；于是得到 CM CD CE，故 C 正確；故 D 錯誤，BM3CM，故 A 正確；解：三

21、角形 ABC 是等邊ABC，ACBABC60， 又CECD，ECDE，又ACBE+CDE，E ACB30，DM DE，故正確， 連接 BD，等邊ABC 中，D 是 AC 的中點，DBC ABC 6030，DBCE30，DBDE， 又DMBC，BMEM，故正確；sin60，故錯誤，CM CD CE，ME3CM，BM3CM，故正確； 故答案為：三、解答題（共 54 分）因式分解；（1）ax2+2a2x+a3；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）【分析】（1）直接提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（ab），進而分解因式即可 解：（1）ax2+2a2x+a3a（x

22、2+2ax+a2）a（x+a）2；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）（ab）（xy+x+y）2x（ab）計解：【分析】把原式化為（60 ）（60+），然后根據平方差公式計算即可解：原式（60 ）（60+）602（ ）23600359921計算：7mm4（3m2）22m2【分析】根據同底數冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，整式的除法計算即可 解：原式（7m59m4）2m27m52m29m42m2 m3 m222已知 4a2+2b210，求代數式（2a+b）2b（4ab）+2 的值【分析】先化簡代數式，再根據化簡結果整體代入可得答案 解：原式4a2+4ab+b24ab+b2+24a2+2b2+2

23、由 4a2+2b210 可得 4a2+2b21，4a2+2b2+21+23如圖，在平面直角坐標系xOy 中，直線l 是第一、三象限的角平分線已知ABC 的三個頂點坐標分別為 A（3，0），B（5，3），C（6，1）若ABC 與ABC關于 y 軸對稱，畫出ABC；若直線 l 上存在點 P，使 AP+BP 最小，則點 P 的坐標為（3，3） ，AP+BP 的最小值為5【分析】（1）利用軸對稱的性質分別作出 A，B，C 的對應點 A，B，C即可；（2）作點 B 關于直線 l 的對稱點 B，連接 AB交直線 l 于點 P，連接 PB，此時 PA+PB 的值最小，最小值為線段 AB的長解：（1）如圖，A

24、BC即為所求；（2）如圖，點 P 即為所求P（3，3），最小值為 5， 故答案為：（3，3），5如圖，在RtABC 中，C90，ACBC畫圖：作 AB 的垂直平分線，分別與 AB 交于點 D，與 BC 交于點 E；（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）連接 AE；過點 B 作 BF 垂直 AE，垂足為 F求證：ACBF【分析】（1）利用基本作圖作出AB 的垂直平分線，然后連接AE，過B 點作 AE 的垂線即可；（2）先根據線段垂直平分線的性質得到 EAEB，然后證明ACEBFE，從而得到ACBF【解答】（1）解：如圖，DE 為所作； 如圖，BF 為所作；（2）證明：ED 垂直平分 AB，EAEB，BF

25、AE，BFE90，在ACE 和BFE 中，ACEBFE（AAS），ACBF如圖，AE 是ACD 的角平分線，B 在 DA 延長線上，AEBC，F 為 BC 中點，判斷AE 與 AF 的位置關系并證明【分析】結論：AE 與 AF 的位置關系是垂直想辦法證明CAF+CAE90即可 解：結論：AE 與 AF 的位置關系是垂直證明：AE 是ACD 的角平分線，AEBC，DAEB，EACACB，BACB，ABAC，又F 為 BC 中點，CAB+CAD180，CAF+CAE90，AEAF老師在黑板上寫出了一道思考題：已知a+b2，求 a2+b2 的最小值愛思考的小明同學想到了一種方法：先用b 表示 a，a

26、2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2 （2b） +b2；再進行配方得到：a2+b22（b 1）2+2；根據完全平方式的非負性，就得到了 a2+b2 的最小值是2請你根據小明的方法，當 x+y10 時，求 x2+y2 的最小值【分析】（1）根據小明的思路得到關于 b 的代數式，根據平方的非負性即可求得最小值；（2）根據小明的思路得到關于 x 的代數式，根據平方的非負性即可求得最小值 解：（1）a+b2，a2b；代入 a2+b2 得到： a2+b2（2b）2+b244b+b2+b22b24b+42（b1）2+2；根據完全平方式的非負性，就得到了 a2+b2 的最小值是 2； 故答案為

27、：2b，1，2，2；（2）x+y10，y10 x；x2+y2x2+（10 x）22x220 x+1002（x5）2+50；根據完全平方式的非負性，就得到了 x2+y2 的最小值是 50 根據小明的方法，當 x+y10 時，x2+y2 的最小值是 50在ABC 中，ABAC，A90，點 D 在線段 BC 上，EDB C，BEDE， 垂足為 E，DE 與 AB 相交于點 F當 C，D 兩點重合時（如圖 1） 直接寫出EBF 22.5；直接寫出線段 BE 與 FD 之間的數量關系BE DF；當 C，D 不重合時（如圖 2），寫出線段 BE 與 FD 的數量關系，并證明【分析】（1）作 DGAC 交

28、BE 的延長線于 G，根據全等三角形的性質即可得到結論； 根據等腰直角三角形的性質得到ABCC45，根據題意求出EDB，計算即可；（2）如圖 2，過點 D 作 DGCA，與 BE 的延長線相交于點 G，與 AB 相交于點 H，得到GDBC，BHDA90GHB，根據全等三角形的性質得到 BEGEGB，求得 HBHD，根據全等三角形的性質得到 GBFD，于是得到結論解：（1）A90，ABAC，ABCACB45，EDB ACB22.5， 又 BEDE，EBD9022.567.5，EBF67.54522.5，延長 BE，CA 交于 G，EDB ACB，CE 平分ACB，GCEBCE，BEDE，BECC

29、EG90， 在BCE 與GCE 中，BCEGCE（ASA），BEEG BG，BEFBAC90，BFEAFC，ABGACF，在ABG 與ACF 中，ABGACF（ASA），BGCF，BE DF；故答案為：BE DF；故答案為：22.5，BE DF；（2）結論：BE FD，證明：如圖 2，過點 D 作 DGCA，與 BE 的延長線相交于點 G，與 AB 相交于點 H， 則GDBC，BHDA90GHB，EDB C GDBEDG，又 DEDE，DEBDEG90，DEBDEG（ASA），BEGE GB，A90，ABAC，ABCCGDB，HBHD，BEDBHD90，BFEDFH，EBFHDF，GBHFDH（ASA），GBFD，BE