1、課程教學內容： 第一章 緒 論第二章 塑性成形分析的理論基礎第三章 有限元法基本概念第四章 彈塑性有限元法基本理論與模擬方法第五章 剛塑性有限元法基本理論與模擬方法第六章 幾種通用有限元分析軟件介紹（ANSYS、MARC、ABAQUS）第七章 幾種典型材料成形過程計算機模擬分析實例 剛塑性有限元法是在1973 年提出來的，這種方法雖然也基于小應變的位移關系，但忽略了材料塑性變形時的彈性變形部分，而考慮了材料在塑性變形時的體積不變條件。 它可用來計算較大變形的問題，所以近年來發展迅速，現已廣泛應用于分析各種金屬塑性成形過程。 剛塑性有限元法的理論基礎是變分原理，它認為在所有動可容的速度場中，使泛

2、函取得駐值的速度場是真實的速度場。根據這個速度場可以計算出各點的應變和應力。 5.1 剛塑性有限元法及其變分原理介紹泛函是函數的函數;在泛函進行變分時根據其有無附加條件而分為一般變分和 廣義變分或條件變分；廣義變分又分為不完全廣義變分和完全廣義變分。 對于實際的金屬成形加工過程，彈性變形部分遠小于塑性變形部分 ( 彈性應變與塑性應變之比通常在1/1001/1000 )，因而可忽略彈 性變形，將材料模型簡化為剛塑性模型。 采用剛塑性模型可大大簡化有限元列式和求解過程。 與彈塑性有限元法相比較，可采用較大的時間增量步長。在保證足 夠的工程精度的前提下，可提高計算效率。 由于剛塑性有限元法采用率方程

3、表示，材料變形后的構形可通 過在離散空間對速度的積分而獲得，從而避開了應變與位移之 間的幾何非線性問題。 由于忽略了彈性變形，剛塑性有限元法僅適合于塑性變形區的 分析，不能直接分析彈性區的變形和應力狀態，也無法處理卸 載和計算殘余應力與變形。 由于剛塑性模型假設，對一般的體積不可壓縮材料，因為其靜 水壓力與體積應變率無關，如要計算應力張量，還必須進行應 力計算的處理。 從數學的角度來講，有限元法是解微分方程的一種數值方法。它的基本思想是：在整個求解區域內要解某一微分方程很困難(即求出原函數)時，先用適當的單元將求解區域進行離散化，在單元內假定一個滿足微分方程的簡單函數作為解，求出單元內各點的解

4、；然后，再考慮各單元間的相互影響，最后求出整個區域的場量。剛塑性有限元法的求解過程 (1) 離散化處理； (2) 單元分析的基礎上集合成總體方程組； (3) 剛塑性有限元法集合成的總體方程組為一非線性方程組，還須 線性化處理并采用迭代方法求解。 剛塑性有限元法按照處理方法的不同分成如下5種： (1)流函數法；(2)拉格朗日乘子法；(3)罰函數法；(4)泊松系數v 接近0.5法；(5)材料可壓縮性法。5.1.1 剛塑性材料基本假設 對于大變形金屬塑性成形問題，將變形體視為剛塑性體，即把變形中的某些過程理想化，便于數學上處理。此時，材料應滿足下列假設： (1) 不計材料的彈性變形； (2) 材料的

5、變形流動服從 Levy- Mises 流動法則； (3) 材料是均質各向同性體； (4) 材料滿足體積不可壓縮性； (5) 不計體積力與慣性力； (6) 加載條件(加載面)給出剛性區與塑性區的界限。5.1.2 第一變分原理 剛塑性材料的第一變分原理又稱為馬爾柯夫(Markov)變分原理, 其為： 在滿足：(1) 速度-應變速率關系 (在 上)的一切動可容場 ， 中使泛函： 的變分為零，即： ，且取極小值的 ，必為本問題的真實解。 (2) 體積不可壓縮條件(3) 速度邊界條件 證明：設真實解為 和 ，而許可解 由屈服條件和本構方程有： (a) 則有： 由最大塑性功原理，有： (b) 由虛功率原理

6、得： (c) 將(c)式代人(b)式得：(d) 注意，在Su上。將(d)式代人(e)式有： (e) 將(a)式代人(e)式有： (f) 即： 因此，泛函取最小值， 于是第一變分原理得證 5.1.3 完全廣義變分原理在第一變分原理中，所選擇的速度場必須滿足(1)，(2)和(3)式，實際問題中，有些條件比較容易滿足，而有些條件則不易滿足。 為了容易選擇速度場，應用條件變分的概念，引用拉格朗日(Lagrangian) 乘子 ， 和 ，將運動許可解所必須滿足的條件引入泛函中， 則得到新的泛函： (*) 在任意選取的 、 中，真實解使(*)式的泛函取駐值，這就是剛塑性 完全廣義變分原理。 第一變分原理和

7、完全廣義變分原理對比第一變分原理所選擇的 和 只要求滿足運動許可條件，而靜力許可條件是通過變分近似滿足的。據廣義變分原理預選的 和 不受任何約束，所有的方程均由變分近似滿足。所以，由第一變分原理計算的近似解較廣義變分原理得到的解更精確。但前者在預選滿足運動許可條件的速度場時比后者困難。 5.2.3 不完全廣義變分原理 在選取運動許可解 和 時，可將其應滿足的三個條件中的任意兩個或一個事先得到滿足，而將其余的一個或兩個，通過拉格朗日乘子引入泛函中，組成新的泛函，真實解使泛函取駐值，這就是不完全廣義變分原理。在選擇速度場時應變速率與速度的關系(1)式和速度邊界條(3)式容易滿足，而體積不可壓縮條件

8、(2)式難于滿足。因此，可以把體積不可壓縮條件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：(*) 可以證明，在一切滿足應變速率與速度關系和速度邊界條件的 中，使泛函(*)式取駐值的 為真實解。 按照Markov變分原理求解時，面臨速度場選取的困難。因而在實際求解時常采用不完全廣義變分原理求解塑性變形過程。對剛塑性體和剛粘塑性體，按Markov變分原理確定的泛函為： (*) 解決的問題是尋找某種方式將體積不可壓縮條件(2)式引入泛函(*)中，構成新的泛函，使問題轉變成對新泛函的無條件的駐值問題。通常采用拉格朗日乘子法、罰函數法及修正罰函數法來構造新的泛函。通過這樣的方法將體積不可壓縮條件引入后，便

9、能求靜水壓力 ， 從而解決了因忽略材料的彈性變形而帶來的應力計算的困難。5.2 剛塑性增量理論的廣義變分原理 欲求解變形體在塑性變形時的場變量，首先要建立基本方程組。 5.2.1 基本方程 基本方程如下： 微分平衡方程或運動方程: (5-1) 速度與應變速率的關系： (5-2) 式中： 速度； 應變速率 列維密賽斯應力應變速率關系： (5-3) 假設材料符合密賽斯屈服準則，即: 式中 k 是變形過程的函數，如材料是理想剛塑性體時， k=const式 5-3 兩邊平方后得： 將式5-4 代入式5-5 整理后得： (5-6) 將式5-6 代入式5-3 可得： (5-7) 這就是符合密賽斯屈服準則的

10、應力應變關系式。 (5-4)(5-5) 體積不可壓縮條件: (5-8) 邊界條件: 邊界條件分為力學邊界條件和位移邊界條件，分別為： (5-9) (5-10) 利用上述方程和邊界條件，雖然在理論上是可以求解的，但實際上很 困難，只有在幾種簡單情況下才能求出解析解。 剛塑性有限元法借助于變分原理可求出近似解，對變形場的位能泛函進行變分，當變分取得駐值時，變形場滿足平衡微分方程和力學邊界條件。處理體積不變條件的方法有兩種： 一是在假設初始速度場時，除了滿足速度邊界條件以外，還應嚴格滿足體積不變條件，這種方法給假設初始速度場帶來困難。另一種方法是假設初始速度場只滿足速度邊界條件，而對體積不變引入約束

11、條件，即拉格朗日乘子進行有條件變分。這種方法在運算中較易實現，目前已得到廣泛應用，下面對這種方法進行詳細論述。 5.2.2 不完全的廣義變分原理 剛塑性有限元計算需要先選擇初始速度場。在選擇初始速度場時，速度邊界條件容易滿足，而體積不可壓縮條件較難滿足。因此，把體積不可壓縮條件用拉格朗日乘子引入泛函中去。這種有條件的但并非將所有條件引入泛函的變分稱之為不完全的廣義變分，所建立的泛函為： 式中：Sp 變形體邊界中應力邊界部分； 克羅內克爾（Kronecker）符號。 (5-11) 剛塑性不完全的廣義變分原理認為：在所有滿足速度-應變速率關系和速度邊界條件的 vi 中，使泛函式 5-11 取得駐值

12、的 vi 是真實解。 在忽略體力的情況下，式5-11 還可寫成另一種形式，即 式中： (5-12) 注意在剛塑性有限元中，利用的屈服準則是密賽斯屈服條件，它的一階導數是連續的，在計算中一般略去體力，并設外力在變形過程中不變。對于有硬化的材料，假設剪切屈服極限在一小段范圍內是常數，采取臺階形硬化曲線來代替真實硬化曲線，這樣處理可大大簡化變分的運算。下面證明這一原理。 由式 5-12 變分得： 采用密賽斯屈服準則，有： (5-13)(5-14)將式5-14 代入式5-13 得： (5-15)且 ，在 上 ，由此得： 因為：(5-16)將式 5-16 代入式 5-15 得：因 和 都是任意的，要使泛

13、函的變分為零，即 取得駐值，必須滿足下列等式： （在 表面上） (5-18) （在 V 體積內 ） (5-19) （在 V 體積內 ） (5-20) （在 V 體積內 ） (5-21) 由式5-21 可知，泛函變分為零時，滿足體積不變條件。由式5-20 可得： 拉格朗日乘子等于平均應力，即靜水壓力。這就是拉格朗日乘子的物理意義。 由式5-19 可知，泛函變分為零時，在整個體積內都滿足運動方程，即平衡微分方程。 由式5-18 可以看到，泛函變分為零時，滿足應力邊界條件。 這就證明了在滿足速度邊界和應變速率與速度關系的速度場vi 中，當泛函變分為零時，滿足所有的基本方程，所以這個速度場就是真實解。

14、 (5-22) 5.3 拉格朗日乘子法為使有限元計算方便，將式 5-11 改寫成矩陣形式如下： (5-23) 式中： 應變速率列陣； 速度列陣； 應力邊界 Sp 上給定的表面力列陣； 矩陣記號， 體力列陣。 在計算中如材料有硬化作用時，采用階段硬化曲線來代替真實硬化曲線，如下圖所示。經這樣的處理，變分時可將 k 視作常數，可從積分號中提出。計算中若忽略體積力，則泛函又可寫成如下形式： (5-24) 注意上式中： 階段硬化曲線來代替真實硬化曲線5.3.1 離散化 假設變形體被劃分為 M 個單元，N 個節點，由此可知： (5-25) 對于一個單元而言，可建立下列泛函： (5-26) 式中： V單元

15、的體積； S單元的邊界。 在單元內有： (5-27) (5-28) 其中 為單元節點的速度列陣。 將式5-27 和式5-28 代入式5-26 得到： (5-29) 令： （這里 K不是剛度矩陣） 對于一個單元來說，節點的速度 和 都是定值。所以式5-29 可寫成： (4-30) 泛函 中只含單元的節點速度 和 ，未知數為 、 即：集合成整體，得： 泛函變分為零（ ），即得： (5-32) 由于變分， 和 是任意的獨立變量，所以有： (5-33) 式中： k 求解問題的維數。 (5-31) 對于每個單元有： 由式 5-34 集合成的方程組是非線性的，求解時需先進行線性化， 下面就此問題展開討論。

16、 (5-34) 5.3.2 方程的線性化 求解非線性問題的一種常用方法是攝動法，這種方法是先假設一個初始解，根據這個解求出修正量，利用修正量修改原初始解，再由修正后的解求出新的修正解，如此這樣通過反復迭代來逼近真解。采用這種求解方法就能把非線性方程組化為線性方程組來求解。設有一個初始速度場u和相對應的速度增量u，則每次迭代之間的速度有如下關系： 將式5-35 代入式5-34 得： (5-36) 現令： (5-35) 略去高次小量，并注意 是一個數，即：把形如 的因子展成冪級數并取線性項得： (5-37) 因： 令： 則： 將上式代入式5-37 后得 (5-38) 略去高次微量得： (5-39)

17、 再令： 得： (5-40) 將式5-40 寫成矩陣形式為： (5-41) 其中： (5-42) 將單元分析得到的式5-41 代入式5-33，就得到剛塑性有限元法求解的矩陣方程組，即： (5-43) 求解真實速度場時采用迭代法，其迭代的收斂判據取范數比 ，當范數比小于某一定值，如0.00001 時，認為泛函已收斂，即： (5-44) 從以上論述可以看出： 引入拉格朗日乘子后，在假設初始速度場時，可以不滿足體積 不可壓縮條件，這對選擇初始速度場有很大方便； (2)拉格朗日乘子有明確的物理意義，即收斂時的拉格朗日乘子就 是對應單元的靜水壓力。 (3)在變分運算中，假設剪切屈服應力是常數。因此，在計

18、算有加工硬化的材料時，每次取的移動量不能太大，特別對于硬化顯著的材料要盡可能取較小的步長。 (4)在線性化中，采用了攝動法，并應用了牛頓（Newton）二項式展開，展開時假設u是小量，并略去了高階微量，因此在計算中，每次的修正量要小，否則影響收斂性。 5.4 材料可壓縮性法5.4.1 理論基礎 剛塑性有限元法引入拉格朗日乘子后，可求得平均應力，但這樣增加了許多未知數和方程數，計算量大大增加了。 從分析可知，一般剛塑性有限元法不能求解平均應力的原因在于屈服條件中沒有考慮平均應力的影響。材料有可壓縮的剛塑性有限元是假設屈服條件與平均應力有關，并寫作為： (5-45) 式中：g 為一個數值很小的正常

19、數，一般取作0.01； 平均應力，由式 5-45 可看出：當g=0 時，即為密賽斯屈服準則，屈服曲面在應力空間為一圓柱面；當g0 時，屈服面在應力空間為一橢球面，如下圖所示。屈服軌跡密賽斯屈服條件下的勢函數為： 同理，可壓縮性材料的勢函數為： 所以： (5-46)(5-47)(5-48)又因： 體積變化速率為： 上式表明，可壓縮性材料的體積變化速率不為零。(5-49)(5-50)因為：又因：(5-52)(5-51)由式5-45 和式5-52 可得： 設等效應變速率為：(5-53)(5-54)式5-53 可寫作如下形式： (5-55) 將式5-56 代入式5-50 可得：即：(5-57)(5-5

20、6)將式5-56 代入式5-51 得：(5-58)(5-59)上式寫成矩陣形式為：(5-61) (5-60) 由以上可以看出，可壓縮性材料的應力與應變之間的關系系數 與不可壓縮材料有相同形式，區別在于對等效應力和等效應變有不同的定義，即： (5-63) (5-62) 5.4.2 系數 g 的取值 系數 g 的取值直接影響計算結果的精度，g 的取值可由實驗來確定，表5-1 中給出了在單向壓縮時，不同 g 值所對應的屈服應力近似值以及高度壓縮率為10%時的體積變化。由表可看出，取g=0.01 時，式5-45與密賽斯屈服條件相當接近，此時體積變化也很小。 5.4.3 求解方程的建立 對于變形體，可建

21、立相同的泛函，即： (5-64) 為了計算方便，上式后面一項表示成矩陣形式為： (5-65) 對于可壓縮性材料發生塑性變形時，因塑性判據與平均應力有關，相當于隱含考慮了體積不可壓。因此，對初始速度場的選擇不需要嚴格滿足體積不可壓縮條件。計算過程是先將變形體離散，劃分成 M 個單元和 N 個節點。第 m 個單元的真實速度場的泛函為 ，假設位移模式的速度場所得的泛函值為設:則: 對泛函進行變分，當變分為零時，泛函取得駐值，這時的速度場是真實的速度場。因 是任意的，所以有： 式中：k 為維數，對于三維問題，kN=3N ，即可得3N 個方程。(5-67) (5-66) (5-68) 在單元內有: (5

22、-69) (5-70) 將式5-54 代入式5-64 得： (5-71) 上式寫成矩陣形式為： (5-72) 設: (5-73) 式中: (5-74) (5-76)(5-75)式5-72 又可寫作： (5-77) 式中 對式 5-77 求導得： (5-78)將 按階段硬化處理，將式 5-78 代入式 5-68 可得到一組方程，對于三維問題一共可得 3N 個方程，包含 3N 個未知數，即： (5-79)所得的方程組式 5-79 是非線性的，不能直接求解，需進行線性化，采用牛頓-拉夫森 （Newton-Raphson ）方法線性化，設第n+1次速度場 是第 n 次速度場增加一個 ，則有下列關系式：

23、 (5-80) 將式 5-80 代入式 5-79 中，并在 處按臺勞(Taylor)級數展開，略計高階微小量，得到下列線性方程組，即： 由式5-81得到的線性方程組就能在假設一初始速度場的基礎上進行反復迭代，最后收斂于真解。利用這種方法求出來的應力不再是應力偏量，而是全應力。(5-81)對于軸對稱問題，當單元采用等參四邊形單元時，式5-81中的 有下列展開式： 式中： (5-82) (5-83)(5-84)(5-85)式中：k2、k1、k、k+1為下標i、j、k、m 的代號，0為下標時表示平均值。 B、C、D 分別由式2-28和式2-36中對應A 、B 、G 的給出。5.5 罰函數法 5.5.

24、1 求解方程的建立 剛塑性有限元法的一個基本假設是體積不變，罰函數法從這一點入手，引入一個很大的正數乘以體積應變速率的平方，即： (5-86) 將此項添加到泛函中去，于是可將式 5-11 改寫如下： (5-87) 當 在每一點的變化率都接近零時，這個泛函就取得最小值，這時所對應的速度場就逼近真實速度場。可以按照處理拉格朗日乘子法同樣的步驟導出罰函數法的計算公式。 罰函數法與拉格朗日乘子法的不同之處在最后一項，下面只對這一項進行分析。令這一項為 ，即： 將上式寫成矩陣形式為：其中因： (5-90) (5-88)(5-89) 將式 5-90 代入式 5-89 得：對泛函變分后， 項為： 因 是一個

25、數，故有 ，則(5-91) (5-92) (5-93) 是節點的速度，可將其從積分號中提出，即： (5-94) 其中: 因泛函變分取得駐值時所建立的求解方程是速度的非線性函數，求解時需采用攝動法對方程進行線性化，其中體積變化率這一項為： 用式 5-95 代替代替式 5-40 中的 可得下式：由前面推導有： (5-97) 將式5-96 代入式5-97 得： (5-96) (5-98)式中：式 5-98 可寫成如下的簡單形式，即： 罰函數法對于三維問題一共只有 3 N 未知數和 3N 個方程，這比拉格朗日乘子法要少 M 個方程和未知數，因此可節省內存和計算時間。這種方法還有一個特點就是收斂速度快，這給求解真實速度場提供了一個有