1、2009高考二輪復習考點透析4-運用導數研究函數的圖象與性質考點:1。初等函數的導數； 2。導數的運算法則； 3.導數與切線；4.導數與函數的單調性（隱含不等式）； 5.用導數研究函數的零點與極值點。一導數的幾何意義及其考查1.曲線過點（1，1）的切線方程為（ ）ABCD2.（全國一7）設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）A2BCD3.在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（ ）A3B2C1D04曲線y=x過點(, 0)的切線的方程是 ( ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=05已知函數的解析式可能為（ ）ABC

2、D6.曲線y=sinx在點()處的切線方程是 .7曲線y= x+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點的坐標為 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函數的圖象在點處的切線方程是，則9. 對正整數n，設曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列eq f(an,n+1)的前n項和的公式是 10.設曲線在點處的切線與直線垂直，則 11.直線是曲線的一條切線，則實數b ln2112.已知拋物線通過點P（1，1），且在點Q（2，-1）處與直線y=x-3相切。則實數的值為 例1.已知拋物線C1：y=x

3、2+2x和C：y=x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段. （）a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（）若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.二研究函數的單調性14.對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x1）0，則必有（ ）A.f（0）f（2）2f（1） B. f（0）f（2）2f（1） C. f（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1）15設在內單調遞增，則是的（）充分不必要條件必要不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件16.若函數y=x3+bx

4、有三個單調區間，則b的取值范圍是_17設函數，已知是奇函數，則求、的值為 18.求函數的單調增區間是 。例2. (2006山東)設函數，其中，求f(x)的單調區間.例3.已知函數，.是否存在實數，使在上是增函數，且在上是減函數？若存在，求出；若不存在，請說明理由.例4.（廣東卷19）設，函數，試討論函數的單調性三構造函數證明不等式.例5當時,證明不等式成立.例6.（08天津卷21）已知函數（），其中（）當時，討論函數的單調性；（）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；（）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍四研究函數的零點和極值點18.（廣東卷7）設，若函數，有大于零的極值點，則（ ）AB

5、CD19方程x33x+c=0在0，1上至多有_個實數根例7.已知函數是否存在實數使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。例8.已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：例9.已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。例10已知f(x)=x2+,問是否存在正實數a,使得關于x的方程f(x)= f（a）有且僅有兩實數解.若有求出這個實數a，若沒有請說明理

6、由。例11.（08四川）已知是函數的一個極值點。（）求；（）求函數的單調區間；（）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍。例12.（陜西）已知函數（且，）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是（）求函數的另一個極值點；（）求函數的極大值和極小值，并求時的取值范圍例13.（2007年湖南文）已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式例14.已知橢圓方程為。問在橢圓上是否存在點到定點(其中)的距離的最小值為1，若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請給

7、予證明例15設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內的單調性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1.考點透析4運用導數研究函數的圖象與性質考點:1。初等函數的導數； 2。導數的運算法則； 3.導數與切線；4.導數與函數的單調性（隱含不等式）； 5.用導數研究函數的零點與極值點。一導數的幾何意義及其考查1.曲線過點（1，1）的切線方程為（ ）ABCD【錯解】 ，所求切線方程為：【錯因剖析】誤以為點（1， 1）在曲線上。求曲線上某點處的切線方程方程，與求曲線過某點處的切線方程的意義不同。前者所給點本身就是切點

8、，而后者有可能是切點，也有可能不是切點，而是曲線在另一點處的切線經過了這個點。【正解】點（1，1）不滿足曲線，因此點（1， 1）不在曲線上，設切點為,則有 ，過點P的切線方程：將點（1， 1）代入上式得所以切點為P（0，1），所以所求切線方程為：y=1.故選C2.（全國一7）設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ D ）A2BCD3.在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（ ）A3B2C1D0解：，故選D4曲線y=x過點(, 0)的切線的方程是 ( C ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=0解：設P（x0,y0）為曲線

9、y=x上的一點，則過P點切線的方程為：令得，又因為P（x0,y0）為曲線y=x上所以，解得，可得切線的方程是y=0或3xy2=0，選C5已知函數的解析式可能為（ ）ABCD6.曲線y=sinx在點()處的切線方程是 .解：切線方程是，即7曲線y= x+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點的坐標為 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函數的圖象在點處的切線方程是，則39. 對正整數n，設曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列eq f(an,n+1)的前n項和的公式是2n+12 10.設

10、曲線在點處的切線與直線垂直，則 211.直線是曲線的一條切線，則實數b ln2112.已知拋物線通過點P（1，1），且在點Q（2，-1）處與直線y=x-3相切。則實數的值為 解：因為點P（1，1）在拋物線上，所以 因為過切點Q（2，-1）的切線的斜率又因為切點Q（2，-1）在拋物線上聯立可解得【點評】理清曲線F（x,y）=0、切點P(x0,y0)、切線L:三因素之間的關系是解決這類問題的關鍵，即聯立方程組求解。例1.已知拋物線C1：y=x2+2x和C：y=x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段. （）a取什么值時，C1和C

11、2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程； （）若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分. 解：（）函數y=x2+2x的導數y=2x+2,曲線C1在點P（x1,x+2x1）的切線方程是：y(x+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx 函數y=x2+a的導數y=2x, 曲線C2 在點Q（x2,x+a）的切線方程是即y(x+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x+a . 如果直線l是過P和Q的公切線，則式和式都是l的方程，所以 消去x2得方程 2x+2x1+1+a=0.若判別式=442（1+a）=0時，即a=時解得x1=，此時點P與Q重合.即當a=時C1

12、和C2有且僅有一條公切線，由得公切線方程為 y=x . （）證明：由（）可知.當a0答案：b016設函數，已知是奇函數，則求、的值為 解：，。從而是一個奇函數，所以得，由奇函數定義得；17.求函數的單調增區間是 。錯解：在上是減函數，在上是增函數。又是減函數，所以函數的遞增區間是，遞減區間是。錯因分析：上述錯解忽略了函數的定義域是，而不是。正解：函數的定義域是。在上是減函數，在上是增函數。又上是減函數，所以根據復合函數的單調性，函數的遞增區間是，遞減區間是。例2. (2006山東)設函數，其中，求f(x)的單調區間.解：由已知得函數f(x)的定義域為，且（1）當時，f(x)0函數f(x)在上單

13、調遞減，（2）當時，由f(x)=0解得若，則f(x)0函數f(x)在上單調遞增.綜上所述：當時，函數f(x)在(-1,+)上單調遞減.當時，函數f(x)在上單調遞減，函數f(x)在上單調遞增.例3.已知函數，.是否存在實數，使在上是增函數，且在上是減函數？若存在，求出；若不存在，請說明理由.解：由，可得，先假設存在實數使在是增函數，且在上是減函數，由于是可導函數，所以，因為當時，說明函數在是增函數；當時，說明函數在上是減函數.綜上所述，滿足條件的存在，且.【點評】三次函數是高考命題的熱點之一，因為三次函數的導數是二次函數，以此為切入點，將二次函數、二次不等式、二次方程緊密聯系在一起。例4.（廣

14、東卷19）設，函數，試討論函數的單調性【解析】 對于，當時，函數在上是增函數；當時，函數在上是減函數，在上是增函數；對于，當時，函數在上是減函數；當時，函數在上是減函數，在上是增函數。三構造函數證明不等式.例5當時,證明不等式成立.證明:設,則,令,因為,當時, ,所以在上為增函數,而,所以,所以在上恒為正,即在上恒為正.所以在上為增函數,且.所以.即時, 成立.【點評】利用單調性證明不等式的常用思路是先構造函數,再借助導數確定單調性.一般地,證明,可以構造函數如果則在上是增函數,同時若由增函數的定義可知,時,有.即證明了例6.（08天津卷21）已知函數（），其中（）當時，討論函數的單調性；（

15、）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；（）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力滿分14分（）解：當時，令，解得，當變化時，的變化情況如下表：02000極小值極大值極小值所以在，內是增函數，在，內是減函數（）解：，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有解些不等式，得這時，是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是（）解：由條件，可知，從而恒成立當時，；當時，因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是四研

16、究函數的零點和極值點18.（廣東卷7）設，若函數，有大于零的極值點，則（ B ）ABCD19方程x33x+c=0在0，1上至多有_個實數根解：設f（x）=x33x+c，則（x）=3x23=3（x21）當x（0，1）時，（x）0. 方程x+a=0化為ax2+a2x16=0, 由=a4+64a0,得 x2=0, x20, x1 x2,且x2 x3.又方程有且只有二個不等實根 則x1= x3,即a=,則3a2=, a4=8a, 得a=0(舍)或a=20, 故當a=2時原方程f(x)=f(a)有且僅有兩個不同的實數解.例11.（08四川）已知是函數的一個極值點。（）求；（）求函數的單調區間；（）若直線

17、與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍。【解】：（）因為 所以 因此（）由（）知， 當時，當時，所以的單調增區間是的單調減區間是（）由（）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個單調區間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當因此，的取值范圍為。例12.（陜西卷21）已知函數（且，）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是（）求函數的另一個極值點；（）求函數的極大值和極小值，并求時的取值范圍解：（），由題意知，即得，（*），由得，由韋達定理知另一個極值點為（或）（）由（*）式得，即當時，；當時，（i）當時，在和內是減函數，在內是增函數，由及，

18、解得（ii）當時，在和內是增函數，在內是減函數，恒成立綜上可知，所求的取值范圍為例14.（2007年湖南文）已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故例16.已知橢圓方程為。問在橢圓上是否存在點到定點(其中)的距離的最小值為1，若存在，求出的值及點的坐標；若