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文檔簡介
1、2009高考二輪復習考點透析4-運用導數研究函數的圖象與性質考點:1。初等函數的導數; 2。導數的運算法則; 3.導數與切線;4.導數與函數的單調性(隱含不等式); 5.用導數研究函數的零點與極值點。一導數的幾何意義及其考查1.曲線過點(1,1)的切線方程為( )ABCD2.(全國一7)設曲線在點處的切線與直線垂直,則( )A2BCD3.在函數的圖象上,其切線的傾斜角小于的點中,坐標為整數的點的個數是( )A3B2C1D04曲線y=x過點(, 0)的切線的方程是 ( ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=05已知函數的解析式可能為( )ABC
2、D6.曲線y=sinx在點()處的切線方程是 .7曲線y= x+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點的坐標為 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函數的圖象在點處的切線方程是,則9. 對正整數n,設曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數列eq f(an,n+1)的前n項和的公式是 10.設曲線在點處的切線與直線垂直,則 11.直線是曲線的一條切線,則實數b ln2112.已知拋物線通過點P(1,1),且在點Q(2,-1)處與直線y=x-3相切。則實數的值為 例1.已知拋物線C1:y=x
3、2+2x和C:y=x2+a,如果直線l同時是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線,公切線上兩個切點之間的線段,稱為公切線段. ()a取什么值時,C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程;()若C1和C2有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段互相平分.二研究函數的單調性14.對于R上可導的任意函數f(x),若滿足(x1)0,則必有( )A.f(0)f(2)2f(1) B. f(0)f(2)2f(1) C. f(0)f(2)2f(1) D. f(0)f(2)2f(1)15設在內單調遞增,則是的()充分不必要條件必要不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件16.若函數y=x3+bx
4、有三個單調區間,則b的取值范圍是_17設函數,已知是奇函數,則求、的值為 18.求函數的單調增區間是 。例2. (2006山東)設函數,其中,求f(x)的單調區間.例3.已知函數,.是否存在實數,使在上是增函數,且在上是減函數?若存在,求出;若不存在,請說明理由.例4.(廣東卷19)設,函數,試討論函數的單調性三構造函數證明不等式.例5當時,證明不等式成立.例6.(08天津卷21)已知函數(),其中()當時,討論函數的單調性;()若函數僅在處有極值,求的取值范圍;()若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍四研究函數的零點和極值點18.(廣東卷7)設,若函數,有大于零的極值點,則( )AB
5、CD19方程x33x+c=0在0,1上至多有_個實數根例7.已知函數是否存在實數使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。例8.已知函數(1)求曲線在點處的切線方程;(2)設,如果過點可作曲線的三條切線,證明:例9.已知是二次函數,不等式的解集是且在區間上的最大值是12。(I)求的解析式;(II)是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。例10已知f(x)=x2+,問是否存在正實數a,使得關于x的方程f(x)= f(a)有且僅有兩實數解.若有求出這個實數a,若沒有請說明理
6、由。例11.(08四川)已知是函數的一個極值點。()求;()求函數的單調區間;()若直線與函數的圖象有3個交點,求的取值范圍。例12.(陜西)已知函數(且,)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是()求函數的另一個極值點;()求函數的極大值和極小值,并求時的取值范圍例13.(2007年湖南文)已知函數在區間,內各有一個極值點(I)求的最大值;(II)當時,設函數在點處的切線為,若在點處穿過函數的圖象(即動點在點附近沿曲線運動,經過點時,從的一側進入另一側),求函數的表達式例14.已知橢圓方程為。問在橢圓上是否存在點到定點(其中)的距離的最小值為1,若存在,求出的值及點的坐標;若不存在,請給
7、予證明例15設a0,f (x)=x1ln2 x2a ln x(x0).()令F(x)xf(x),討論F(x)在(0.)內的單調性并求極值;()求證:當x1時,恒有xln2x2a ln x1.考點透析4運用導數研究函數的圖象與性質考點:1。初等函數的導數; 2。導數的運算法則; 3.導數與切線;4.導數與函數的單調性(隱含不等式); 5.用導數研究函數的零點與極值點。一導數的幾何意義及其考查1.曲線過點(1,1)的切線方程為( )ABCD【錯解】 ,所求切線方程為:【錯因剖析】誤以為點(1, 1)在曲線上。求曲線上某點處的切線方程方程,與求曲線過某點處的切線方程的意義不同。前者所給點本身就是切點
8、,而后者有可能是切點,也有可能不是切點,而是曲線在另一點處的切線經過了這個點。【正解】點(1,1)不滿足曲線,因此點(1, 1)不在曲線上,設切點為,則有 ,過點P的切線方程:將點(1, 1)代入上式得所以切點為P(0,1),所以所求切線方程為:y=1.故選C2.(全國一7)設曲線在點處的切線與直線垂直,則( D )A2BCD3.在函數的圖象上,其切線的傾斜角小于的點中,坐標為整數的點的個數是( )A3B2C1D0解:,故選D4曲線y=x過點(, 0)的切線的方程是 ( C ) A. y=0 B. 3xy2=0 C. y=0或3xy2=0 D. x=0和3xy2=0解:設P(x0,y0)為曲線
9、y=x上的一點,則過P點切線的方程為:令得,又因為P(x0,y0)為曲線y=x上所以,解得,可得切線的方程是y=0或3xy2=0,選C5已知函數的解析式可能為( )ABCD6.曲線y=sinx在點()處的切線方程是 .解:切線方程是,即7曲線y= x+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點的坐標為 ( )A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,4)8已知函數的圖象在點處的切線方程是,則39. 對正整數n,設曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數列eq f(an,n+1)的前n項和的公式是2n+12 10.設
10、曲線在點處的切線與直線垂直,則 211.直線是曲線的一條切線,則實數b ln2112.已知拋物線通過點P(1,1),且在點Q(2,-1)處與直線y=x-3相切。則實數的值為 解:因為點P(1,1)在拋物線上,所以 因為過切點Q(2,-1)的切線的斜率又因為切點Q(2,-1)在拋物線上聯立可解得【點評】理清曲線F(x,y)=0、切點P(x0,y0)、切線L:三因素之間的關系是解決這類問題的關鍵,即聯立方程組求解。例1.已知拋物線C1:y=x2+2x和C:y=x2+a,如果直線l同時是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線,公切線上兩個切點之間的線段,稱為公切線段. ()a取什么值時,C1和C
11、2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程; ()若C1和C2有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段互相平分. 解:()函數y=x2+2x的導數y=2x+2,曲線C1在點P(x1,x+2x1)的切線方程是:y(x+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx 函數y=x2+a的導數y=2x, 曲線C2 在點Q(x2,x+a)的切線方程是即y(x+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x+a . 如果直線l是過P和Q的公切線,則式和式都是l的方程,所以 消去x2得方程 2x+2x1+1+a=0.若判別式=442(1+a)=0時,即a=時解得x1=,此時點P與Q重合.即當a=時C1
12、和C2有且僅有一條公切線,由得公切線方程為 y=x . ()證明:由()可知.當a0答案:b016設函數,已知是奇函數,則求、的值為 解:,。從而是一個奇函數,所以得,由奇函數定義得;17.求函數的單調增區間是 。錯解:在上是減函數,在上是增函數。又是減函數,所以函數的遞增區間是,遞減區間是。錯因分析:上述錯解忽略了函數的定義域是,而不是。正解:函數的定義域是。在上是減函數,在上是增函數。又上是減函數,所以根據復合函數的單調性,函數的遞增區間是,遞減區間是。例2. (2006山東)設函數,其中,求f(x)的單調區間.解:由已知得函數f(x)的定義域為,且(1)當時,f(x)0函數f(x)在上單
13、調遞減,(2)當時,由f(x)=0解得若,則f(x)0函數f(x)在上單調遞增.綜上所述:當時,函數f(x)在(-1,+)上單調遞減.當時,函數f(x)在上單調遞減,函數f(x)在上單調遞增.例3.已知函數,.是否存在實數,使在上是增函數,且在上是減函數?若存在,求出;若不存在,請說明理由.解:由,可得,先假設存在實數使在是增函數,且在上是減函數,由于是可導函數,所以,因為當時,說明函數在是增函數;當時,說明函數在上是減函數.綜上所述,滿足條件的存在,且.【點評】三次函數是高考命題的熱點之一,因為三次函數的導數是二次函數,以此為切入點,將二次函數、二次不等式、二次方程緊密聯系在一起。例4.(廣
14、東卷19)設,函數,試討論函數的單調性【解析】 對于,當時,函數在上是增函數;當時,函數在上是減函數,在上是增函數;對于,當時,函數在上是減函數;當時,函數在上是減函數,在上是增函數。三構造函數證明不等式.例5當時,證明不等式成立.證明:設,則,令,因為,當時, ,所以在上為增函數,而,所以,所以在上恒為正,即在上恒為正.所以在上為增函數,且.所以.即時, 成立.【點評】利用單調性證明不等式的常用思路是先構造函數,再借助導數確定單調性.一般地,證明,可以構造函數如果則在上是增函數,同時若由增函數的定義可知,時,有.即證明了例6.(08天津卷21)已知函數(),其中()當時,討論函數的單調性;(
15、)若函數僅在處有極值,求的取值范圍;()若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的最大值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力滿分14分()解:當時,令,解得,當變化時,的變化情況如下表:02000極小值極大值極小值所以在,內是增函數,在,內是減函數()解:,顯然不是方程的根為使僅在處有極值,必須成立,即有解些不等式,得這時,是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是()解:由條件,可知,從而恒成立當時,;當時,因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的,不等式在上恒成立,當且僅當,即,在上恒成立所以,因此滿足條件的的取值范圍是四研
16、究函數的零點和極值點18.(廣東卷7)設,若函數,有大于零的極值點,則( B )ABCD19方程x33x+c=0在0,1上至多有_個實數根解:設f(x)=x33x+c,則(x)=3x23=3(x21)當x(0,1)時,(x)0. 方程x+a=0化為ax2+a2x16=0, 由=a4+64a0,得 x2=0, x20, x1 x2,且x2 x3.又方程有且只有二個不等實根 則x1= x3,即a=,則3a2=, a4=8a, 得a=0(舍)或a=20, 故當a=2時原方程f(x)=f(a)有且僅有兩個不同的實數解.例11.(08四川)已知是函數的一個極值點。()求;()求函數的單調區間;()若直線
17、與函數的圖象有3個交點,求的取值范圍。【解】:()因為 所以 因此()由()知, 當時,當時,所以的單調增區間是的單調減區間是()由()知,在內單調增加,在內單調減少,在上單調增加,且當或時,所以的極大值為,極小值為因此 所以在的三個單調區間直線有的圖象各有一個交點,當且僅當因此,的取值范圍為。例12.(陜西卷21)已知函數(且,)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是()求函數的另一個極值點;()求函數的極大值和極小值,并求時的取值范圍解:(),由題意知,即得,(*),由得,由韋達定理知另一個極值點為(或)()由(*)式得,即當時,;當時,(i)當時,在和內是減函數,在內是增函數,由及,
18、解得(ii)當時,在和內是增函數,在內是減函數,恒成立綜上可知,所求的取值范圍為例14.(2007年湖南文)已知函數在區間,內各有一個極值點(I)求的最大值;(II)當時,設函數在點處的切線為,若在點處穿過函數的圖象(即動點在點附近沿曲線運動,經過點時,從的一側進入另一側),求函數的表達式思路啟迪:用求導來求得切線斜率.解答過程:(I)因為函數在區間,內分別有一個極值點,所以在,內分別有一個實根,設兩實根為(),則,且于是,且當,即,時等號成立故的最大值是16(II)解法一:由知在點處的切線的方程是,即,因為切線在點處空過的圖象,所以在兩邊附近的函數值異號,則不是的極值點而,且若,則和都是的極值點所以,即,又由,得,故解法二:同解法一得因為切線在點處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函數值異號,于是存在()當時,當時,;或當時,當時,設,則當時,當時,;或當時,當時,由知是的一個極值點,則,所以,又由,得,故例16.已知橢圓方程為。問在橢圓上是否存在點到定點(其中)的距離的最小值為1,若存在,求出的值及點的坐標;若
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