1、關于二重積分的計算 (2)第一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月一、問題的提出曲頂柱體的體積曲頂柱體：第二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月柱體體積=底面積高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體曲頂柱體的體積第三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月演示文稿1.ppt播放 求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區域，曲頂柱體的體積第五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月2。直角坐標系下的積分微元

2、我們利用直角坐標網分割D讓分割充分細，取D的被坐標網割出的一個典型子區域，設它是如圖的矩形，其面積為第六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月 先將二重積分化為二次積分，然后先后計算兩次定積分求得二重積分的值.第七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月如果積分區域 D 可表示為：其中函數 、 在區間 上連續.一、利用直角坐標系計算二重積分1、x型區域則 D 稱為 x型 區域 .x型區域的特點：穿過區域且平行于 y 軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.第八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的曲頂柱體體積的計算第九張，PPT共八

3、十三頁，創作于2022年6月如果積分區域 D 可表示為：其中函數 、 在區間 上連續.2、y型區域則 D 稱為 y型 區域 .y型區域的特點：穿過區域且平行于 x 軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.第十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算第十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月例1解 將 D 看作 x 型區域, 則D=(x , y)| 0 y x ，0 x 1 ,第十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月例1解 將 D 看作 y 型區域, 則D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , 第十三張，PPT共八十三頁，創

4、作于2022年6月如果積分區域 D 可表示為 x型 區域又可表示為 y型 區域 ，且 f(x,y)在D 上連續，則有：為計算方便,可選擇積分次序,采用哪一種次序積分通常取決于被積函數的結構. 必要時還可以交換積分次序. 第十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解 將 D 看作 y 型區域 , 則D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , 第十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第十六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月3、一般情形如果積分區域 D 不是 x型 區域也不是 y型 區域 ，可用平行坐標軸的直線段分割，把D 分割為若干個x型或y型區域，在每個小區域上計算

5、二重積分，在各個小區域上的積分之和就是D 上的二重積分.若區域如圖，在分割后的三個區域上分別使用積分公式則必須分割.第十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月計算二重積分的幾點說明：1) 化二重積分為二次積分的關鍵是：確定二次積分的上、下限，而二次積分中的上、下限又是由區域 D 的幾何形狀確定的，因此計算二重積分應先畫出積分區域 D 的圖形.2) 第一次積分的上、下限是函數或常數，而第二次積分中的上、下限一定是常數，且下限要小于上限.3) 積分次序選擇的原則是兩次積分都能夠積出來，且區域的劃分要盡量地簡單.第十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解將 D 看作 y 型區域, 則兩

6、曲線的交點第十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月例4解 將 D 看作 x 型區域, 則第二十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解注意：正確選擇積分次序相當重要 . 第二十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解積分區域如圖如何變換積分次序：將給定的二次積分化為二重積分，然后再將二重積分化為另一個次序的二次積分.如何變換積分次序：根據所給積分寫出 D 的邊界曲線，再寫出另一個區域表示式，即可寫出另一個次序的二次積分.第二十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解積分區域如圖第二十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解原式第二十四張，PPT共八十三頁，創作于2

7、022年6月解: 積分域由兩部分組成:視為y 型區域 , 則練習： 交換下列積分順序第二十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第二十六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第二十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月 當二重積分的被積函數中含有絕對值函數、取大或取小函數 (max 或 min ) 等特殊函數時，如何計算二重積分的值？ 一般是將積分區域適當分塊，使被積函數在各子塊上都表示為初等函數形式，然后分別計算.第二十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月例

8、10解先去掉絕對值符號，如圖第二十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第三十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月小結：用直角坐標計算二重積分x型y型確定積分次序時要注意:1、考慮積分區域的特點，分塊越少越好 .2、考慮被積函數的特點，使第一次積分容易積出，并能為第二次積分的計算創造有利條件.第三十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月利用積分域和被積函數的對稱性 計算二重積分第三十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第三十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第三十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第三十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月A

9、第三十六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第三十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月二、利用極坐標系計算二重積分第三十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月一、重積分的換元積分法 定理1：設f（x，y）在有界閉區域D連續，在D上具有一階連續偏導數的函數把D映射為uv平面的區域D，其逆變換記成又設 行列式 則第三十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月例1 f(x，y)在閉區域Dxy連續，則極坐標變換它把 變成 ， 行列式故第四十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月三、利用極坐標系計算二重積分第四十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月二重積分化為二次積分

10、的公式（）1、極點O在D的外部區域特征如圖第四十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月區域特征如圖第四十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月二重積分化為二次積分的公式（）區域特征如圖2、極點O在D的邊界上第四十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月極坐標系下區域的面積二重積分化為二次積分的公式（）區域特征如圖3、極點O在D的內部第四十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點, 試問 的變化范圍是什么?(1)(2)第四十六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第四十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第

11、四十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月法二:積分區域關于 x 軸對稱,第四十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解第五十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解第五十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解第五十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解第五十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解由于 的原函數不是初等函數 ,故本題無法用直角坐標計算.第五十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解利用例7可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式第五十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月同理 第五十六張，PPT共八十三頁，創

12、作于2022年6月第五十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月解第五十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第五十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）三、小結y型x型（在積分中注意使用對稱性）第六十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）第六十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分次序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(可利用

13、對稱性)第六十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分次序 寫出積分限 計算要簡便積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(可利用對稱性)第六十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第六十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月三、二重積分的應用曲頂柱體的體積為：2求非均勻薄片的質量第六十五張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月利用二重積分可以計算空間立體的體積.例1 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設兩個直圓柱方程為利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為第六十六張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月則所求體積為第六十七張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月被圓柱面所截得的解: 設由對稱性可知例2 求球體(含在柱面內的)立體的體積.第六十八張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月思考題1第六十九張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月思考題解答第七十張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第七十一張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月思考題2第七十二張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月思考題解答第七十三張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月練 習 題第七十四張，PPT共八十三頁，創作于2022年6月第七十五張，PPT共八十三頁，創作于2