1、yaya適用教材：適用年級:授課人： 函 數 單 調 性的定義與證明回顧舊知定義域：值 域：表示方法：函 數： 一般地給定兩個非空集合A與B，以及對應關系f,如果對于集合A中的每一個實數x,在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應,則稱f為定義在A上的一個函數，記作y=f(x),xA，其中x稱為自變量,y稱為因變量自變量x的取值范圍,即數集A稱為這個函數的定義域因變量y的取值范圍,即數集B稱為這個函數的值域列表法;圖像法;解析式法 1 2 3 4 5 6 7 8 9100%80%60%40%20%記憶保持量時間間隔/h艾賓浩斯記憶曲線情景與問題y=f(x)xy正比例函數與反比例函數x-2-101

2、2y-4-1014x-3-2-1123y-1/3-1/2-111/21/3y-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 4321-1-2-3-44321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y函數單調性的定義O x1 x2O x1 x2f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)圖1圖2一般地，設函數y=f(x)的定義域為D，且ID:(1)如果對任意x1,x2I,當x1x2時,都有f(x1)f(x2),則稱y=f(x)在I上是增函數(也稱在I上單調遞增);如圖1所示。(2)如果對任意x1,x2I,當x1f(x2),則稱y=f(x)在I上是減函數(也稱在I上單調遞減);如圖2所示。

3、以上兩種情形，我們都稱函數在I上具有單調性（當I為區間時，稱I為函數的單調區間，也可以區分開來，情形1稱I為函數f(x)的單調遞增區間，情形2稱I為函數f(x)的單調遞減區間）。對照增函數，大家能否自己試著寫出減函數的定義呢？xxyy辨析1：若定義在-2,3上的函數f(x)滿足f(-2)f(3),則函數在-2,3上一定是增函數嗎？x-2-10123y-4-20-1-2-34321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y定義辨析1辨析2：既然函數上的一、兩個點滿足大小關系不行，那么無窮多個點呢？如果函數f(x)在區間-2,2上,存在無窮多個x1和x2滿足當x1x2時,都有f(

4、x1)f(x2),那么函數f(x)在這個區間上是增函數嗎?4321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 x yx-2-1012y41014定義辨析2辨析3：辨析2中的二次函數在區間(-2,0上單調遞減，在區間2,+)上單調遞增，一個遞減一個遞增，所以它并不具有整個定義域上的單調性。那么，把一個函數的定義域分成兩個或兩個以上子區間，在每一個子區間上，函數都是單調遞減的，那么該函數在整個定義域上是單調遞減的嗎？x-3-2-1123y-1/3-1/2111/21/3定義辨析3y-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 4321-1-2-3-4如圖函數y=f(x),在-6,-4上呈上升趨勢

5、，該函數的函數值y隨著自變量x的增大而 ，是 ；在-4,-2區間上呈下降趨勢函數值y隨著x的增大而 ，是 ；同理，在-2,1上是 ，在1,3上是 ，在3,6上是 。-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x y增大增函數減小增函數減函數減函數增函數嘗試與發現優點：根據函數的圖像的上升或下降的趨勢，我們能很方便地看出函數的單調性，因此畫出函數的圖像是一種直觀且有效的方法。缺點：通常情況下得到函數的圖像并不容易，而且手工作出的圖像往往不精確，不能準確的判斷函數的單調性。例如：在上圖中，我們把函數的圖像沿x軸向左移動0.1個單位長度，你能用肉眼能看出這兩個函數圖像的之間的區別

6、嗎？這顯然是很困難的。問題：那么，我們通過什么樣的方法能準確的判斷函數的單調性呢？函數單調性的定義通過圖像判斷函數的單調性例1：求證：函數f(x)=-2x在R上是減函數。定 義本 題函數y=f(x)的定義域為D，有ID，本題，函數f(x)= - 2x的定義域為R,也就是定義中的I.對任意的x1,x2I，x1x2，任取x1,x2R且x1x2，與定義中的大小關系對應，此時有x1-x2f(x2),稱y=f(x)在I上是減函數。判斷f(x1)和f(x2)的大小關系,f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)0，從而f(x1)f(x2),根據定義給出最終判斷：函數f(x)=-2

7、x在R上是減函數.證明：任取x1,x2R且x1x2，則x1-x20從而f(x1)f(x2)因此，函數f(x)=-2x在R上是減函數。通過定義證明函數的單調性通過定義證明函數單調性的一般步驟1任取x1,x2I，并假定它們之間的大小關系（x1x2）第一步3下結論，即指出函數f(x)在集合I上的單調性第三步通過計算判斷f(x1)和f(x2)之間的大小關系第二步2函數最值和最值點的定義如果對于任意xD,都有 ,則稱f(x)的 為f(x0),而x0稱為f(x)的 。一般地,函數f(x)的定義域為D,且x0D:如果對于任意xD,都有 ,則稱f(x)的 為f(x0),而x0稱為f(x)的 。f(x)f(x0

8、)最大值最大值點f(x)f(x0)最小值最小值點相應的，你能自己寫出函數的最小值和最小值點的定義嗎？函數的最大值和最小值統稱為函數的最值；函數的最大值點和最小值點統稱為函數的最值點。最值點定義注意事項最值點的定義有哪些地方跟我們的直覺不一樣呢？叫點不是點！雖然最值點的名字中有點，但它并不是一個點也不是一個點的坐標；而是當函數值取得時大值或最小值時與函數值對應的橫坐標的值。函數最值和最值點例題例2：函數f(x)=x2-2x,請回答下面的問題。求函數f(x)在區間0,1上的單調性，及在該區間上的最大值、最小值、最大值點、最小值點。求函數f(x)在區間1,3上的單調性，及在該區間上的最大值、最小值、

9、最大值點、最小值點。求函數f(x)在區間0,3上的單調性，及在該區間上的最大值、最小值、最大值點、最小值點。解：任取x1,x20,1,且x1x2x1,x20,1,且x1x2x1+x22,x1-x20即f(x1)f(x2)所以f(x)在區間0,1上是減函數因此,當0 x1時,有f(0)f(x)f(1)而f(0)=0,f(1)=-1從而，在區間0,1上f(x)的最大值為0,最小值為-1最大值點為0，最小值點為1任取x1,x21,3,且x1x2x1,x21,3,且x12,x1-x20(x1+x2-2)(x1-x2)0即f(x1)f(x2)所以f(x)在區間1,3上是增函數因此,當1x3時,有f(1)f(x)f(3)而f(1)=-1,f(1)=3從而，在區間1,3上f(x)的最大值為3,最小值為-1最大值點為3，最小值點為1由、知，在區間0,3上函數f(x)沒有單調性最大值為3，最小值-1最大值點為3，最小值點為1有些函數的函數值具有隨著自變量