1、 矩陣論復(fù)習(xí)一. 線性空間1. 線性空間的概念2. 線性空間的基，維數(shù)與坐標(biāo)（基變換與與坐標(biāo)變換）3. 線性子空間的概念與運(yùn)算 (1)定義 (2) 運(yùn)算（交與和，直和）1 1. 判斷 1，sinx, cosx 的線性相關(guān)性. 2. 若1, 2, , r線性無(wú)關(guān)，則向量組1= 1+k1r , 2= 2+k2r , , r= r (kiK)也線性無(wú)關(guān). 3. 求向量組分別生成的子空間的交的基和維數(shù).24. 設(shè) V1, V2 分別是證明 Kn=V1V2 5. 設(shè) S,A,T分別為Knn中對(duì)稱，反對(duì)稱，上三角方陣構(gòu)成的子空間，證明： Knn=S A , Knn=T A . 3二. 線性變換 1.定義

2、T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( ) 2. 線性變換的值域與核 R(T)=L(T(1),T(2),T(n),N(T)=T()=,V 3.線性變換的矩陣 T (1,2,n)=(1,2,n)A rankT=rankA, nullT=n-rankA（1,2,n 為 線性空間V 的一個(gè)基） 4. 線性變換的運(yùn)算 加法，數(shù)乘，乘法，逆，多項(xiàng)式.4 5. 化簡(jiǎn)線性變換的矩陣 (1) 線性變換的特征值與特征向量 (2) 在不同基下的矩陣相似 (3) C上的線性空間V上的T ，一定存在V的一個(gè)基使得T在該基下的矩陣是Jordan矩陣 (4) C 上的線性空間Vn上的T，存在V的一個(gè)基使得T在該基

3、下的矩陣為對(duì)角陣 T有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 (5) Hamilton 定理與矩陣的最小多項(xiàng)式56. 不變子空間 定義: W是V的子空間，T是V的線性變換，如果對(duì)W, 有T()W,則W是T 的不變子空間.6 1. 求K22上的線性變換 T：T(X)=AX的值域R(T)與核N(T)的基與維數(shù), 其中設(shè)T,S 是V 的線性變換，T2=T, S2=S , ST=TS, 證明 (S+T)2=S+TST=O.3. 設(shè)T, S 是V 上線性變換，且T2=T, S2=S ，證明 (1) R(T)=R(S)TS=S, ST=T (2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S設(shè)Px2的線性變換T T(a+bx

4、+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求Px2的一個(gè)基，使T 在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣. 75. 設(shè)V 是C 上的n維線性空間，T是V上的線性變換，其中1,2,n是V 的一個(gè)基.證明：V 的包含n的T 的不變子空間只有V.86. 設(shè)線性空間V3的線性變換T 在基1,2,3下的矩陣證明：W=L(2-1, 3-1)是T 的不變子空間.97. 求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形8. 求下列矩陣的最小多項(xiàng)式109.設(shè)A 是一個(gè)6階方陣，其特征多項(xiàng)式為 ()=(+2)2(-1)4, 最小多項(xiàng)式為mA()=(+2)(-1)3, 求出A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 10.對(duì)于n 階方陣A，如

5、果使Am=O成立的最小正整數(shù) 為m，則稱A是m次冪零矩陣，證明所有n階n-1次冪 零矩陣彼此相似，并求其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.11歐式空間與酉空間 1. 定義 ,度量矩陣(,)=xTAy,A是某基的度量矩陣,x和y分別是 和 在該基下的坐標(biāo)) 2. 正交基與規(guī)范正交基(sthmidt 正交化) 3. 正交補(bǔ) 4. 對(duì)稱變換與正交變換(T,)=(,T)T在規(guī)范正交基下的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣.(T,T)=(,) T 在規(guī)范正交基下的矩陣為正交矩陣. 5. n階方陣酉相似于上三角矩陣n 階方陣A 酉相似對(duì)角矩陣A是正規(guī)矩陣.12練習(xí)題 1. 在歐式空間R22中的內(nèi)積為取（1）求W的一個(gè)基；（2）利用W與W的基求R

6、22的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 2. 已知?dú)W式空間Vn的基1,2,n的度量矩陣為A,證明在Vn中存在基1,2,n，使?jié)M足13設(shè)1,2;1, 2是歐式空間V2兩個(gè)基, 又 1=1-22, 2=1-2, (1,1)=1, (1,2)=-1 ,(2,1)=2,(2,2)=0分別求基1,2與1,2的度量矩陣.4. 設(shè)實(shí)線性空間Vn的基1,2,n，設(shè)，Vn在該基下的坐標(biāo)分別為(1,n)T,(1,n)T; 定義(,)=11+nn證明 ：（1）(,)是Vn的內(nèi)積；14 （2）在該內(nèi)積下，基1,2,n是Vn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)ARmn，證明在列向量空間Rm中， R(A)=N(AT)設(shè)T是n 維Eulid空間V 的線性變換

7、， T(1,2,n)=(1,2,n)A證明：T 為對(duì)稱變換 ATG=GA，其中G為1,2,n的度量矩陣.7. 設(shè)n 維Eulid空間Vn的基1,2,n的度量矩陣為G , 正交變換T 在該基下的矩陣為A，證明 :(1)T1,T2,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.158. 設(shè)1,2,n是n維歐式空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，T是V中的正交變換，由1,2,r(rn)生成的r維子空間W=L(1,2,r)是T的不變子空間，證明：W的正交補(bǔ)空間 W=L(r+1,r+2,n)也是T 的不變子空間.9. 設(shè)矩陣空間R22的子集V=X=(xij)x11+x22=0(1) 驗(yàn)證V是R22的子空間，并求V的一個(gè)基。16(

8、2) 給定V中的變換T：TX=X+XT(XV),驗(yàn)證T是線性變換。(3) 求T的全體特征值與特征向量。9. 給定線性空間V6的基x1,x2,x6及線性變換T：Txi=xi+2x7-i （1）求T的全部特征值與特征向量； （2）判斷是否存在另一個(gè)基，使T在該基下的矩陣是對(duì)角矩陣？若存在，把它構(gòu)造出來(lái)。17V 中的線性變換為T(X)=XP +XT, 任意XV， 1. 給出子空間V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基； 2. 驗(yàn)證T 是V 中的對(duì)稱變換； 3. 求V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使T 在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣. 10. 已知?dú)W式空間R22 的子空間中的內(nèi)積為 18第2章 范數(shù)理論向量范數(shù) 1.定義 2.結(jié)論：l

9、p范數(shù) 3.等價(jià)性二.矩陣范數(shù) 1. 定義 2.結(jié)論： 3.等價(jià)性19習(xí)題：證明：Cnn 中的矩陣范數(shù) 與 等價(jià).證明: Cnn 中的矩陣范數(shù) 與Cn中的向量范數(shù) 相容。3. 設(shè)A=(aij)mn,定義實(shí)數(shù)證明： 是Cmn中的矩陣范數(shù)，且與向量的2-范數(shù)相容.204. 設(shè)可逆矩陣SRnn, 且 是Rn中的向量范數(shù). 若 表示Rnn中從屬于向量范數(shù) 的矩陣范數(shù)，試導(dǎo)出 與矩陣2-范數(shù)之間的關(guān)系.5. 設(shè)Vn 是數(shù)域R上的線性空間，xVn在基 (I) x1,x2,xn下的坐標(biāo)為=(a1,a2,an)T. (1)證明： 是Vn中的向量范數(shù)。 (2)設(shè)xVn在基 (II) y1,y2,yn下的坐標(biāo)為=

10、(b1,b2,bn)T,且由基 (I) 到基 (II) 的過(guò)渡矩陣為C，21證明： C為正交矩陣.6. 給定矩陣A,BCnn,且B可逆，定義驗(yàn)證 是Cn中的向量范數(shù)。7. 設(shè) ，證明22第3 章 矩陣分析及其應(yīng)用矩陣序列Ak矩陣級(jí)數(shù) 收斂(A)r矩陣函數(shù) (定義，AB=BAeAeB=eA+B)矩陣的微積分 ( )一階線性常系數(shù)（非）齊次微分方程組dx/dt=Ax, 通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b 通解：x(t)=etAc+etA23習(xí)題：設(shè)n階方陣A 不可逆，則cosA亦不可逆。( )設(shè)A是n階Householder矩陣，則cos(2A)=已知 ，判定 收斂的根據(jù)是( ), 冪級(jí)

11、數(shù)的和是( ).4.已知 ,則矩陣冪級(jí)數(shù) 是( ),其理由是( ).5. 設(shè) ，則矩陣冪級(jí)數(shù) 是( ).246.已知 ,則sin(At)=( ).7. 設(shè) (aR),則矩陣冪級(jí)數(shù) 收斂a( ).8. 設(shè) ， ,則25 （ ）.9. 設(shè)A 是可逆矩陣，則 ( ).10. 已知 (1) 求etA; (2)用矩陣函數(shù)的方法求微分方程 滿足初始條件x(0)=(0,1,1)T的解.2611. 設(shè)X=(xij)nnRnn, 則 ( ).12. 已知 求 A.13.已知求 A.27第4章 矩陣分解三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky） 存在A的i 階順序主子式(0in

12、)不為零。二. QR分解 存在三. 滿秩分解四. 奇異值分解28習(xí)題：設(shè)Hm是m階Householder矩陣，In-m是n-m階單位矩陣(mn)，則 是n階Householder矩陣.2.設(shè)Tm是m階Givens矩陣, In-m是n-m階單位矩陣(m1),則AB的特征值是（ ）。7. 已知矩陣Amn,Bnm及Cmm，則方程組AXB=C有解的充分必要條件是（ ）。8. 設(shè)A，B都是酉矩陣，則(AHB)(ABH)=( ).9.設(shè)ACnn,有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1,2,n,則AA的n2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是（ ）。3810. 設(shè)x是m維列向量，y是n維列向量，則 ( ).11. 已知 ，則AI+A

13、2A的全體特征值為( ).12. 設(shè)xRn是單位列向量，ARnn是正交矩陣，則13. 已知A與B的特征值分別為1,2,n與1,1,n, 則矩陣方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零解的充要條件是( ).39第6章 廣義逆投影與正交投影 P是投影矩陣P2=P； P是正交投影矩陣P2=P，PH=P。二. 廣義逆的定義與性質(zhì) 1. A+存在且唯一； 2. rankA(1)rankA,rankAA(1)=rankA(1)A=rankA, rankA+=rankA 3. A(1)A=I A為列滿秩矩陣； AA(1)=I A為行滿秩矩陣。40三. 應(yīng)用1. AXB=C有解 AA(1)CB(1)B=C通解：X=A(1)CB(1)+(Y-A(1)AYBB(1)2. Ax=b有解 AA+b=b通解：x=A+b+(I-A+A)y; 極小范數(shù)：x=A+b3. 矛盾方程Ax=b 的最小二乘解： x=A+b+(I-A+A)y極小范數(shù)最小二乘解：x=A+b41四. 算法 A=FG(滿秩分解), A+=G+F+=GH(GGH)