1、博弈論與經濟分析(不完全信息靜態)第四章不完全信息靜態博弈不完全信息意味著至少有一個參與者不能確定另一個參與者的收益函數，或者說類型。我們用一個例子來引入要討論的問題：例：信息不對稱條件下的古諾模型市場：P(Q尸a-Q,Q=q1+q2企業1:C1(q1)=cq1企業2：以的概率為高成本，即C2(q2)aq2；以1的概率為低成本，即C2(q2)cLq2。當然，cHcL。信息不對稱：企業2知道自己的成本，也知道企業1的成本；企業1知道自己的成本，但是只知道企業2成本狀況的概率分布。以上都是公共信息，即企業1知道企業2享有信息優勢，企業2知道企業1知道，企業1也知道企業2知道企業1知道如此等等。解題

2、：企業1會預測企業2在不同情況下的最優選擇：當企業2為高成本時max(aq1q2)cHq2q2當企業2為低成本時max(aq1q2)cLq2q2既然企業只知道企業2成本情況的概率分布，則企業1只能根據上述預測最大化自己的期望收益：max(aqq2(cH)cq(1)(aqq2(CL)cqq1以上三個優化問題的一階條件為：q2(cH)a qcH2q2(c_)aqCl2q1aq2&)c(1)aq?。)c2聯立求解：a2cHc1q2(CH)(cHcL)36二illrq2)a 2cL ca 2c qi3CH-(ChCl)6(1)Cl比較該結果與完全信息條件”條件下結果的不同。作業：說明企業2在兩種成本下

3、是否因為信息優勢”得到了好處？是應該鞏固該優勢還是向企業1公開信息？一、靜態貝葉斯博弈的標準表述完全信息靜態：G=S1,Sn;u1,un在靜態博弈條彳下，策略S就是一個行動A(當然，動態博弈則不同)，于是我們可以寫作G=A1,An;u1,un。通常而言，收益就為ui(a1,an)但是在非完全信息靜態條件下，每個人知道自己的得益”情況，但是并不了解別人的情況，比如前面例子中的成本”。我們記ti為參與者i的類型，于是，其得益函數可寫作ui(a1,a2;ti)即，不同類型的參與者在同樣的行動組合下的收益取決于其類型ti。tiT,前面例子中T2=cL,cH,T1=c當然，不同類型”也可影響到行動集”，

4、某些類型能采取的行動，另一些類型可能并不能采用。但是，我們將其處理為參與者i所有類型的行動集都一樣，而那些對于某種類型不能采取的行動”我們認為該行動帶來的收益為-8。于是，將行動集上類型的差別也納入收益函數”上了，所以，一般我們認為類型只影響收益狀況。令tit1,ti1,ti1,tn,tiTipi(ti|ti)為參與者知道自己類型是ti后，對其他參與者類型的推斷，即信念(belief)。通常，參與者的類型是相互獨立的，于是該推斷也可寫作P1,P2,Pn。定義一個n人靜態貝葉斯博弈的標準表述包括：參與者的行動空間A1,An,他們的類型空間T1,Tn,他們的信念p1,pn,以及他們的收益函數u1,

5、un。參與者i的類型ti作為其私人信息，決定了其收益函數ui(a1,an;ti)參與者i的信念Pi(ti|tj描述了i在給定自己類型ti時，對其他n-1個參與者可能類型的估計。我們用G=A1,An;T1,Tn;p1,pn;u1,表7,un一博弈。海塞尼”轉換：引入0博弈方自然”自然賦予博弈各方類型ti每個參與者只知道自己的類型，并根據信念選擇行動ai各方得到收益ui(a1,an;ti)CZ1111111111以上表述的兩個問題：2,同時，i參與者的得ui(a1,.,an;t1,飛顛小人aj來影響i的收益的，1、參與者可能會掌握其他參與者信息，比如前面例子中的企業益不僅僅取決于自己的類型ti,受

6、到其他人的類型的影響，寫作覺得后面這個問題不存在，因為其他參與者類型的影響應該是通過對包才j考慮到i的類型，改變行動影響到自己的收益)2、信念是根據先驗概率可引p(t),通過貝葉斯法則得出的。Pi(ti,ti)Pi(ti,ti)tiTi定義(靜態貝葉斯博弈的策略”)：在靜態貝葉斯博弈G=A1,An;T1,Tn;p1,pn;u1,un沖，參與者i的一個策略是一個函數si(ti),即si:TiA。當然，按照這樣的定義，參與人i的策略集Si就是一個函數的集合。問題：當自然將類型ti告訴參與者i的時候，i知道自己的類型，為什么還要考慮自己其他類型時會選擇的行動呢？(按照策略”的定義，他的策略由其所有可

7、能類型下會采取何種行動這樣的對應關系構成)因為，j不知道他白類型，j會預測i在不同類型下的選擇，這會影響到j的選擇，從而影響到i自己的選擇，于是i必須考慮自己可能出現的類型下所選擇的行動。(考慮前面古諾模型的例子)定義(純策略貝葉斯納什均衡)在靜態貝葉斯博弈G=A1,An;T1,Tn;p1,pn;u1,un沖，策略組合s(s1,.,Sn)是一個純策略貝葉斯納什均衡，若對于任意參與者i,ti工，s(ti)滿足max5(5(3),.,與1(t1),a,s1(t1),.，Sn(tn);t)p(ti|ti),這aiAtiTi個時候，沒有參與者愿意改變自己的策略。以上定義容易推廣到混合策略，以及有限博弈

8、的貝葉斯納什均衡的存在性證明也和完全信息的類似。第五章拍賣理論第一節關于拍賣的介紹拍賣的要義在于拍賣者和競拍者對標的物的價值的不確定:privatevalueinterdependentvalueZllIIIrcommonvalue關于privatevalueauction:DutchauctionBidlowerthantheprivateevaluationoftheobject,equivalentto1stpricesealed-bidauctionEnglishauctionAnnouncelowerequivalentton2pricesealed-bidauction例1:競拍者

9、對標的物的私人價值以0.5的概率為1或者2,出價必須為0.4的倍數。是證明b(1)=0.8以及b(2)=1.2是一個均衡出價策略。(當參與者2堅持此策略時，參與者1采用此策略是最優選擇)第二節私人價值拍賣一、1stpricesealed-bidauctionConsidertwobidderswithindependentvaluesdrawnfromtheuniformdistribution0,1Consideralinearsolution: TOC o 1-5 h z b1(t1)a101tlG0b2(t2)a2c2t2c20Itsreasoleatofurtherassumea1a2

10、0andc1c2c(why?)Asaresult,b1(t1)ct1,d(t2)ct2Biddersmaximizationproblem1maxPrbj(tj)bi(tibi)Pg(tj)bi匚(tib)Prbj(tj)bj0bi2maxPrbj(tj)b(tbi)NotethatPrbj(tj)bPrctjbjPrtjbcbi/cSowegotthebiddersoptimizationproblemas:max(tibi)b/cbi TOC o 1-5 h z f.o.c(ti2bi)/c0whichmustholdwhenbicti,sowecansolvec=1/2biti/2whe

11、ntherearenbidders,wecansolveb(n1)ti/n匚llIImaxjiPrbj(tj)bj(tb)max(tibi)(b/c)n1b TOC o 1-5 h z 1n2n1f.o.c(n1)(b/c)(tibi)(bi/c)0cl(bi/c)n2(n1)(tibi)0cti(n1)(tibi)bi0biInfact,linearsolutionisnotnecessary,Assumethateachtihasthesameprobabilitydensityfunctionf()definedon0,1.AstrategyforbidderIisa(monotonou

12、s?)functionthatmapsvalueintobids:i:0,1RFocusonsymmetricequilibra,thatmeansallbiddersfollowthesamestrategy3Considerthecaseifbidderi.assumethatherbidisx,shewinsiffxbj,notethatbj=3(t.Thus,iwinsiffxj),Mhatmeansti0(bv)ifHb,v-H；ifbHvb=v+d,d0(bv)ifHv,v-H，ifvHb,visbetter;ifbv三、RevenueEquilibriumPrinciple(等價

13、定理)Twoauctionsaresaidtobearevenueequivalentiftheyresultinthesameexpectedsalesprice.Itisanimportantissueforasellerwhowantstoholdanauctiontosellheritemforthehighestpossibleprice.Ifonetypeofauctionisfoundtogeneratehigheraveragesalerevenue,thenthatauctiontypewillbeobviouslybepreferredbytheseller.Thereve

14、nueequivalencetheoremstatesthat,ifallbiddersarerisk-neutralbidderandhaveindependentprivatevaluefortheauctioneditems,thenallfourofthestandardsingleuniteauctionshavethesameexpectedsalesprice(orsellersrevenue).兩個假設是1、風險中性2、私人價值獨立具體來說，如果滿足風險中性、私人價值獨立且滿足0,1上得均勻分布，賣方沒有保留價格，則賣方期望得益是(n-1)/(n+1)Proof,Inthe1s

15、tpricecase,theexpectedrevenueofthesellerdependsonthedistributionofthehighestprivateevaluationoftheobject.Thehighestevaluationfallsintotheintervalwithprobabilityofnxn-1dx,andthebidderbids(n-1)x/n,preciseuptoo(dx).Asaresult,theexpectedrevenueforthe1,n1一n11n1selleris:ER(x)nxdx(n1)xdx0n0n1llxx+dxInthe2n

16、dpricecase,theexpectedpayofftothesellerdependsonthedistributionofthe2ndhighestprivatevalue.Theprobabilityofthisvaluefallingintotheintervalx,x+dxisn(n-1)(1-x)xn-2dx.Inthiscasetherevenueforthesellerisx,preciseuptoo(dx)?Thustheexpectedrevenuefortheselleris:ERxn(n 1)(1 x)xn 2dx n(n 1)(xn1 xn)dx四、雙向拍賣買方和

17、賣方都存在私人信息，賣方確定一個賣價Ps,買方同時給出一個買價pb,如果pb= ps,則交易以p ( Pb Ps )/2成交，如果pbps,則不發生交易。買方對標的物的估價為vb,賣方估價為Vs ,雙方估價為私人信息且服從0,1區間的均勻分布。若成交價為p,則買方得益為Vbp,賣方得益為p Vs,交易不發生，則雙方得益為0。買方策略為 pb (Vb) ,買方策略為Ps(Vs),分別是以下優化問題的解:maxvbpb E ps(Vs) | pbPs(Vs)Pr pbPs(vs)maxPsPsE Pb(Vb) | Pb(Vb)PsVsPr Pb(Vb)Ps1、單一價格均衡(口價”)2、線性解任意一

18、方的出價策略為線性的pi(vi)aicivi,其中ib,s。(一方策略為線性，另一方的最優反應也是線性的，why?)llMyerson和Satterthwaite（1983）證明了，若估價為均勻分布，雙向拍賣的線性均衡中參與者的期望得益高于其他形式的貝葉斯納什均衡。這意味著，在雙向拍賣中不存在這樣的貝葉斯納什均衡：當期僅當交易有效率時（VbVs）交易發生。（如何考慮其他所有形式的貝葉斯納什均衡？見后面的顯示原理”）第三節公共價值拍賣與贏者的詛咒”Priortotheauction,theonlyinformationavailabletothebidderisherownsignal,Xi=x

19、.Basedonthisinformation,thebiddersestimateoftheitemenbyEV|Xi=xalueisgiSupposeobjectissoldviaa1stpriceauctionandbidderIwontheauction.Ifallbiddersaresymmetricandfollowsamestrategy,thisrevealstobidderithatthehighestoftheotherN-1signalsislessthanx.Uponwinningtheauction,theestimatedvaluetothewinnermustbe

20、revisedasEV|Xi=x,Xjx,allj豐iwhichislessthanEVXi=x.Announcementthatbidderhaswontheauctionleadtoadecreaseinestimatedvalue.Failuretoforeseethiseffectandaccountforitwhenformulatingbiddingstrategyresultsin“winnerscursebidderpaysmorethanthevalueoftheobject.Thatmeans“winnerscurseonlyariseifbiddersdonotcalcu

21、latevalueofwinningcorrectlyandoverbiddoesnotariseinequilibrium.Thereisanobjectofwhichthecommonvalueisnotknowntotwobidders.Bidderi(i=1,2)receivesasignalsiaboutthevalue,andsiiseither$1or$2,eachwithaprobabilityof0.5.Supposethetruevalueoftheobjectis(s1+s2)/2.Theobjectissoldthrougha1stpricesealedbidaucti

22、on,andthebidsmustbemultipleof$0.2.Whenbothbidthesameamount,theoutcomeisdeterminedbyadraw.Firstconsiderthecasethebidder1receivethesignalsi=$2.Ifshebids$1.8andshewins,thenitispossiblethatthesignalreceivedbybidder2iss2=$1,andasaresultthetruevalueoftheobjectis$1.5.Thereforebidder1winstheobjectbutwithaec

23、onomicloss.ThisiswinnerNowletusverifythefollowingisanequilibriumbiddingrules:bidding$0.8ifsignalreceivedis$1,bidding$1.2ifthesignalreceivedis$1.2.Assumingbidder2bidsaccordingtotherule,considerthecasewhenbidder1receivesasignals1=$1.Ifshebidsanyamountbelow$0.8,shelosetheobject,getting$0surplus.Ifshebi

24、ds$0.8,thenwithhalfchanceshehasadrawwithbidder2,withhalfchanceshelosetheobject.Inthedrawshewinstheobjectwithhalfofthechance.Thusherexpectedsurplusis$0.05.Ifshebidscz111111r-11$1orabove,sheendsupwith0ornegativeexpectedsurplus.Nowconsiderthecasewhenshereceivesasignals1=$2.Ifshebidsanyamountbelow$0.8,s

25、helosetheobjectandgets0surplus.Ifshebids$0.8,shegetsanexpectedsurplusof$0.175.Ifshebids$1,shegetsanexpectedsurplusof$0.25.Ifshebids$1.2,shegetsanexpectedprofitof0.5(1.5-1.2)+0.25(2-1.2)=0.35.Ifshebids$1.4,shegetsanexpectedprofit0.5(1.5-1.4)+0.5(2-1.4)=0.35.Ifshebidsanyamountbiggerthan$1.4,herexpecte

26、dsurpluswillbelessthan$0.35.Tosumup,b($1)=$0.8andb($2)=$1.2supportanequilibriumbiddingrule.(均衡策略中,考慮到了winnerscure所以出價不會高于1.5,避免了出價過高的winnerscureAnobjectofwhichthecommonvalueforeachbidderisarandomvariablehavinguniformdistributiononinterval0,1.Therearetwobidders.Assumethattheequilibriumbiddingruleisb(

27、si)=csi,wheresiisthesignalreceivedbybidderi.Assumebidder2bidsaccordingtothisrule.Letusconsiderthedecisionofbidder1whenshereceivesasignalofsi.Ifshebidsb1,thentheprobabilityforhertowinis:Pr(bcs2)Pr(s2b)/c)b)/cButwithrespecttoeach電匕/c,thecommonvalueoftheobjectis0.5(s1+s2).Theprobabilityfors2fallingintotheintervalx,x+dxisdx/(b1/c).Thereforetheexpectedsurplusforbidder1is TOC o 1-5 h z b1/cdxEO)(0/c)0.5(5x)b1(-) HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 0b1/cTheresultoftheintegrationis222E(s,b)0.5sbi/c0.25b12/c2b2/cBidder1choosesb1tomaximizethisexpec