1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設為虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若函數的圖象經過點，則函數圖象的一條對稱軸的方程可以為( )ABCD3已知集合，集合，那么等于（ ）ABCD4近年來，隨著網絡的普及和智能手機的更

2、新換代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統計如圖所示，現有如下說法：可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區、新聞、資訊的大學生人數；可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數的.其中正確的個數為（ ）ABCD5已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（ ）ABCD6一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區別），任取球，記其中黑球數為，則為（ ）ABCD7已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（ ）A

3、BCD8已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD9一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD10在區間上隨機取一個實數，使直線與圓相交的概率為（ ）ABCD11已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為( )AB40C16D12已知定義在上函數的圖象關于原點對稱，且，若，則（ ）A0B1C673D674二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在平面直角坐標系中，點在單位圓上，設，且若，則的值為_.14已知函數恰好有3個不同的零點，則實數的取值范圍為_15某同學周末通過拋

4、硬幣的方式決定出去看電影還是在家學習，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學習，否則出去看電影，則該同學在家學習的概率為_.16若，則的最小值是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，角，的對邊分別為，已知（1）若，成等差數列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由18（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當為中點時，求二面角的余弦值.19（12分）2019年9月26日，攜程網發布2019國慶假期旅游出行趨勢預測報告，2018年國慶假日期

5、間，西安共接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規定：若公司某位導游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導游為優秀導游.經驗表明，如果公司的優秀導游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導游40名，統計他們一年內旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數分布表如下：分組頻數（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬元)的導游中，隨機抽取3人進行業務培訓，設來自甲公司的人數為，求的分布列及數學期望.20（12分）有甲、乙兩家

6、外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數，得到如下頻數分布表：送餐單數3839404142甲公司天數101015105乙公司天數101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數中隨機抽取天，求這天的送餐單數都不小于單的概率；（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：求乙公司送餐員日工資的分布列和數學期望；小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司

7、應聘？說明你的理由.21（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，平面，是線段上靠近的三等分點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）改革開放年，我國經濟取得飛速發展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各人，進行問卷測評，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強.求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；已知交通安全意識強的樣本中男女比例為，完成下列列聯表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關；安全意識強

8、安全意識不強合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機選取人對未來一年內的交通違章情況進行跟蹤調查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】利用復數的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點所在象限，屬于基礎題.2B【解析】由點求得的值，化簡解析式，根據三角函數對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，

9、得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據三角函數圖象上點的坐標求參數，考查三角恒等變換，考查三角函數對稱軸的求法，屬于中檔題.3A【解析】求出集合，然后進行并集的運算即可.【詳解】，.故選：A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.4C【解析】根據利用主要聽音樂的人數和使用主要看社區、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數為，使用主要看社區、新聞、資訊的人數為，所以正確；使用主要玩游戲的人數為，而調

10、查的總人數為，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數為，因為，所以正確.故選：C.【點睛】本題考查統計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.5B【解析】設正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個正方體內，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內，設正方體的棱長為a，如圖所示，設正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同

11、一個球，則有， 而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為故選：B【點睛】本題考查球的內接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯系起來，考查計算能力，屬于中檔題6A【解析】由題意可知，隨機變量的可能取值有、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、，則，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.7B【解析】由題意畫出圖形，設球0得半徑為R，AB=x, AC=y,

12、由球0的表面積為20，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設球的半徑為，由，得如圖：設三角形的外心為，連接，可得，則在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，則三棱錐的體積的最大值為故選：【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側面積、體積，基本不等式等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題8B【解析】根據所給函數解析式，畫出函數圖像.結合圖像，分段討論函數的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結合即可求得

13、的范圍；對于當時，結合導函數，結合導數的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據題意，畫出函數圖像如下圖所示：函數的零點，即.由圖像可知，所以是的一個零點，當時，若，則，即，所以，解得；當時，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數圖像的畫法，函數零點定義及應用，根據零點個數求參數的取值范圍，導數的幾何意義應用，屬于中檔題.9D【解析】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線可解得【詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線方程得：，即

14、，由得故選：【點睛】本題考查了雙曲線的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平10D【解析】利用直線與圓相交求出實數的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數，考查計算能力，屬于基礎題.11D【解析】如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據得到：，即，根據得到：，即，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.12B【解析】由題知為奇函數

15、，且可得函數的周期為3，分別求出知函數在一個周期內的和是0，利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數，故；因為，故，可知函數的周期為3；在中，令，故，故函數在一個周期內的函數值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題. 其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據三角函數定義表示出，由同角三角函數關系式結合求得，而，展開后即可由余弦差角公式求得的值.【詳解】點在單位圓上，設，由三角函數定義可

16、知，因為，則，所以由同角三角函數關系式可得，所以 故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數定義，同角三角函數關系式的應用，余弦差角公式的應用，屬于中檔題.14【解析】恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉化成求函數值域即可.【詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【點睛】已知函數的零點個數求參數的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數的方法，中檔題.15【解析】采用列舉法計算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家學習只有1種情況，即（正，正），故該

17、同學在家學習的概率為.故答案為：【點睛】本題考查古典概型的概率計算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.168【解析】根據，利用基本不等式可求得函數最值.【詳解】，當且僅當且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17見解析【解析】（1）因為，成等差數列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以（2）若B為直角，則，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）又，所以，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角18（1）見解析；（2）【解析】（1）要

18、證明PC面ADE，由已知可得ADPC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數量積，求解二面角PAED的余弦值【詳解】（1）法一：要證明PC面ADE，易知AD面PDC，即得ADPC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點. 法二：建立如圖所示的空間直角坐標系DXYZ， 由題意知PDCD1，設， ，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知， ，設面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得 所以，故所求二面角PAED的余弦值為.【點睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想

19、象能力以及計算能力19（1），乙公司影響度高；（2）見解析，【解析】（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導游人數為40人可得b，再由總收人不低于40可計算出優秀率；（2）易得總收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數的值可能為1，2，3，再計算出相應取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，解得，由頻數分布表中知：，解得.所以，甲公司的導游優秀率為：，乙公司的導游優秀率為：，由于，所以乙公司影響度高.（2）甲公司旅游總收入在中的有人，乙公司旅游總收入在中的有2人，故的可能取值為1，2，3，易知：，;.所以的分布列為：123P.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列與期

20、望，考查學生數據處理與數學運算的能力，是一道中檔題.20（1）；（2）分布列見解析，；小張應選擇甲公司應聘.【解析】（1）記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，可得（A）的值（2）設乙公司送餐員送餐單數為，可得當時，以此類推可得：當時，當時，的值當時，的值，同理可得：當時，的所有可能取值可得的分布列及其數學期望依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數學期望比較即可得出【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數中有30天的送餐單數不小于40單，記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，則 （2）設乙公司送餐員的送餐單數為，日工資為元，則當時，；當時，；當時，；當時，；當時，所以的分布列為228234240247254 依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元， 因為，所以小張應選擇甲公司應聘【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與數學期望、古典概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2