1、第一章 實數集與函數導言 數學分析課程簡介 ( 2 學時 ) 一、數學分析(mathematical analysis)簡介: 1.背景: 從切線、面積、計算、實數定義等問題引入. 2.極限 ( limit ) 變量數學的基本運算： 3.數學分析的基本內容：數學分析以極限為基本思想和基本運算研究變實值函數.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數, 并依據這些運算引進并研究一些非初等函數. 數學分析基本上是連續函數的微積分理論. 微積運算是高等數學的基本運算. 數學分析與微積分(calculus)的區

2、別. 二、數學分析的形成過程： 1.孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想. 紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想. 2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發展、成果的積累時期. 3.十七世紀下半葉到十九世紀上半葉 微積分的創建時期.4.十九世紀上半葉到二十世紀上半葉 分析學理論的完善和重建時期：三、數學分析課的特點: 邏輯性很強, 很細致, 很深刻; 先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學懂前四章(或前四章的 ), 后面的學習就會容易一些; 只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂, 習題還是難以順利完成. 這是因為數學分析技巧

3、性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的. 論證訓練是數學分析課基本的,也是重要的內容之一, 也是最難的內容之一. 一般懂得了證明后, 能把證明準確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事. 因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成. 課后不要急于完成作業, 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或

4、推導的敘述和書寫. 基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業. 在學習中, 要養成多想問題的習慣. 四、課堂講授方法: 1.關于教材及參考書:這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: 1華東師范大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，2001； 2劉玉璉 傅沛仁 編，數學分析講義，高等教育出版社，1992； 3謝惠民，惲自求 等 數學分析習題課講義，高等教育出版社，2003； 4馬振民，數學分析的方法與技巧選講， 蘭州大學出版社，1999； 5林源渠，方企勤 數學分析解題指南，北京大學出版社，2003. 2.本課程按1的邏輯順序并在其中取材.本課程為適應教學改革的要求，只介

5、紹數學分析最基本的內容，并加強實踐環節，注重學生的創新能力的培養。帶星號的內容略講或刪去，相應的內容作為選修課將在數學分析選講課開設.3.內容多,課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這里每次課介紹的內容很多, 因此, 內容重復的次數少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內容或推導, 特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課后的學習任務一般很重.4.講解的重點: 概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧. 某些精細概念之間的本質差別.五.要求、輔導及考試： 1.學習方法:盡快適應大學

6、的學習方法, 盡快進入角色. 課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為 : 3。對將來從事數學教學工作的師范大學本科生來說, 課堂聽講的內容應該更為豐富: 要認真評價教師的課堂教學, 把教師在課堂上的成功與失敗變為自己的經驗. 這對未來的教學工作是很有用的.2.作業: 作業以練習題中劃線以上的部分習題為主要內容. 大體上每周收一次作業, 一次收清. 每次重點檢查作業總數的三分之一. 作業的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業將直接影響學期總評成績.作業要按數學排版格式書寫工整. 3. 輔導: 大體每周一次, 第一學期要求

7、輔導時不缺席.4. 考試: 按教學大綱的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業的內容, 包括1中的典型例題. 考試題為標準化試題， 理論證明題逐漸增多.第一章 實數集與函數教學目的：1.使學生掌握實數的概念，建立起實數集確界的清晰概念；2.使學生深刻理解函數的概念，熟悉與函數性態有關的一些常見術語。要求學生：理解并熟練運用實數的有序性、稠密性與封閉性；掌握鄰域的概念；牢記并熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式；理解實數確界的定義及確界原理，并在有關命題證明中正確地加以應用；深刻理解函數的定義以及復合函數、反函數、有界函數、單調函數和初等函數的定義，熟悉函數

8、的各種表示方法；牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象，會求函數的定義域，會分析函數的復合關系。 教學重點：函數、確界的概念及其有關性質。 教學時數：10學時 1 實數（2學時）教學目的：使學生掌握實數的基本性質教學重點：1. 理解并熟練運用實數的有序性、稠密性和封閉性；2. 牢記并熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學難點：實數集的概念及其應用教學方法：講授（部分內容自學）一復習引新：1.實數集 ：回顧中學中關于實數集的定義.2.四則運算封閉性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性: 有理數和無理數的稠密性, 給出稠

9、密性的定義.6.實數集的幾何表示 數軸: 7.兩實數相等的充要條件: 8.區間和鄰域: 二. 講授新課： （一）. 幾個重要不等式: 1. 絕對值不等式: 定義 1P3 的六個不等式. 2. 其他不等式: 均值不等式: 對 記 (算術平均值) (幾何平均值) (調和平均值)有平均值不等式: 等號當且僅當 時成立. Bernoulli 不等式: (在中學已用數學歸納法證明過) 有不等式 當 且 , 且 時, 有嚴格不等式 證： 由 且 利用二項展開式得到的不等式: 對 由二項展開式 有 上式右端任何一項.作業：（）（）、（） 2 數集確界原理 （4時）教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數確界

10、的清晰概念。教學要求：1. 掌握鄰域的概念；2. 理解實數確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運用。教學重點：確界的概念及其有關性質（確界原理）。教學難點：確界的定義及其應用。教學方法：講授為主。 一、區間與鄰域二、有界數集與確界原理: 1.有界數集: 定義(上、下有界, 有界)， 閉區間、 為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合 也是有界數集. 無界數集: 定義, 等都是無界數集, 集合 也是無界數集.2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義. 例1 則 則 例2 非空有界數集的上（或下）確界是唯一的. 例3 設和是非空數集，且有則有. 例4 設和是非空數集. 若對和都有則有 證 是的

11、上界, 是的下界, 例5 和為非空數集, 試證明: 證 有或由和分別是和的下界,有或 即是數集的下界, 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有 于是有.綜上,有.3. 數集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合. 以例1為例做解釋. 4.確界與最值的關系: 設為數集. 的最值必屬于, 但確界未必,確界是一種臨界點. 非空有界數集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值. 若存在, 必有 對下確界有類似的結論.三、確界原理: Th1.1 (確界原理)設為非空數集。若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界。 作業：； 3 函數概念 ( 2學時 )教學目的：使學生深刻理解函數概

12、念。教學要求：1. 深刻理解函數的定義以及復合函數、反函數和初等函數的定義，熟悉函數的各種表示方法；2. 牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象。會求初等函數的存在域，會分析初等函數的復合關系。教學重點：函數的概念。教學難點：初等函數復合關系的分析。 一、函數: 1. 函數: 1P1011的四點說明.2. 定義域: 定義域和存在域.3. 函數的表示法: 4. 反函數: 一一對應,反函數存在定理. 5. 函數的代數運算: 二、分段函數: 以函數 和 為例介紹概念.例1 去掉絕對值符號.例2 求 例3 設 求 (答案為8) 三、函數的復合: 例4 求并求定義域. 例5 則 A. B. C. D. 4

13、P407 E62. 四、初等函數: 1. 基本初等函數: 2. 初等函數: 3. 初等函數的幾個特例: 設函數 和 都是初等函數, 則 是初等函數, 因為 和 都是初等函數, 因為 , . 冪指函數 是初等函數,因為 作業： P15 3；4.(2)(3)；5. (2)；7: (3)；114 具有某些特性的函數 ( 2學時 )教學目的：熟悉與初等函數性態有關的一些常見術語.教學目的：深刻理解有界函數、單調函數的定義；理解奇偶函數、周期函數的定義；會求一些簡單周期函數的周期。教學重點：函數的有界性、單調性。教學難點：周期函數周期的計算、驗證。 一、有界函數: 有界函數概念. 例6 驗證函數 在 內

14、有界.解法一 由 當 時,有 , 對 總有 即 在 內有界.解法二 令關于的二次方程有實數根. 解法三 令 對應 于是 二、單調函數三、奇函數和偶函數四、周期函數第二章數列極限 教學目的：1.使學生建立起數列極限的準確概念，熟練收斂數列的性質；2.使學生正確理解數列收斂性的判別法以及求收斂數列極限的常用方法，會用數列極限的定義 證明數列極限等有關命題。要求學生：逐步建立起數列極限的 概念.深刻理解數列發散、單調、有界和無窮小數列等有關概念.會應用數列極限的 定義證明有關命題，并能運用 語言正確表述數列不以某定數為極限等相應陳述；理解并能證明收斂數列、極限唯一性、單調性、保號性及不等式性質；掌握

15、并會證明收斂數列的四則運算定理、迫斂性定理及單調有界定理，會用這些定理求某些收斂數列的極限；初步理解柯西準則在極限理論中的重要意義，并逐步學會應用柯西準則判定某些數列的斂散性； 教學重點、難點：本章重點是數列極限的概念；難點則是數列極限的 定義及其應用. 教學時數：14學時 1 數列極限的定義 教學目的：使學生建立起數列極限的準確概念；會用數列極限的定義證明數列極限等有關命題。教學重點、難點：數列極限的概念，數列極限的定義及其應用。教學時數：4學時一、 引入新課：以齊諾悖論和有關數列引入 二、講授新課： （一）數列：1.數列定義整標函數.數列給出方法: 通項,遞推公式.數列的幾何意義.2.特殊

16、數列: 常數列,有界數列,單調數列和往后單調數列. （二） 數列極限: 以 為例. 定義 ( 的 “ ”定義 )定義 ( 數列 收斂的“ ”定義 )注：1.關于 ：的正值性, 任意性與確定性,以小為貴; 2.關于：的存在性與非唯一性,對只要求存在,不在乎大小.3.的幾何意義.（三）用定義驗證數列極限： 講清思路與方法. 例1 例2 例3 例4 證 注意到對任何正整數 時有 就有 于是，對 取 例5 證法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 證法二 （用均值不等式） 例6 證 時， 例7 設 證明 （四）收斂的否定: 定義 ( 的“ ”定義 ).定義 ( 數列 發散的“ ”定義 ).例

17、8 驗證 （五）數列極限的記註: 1.滿足條件“ ”的數列2. 改變或去掉數列的有限項, 不影響數列的收斂性和極限. 重排不改變數列斂散性: 3.數列極限的等價定義: 對 任有理數 對任正整數 （六）無窮小數列: 定義.Th2.1 ( 數列極限與無窮小數列的關系 ). 2 收斂數列的性質（4學時） 教學目的：熟悉收斂數列的性質；掌握求數列極限的常用方法。教學重點、難點：迫斂性定理及四則運算法則及其應用，數列極限的計算。教學時數：4學時一. 收斂數列的性質: 1.極限唯一性：（ 證 ） 2.收斂數列有界性 收斂的必要條件：（ 證 ） 3.收斂數列保號性： Th 1 設 若 則 （ 證 ）由于已知

18、條件中對都成立，而結論是比較數列項的關系，證明時只需找到一個，使與之對應的N滿足條件即可！ 系1 設 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情況 ）.由于結論是比較數列極限的關系，證明時必須對都成立！ 系2 設 或. 則對(或 (或 系3 若 則對 絕對值收斂性見后. 4. 迫斂性 ( 雙逼原理 ): Th 2 ( 雙逼原理 ). ( 證 ) 5. 絕對值收斂性: Th 3 ( 注意反之不正確 ). ( 證 ) 系 設數列 和 收斂, 則 ( 證明用到以下6所述極限的運算性質 ). 6. 四則運算性質: Th 4 ( 四則運算性質, 其中包括常數因子可提到極限號外 ). ( 證 ) 7.

19、子列收斂性: 子列概念.Th 5(數列收斂充要條件) 收斂的任何子列收斂于同一極限. Th 6 (數列收斂充要條件) 收斂子列和收斂于同一極限. Th 7 ( 數列收斂充要條件 ) 收斂 子列 、 和 都收斂. ( 簡證 )二.利用數列極限性質求極限: 兩個基本極限： 1利用四則運算性質求極限： 例1 註： 關于 的有理分式當 時的極限情況例2 填空: 例3 例4 2. 雙逼基本技法: 大小項雙逼法，參閱4P53. 例5 求下列極限: 例6 ( 例7 求證 例8 設 存在. 若 則 三.利用子列性質證明數列發散: 例9 證明數列 發散. 3 收斂條件（4學時） 教學目的：使學生掌握判斷數列極限

20、存在的常用工具。教學要求：1. 掌握并會證明單調有界定理，并會運用它求某些收斂數列的極限；2. 初步理解Cauchy準則在極限理論中的主要意義，并逐步會應用Cauchy準則判斷某些數列的斂散性。教學重點：單調有界定理、Cauchy收斂準則及其應用。教學難點：相關定理的應用。教學方法：講練結合。一數列收斂的一個充分條件 單調有界原理：回顧單調有界數列. Th 1 ( 單調有界定理 ). ( 證 )例1 設 證明數列 收斂.例2 ( 重根號),證明數列 單調有界, 并求極限. 例3 求 ( 計算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有有下界;注意到對 有 有 , 二、收斂的充要條件

21、Cauchy收斂準則： 1Cauchy列： 2Cauchy收斂準則： Th 2 數列 收斂， （ 或數列 收斂，Th 2 又可敘述為：收斂列就是Cauchy列. (此處“就是”理解為“等價于”). ( 簡證必要性 ) 例4 證明:任一無限十進小數 的不足近似值所組成的數列 收斂. 其中 是 中的數.證 令 有 例5 設 試證明數列 收斂.三. 關于極限 證明留在下節進行.例6 例7 例8 四.數列 單調有界證法欣賞: Cauchy (17891857 ) 最先給出這一極限，Riemann（18261866）最先給出以下證法一.證法一 （ Riemann最先給出這一證法） 設 應用二項式展開，得

22、 ，+ 注意到 且 比 多一項 即 . 有界.綜上, 數列 單調有界.評註: 該證法樸素而穩健, 不失大將風度. 證法二 ( 利用Bernoulli不等式 )注意到Bernoulli不等式 為正整數 ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 .為證 上方有界, 考慮數列 可類證 . 事實上, (此處利用了Bernoulli不等式 ) .顯然有 有 即數列 有上界.評註: 該證法的特點是驚而無險，恰到好處.證法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 .令 可仿上證得 時 , ( 時無意義, 時諸 = , 不能用均值不等式. ) 當 時, 由 由 . 4.證法四 ( 仍

23、利用均值不等式 ) 即 . 有界性證法可參閱上述各證法.證法五 先證明：對 和正整數 ，有不等式 事實上， 對 有 試證明 是 內的常值函數. 例5 求極限注意= 有界 例6 求 和 .解法一 又 解法二 ， 由 且原式極限存在，即 .例7 . 求 .注意 時, 且 . 先求 由Heine歸并原則即求得所求極限. 例8 求和.并說明極限 是否存在.解 ; 可見極限 不存在.第四章 函數的連續性 教學目的：1.使學生深刻掌握函數連續性的概念和連續函數的概念；2.熟練連續函數的性質并能加以應用；3.知道所有初等函數都是在其定義域上的連續函數，并能加以證明；4.理解函數在某區間上一致連續的概念，并能

24、清楚地認識到函數在一區間上連續與這一區間上一致連續的聯系與區別。 教學重點、難點：本章重點是函數連續性的概念和閉區間上連續函數的性質；難點是一致連續性的概念與有關證明 。 教學時數：14學時 1 函數的連續性（4學時） 教學目的：使學生深刻掌握函數連續性的概念和連續函數的概念。教學要求：1. 使學生深刻理解函數在一點連續包括單側連續的定義，并能熟練寫出函數在一點連續的各種等價敘述；2. 應使學生從分析導致函數在一點不連續的所有可能的因素出發，理解函數在一點間斷以及函數間斷點的概念，從反面加深對函數在一點連續這一概念的理解力并能熟練準確地識別不同類型的間斷點；3. 明確函數在一區間上連續是以函數

25、在一點連續的概念為基礎的，使學生清楚區分“連續函數”與“函數連續”所表述的不同內涵。教學重點：函數連續性概念。教學難點：函數連續性概念。一、引入新課：通過生活和科學研究中的實例說明學習連續函數的必要性。 二、講授新課： （一）函數在一點的連續性： 1連續的直觀圖解： 由圖解引出解析定義. 2.函數在一點連續的定義: 設函數 在點 某鄰域有定義. 定義 用 例如 1P87例1和例2, P88 例3. 定義 用 定義 用 先定義 和 定義 連續的Heine定義. 定義 ( “ ”定義.) （注：強調函數 在點 連續必須滿足的三個條件。）例1 用“ ”定義驗證函數 在點 連續.例2 試證明: 若 則

26、 在點 連續. 3.單側連續: 定義單側連續, 并圖解. Th ( 單、雙側連續的關系 ) 例3 討論函數在點的連續或單側連續性. （二）間斷點及其分類: 圖解介紹間斷點的分類. 跳躍間斷點和可去間斷點統稱為第一類間斷點, 其他情況 即 或 中至少有一個不存在 稱為第二類間斷點.例4 討論函數 的間斷點類型.例5 延拓函數 使在點 連續.例6 舉出定義在0,1上且僅在點 三點間斷的函數的例. 例7 討論Dirichlet函數 和Riemann函數 的連續性. （三） 區間上的連續函數： 開區間上連續， 閉區間上連續, 按段連續. 2 連續函數的性質（6學時） 教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈

27、活應用。教學要求：1. 掌握連續的局部性質（有界性、保號性），連續函數的有理運算性質，并能加以證明；熟知復合函數的連續和反函數的連續性。能夠在各種問題的討論中正確運用連續函數的這些重要性質；2. 掌握閉區間上連續函數的主要性質，理解其幾何意義，并能在各種有關的具體問題中加以運用；3. 理解函數在某區間上一致連續的概念，并能清楚地認識到函數在一區間上連續與在這一區間上一致連續這二者之間的聯系與原則區別。教學重點：閉區間上連續函數的性質；教學難點：一致連續的概念。一、 復習：連續、間斷的含義. 二、講授新課： （一）連續函數的局部性質: 敘述為Th 14. 1. 局部有界性： 2.局部保號性： 3

28、.四則運算性質： 4.復合函數連續性： Th 4 若函數 在點 連續，函數 在點 連續, 且 , 則復合函數在點 連續. ( 證 ) 註 Th 4 可簡寫為（即在條件滿足的前提下，極限運算與函數運算可以交換順序。） 例1 求極限 例2 求極限: 例3 求極限 的連續性見后 . （二）閉區間上連續函數的基本性質: 1.最值性: 先定義最值. Th 5 ( 最值性 ) 推論 ( 有界性 ) 2. 介值性: 定義介值. Th 6 ( 介值性 ) 連續函數的值域, 連續的單調函數的值域. 推論 ( 零點定理 ) 例4 證明: 方程 在 到 之間有實根. 例5 設 是正數, 為正整數. 證明方程 有唯一

29、正實根. 唯一性的證明用 在 內的嚴格遞增性. （三）反函數的連續性: Th 7 若函數 在 上嚴格遞增( 或減 )且連續, 則其反函數在相應的定義域 或 上連續. ( 證 ) 關于函數 等的連續性 ( 1P99 E5,6.) （四）函數的整體連續性 一致連續： 1 連續定義中 對 的依賴性 ： 例6 考查函數 在區間 上的連續性.對 作限制 就有對 ,取 這里與有關,有時特記為.本例中不存在可在區間 上通用的 , 即不存在最小的( 正數 ) .例7 考查函數 在區間 上的連續性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 該 卻與 無關, 可記為 . 2.一致連續性: 定義 ( 一致連續 ) 順便

30、介紹一致連續與連續的關系. 用定義驗證一致連續的方法: 對 , 確證 存在. 為此,從不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 之外, 其余部分中不含有 和 , 然后使所得式子 , 從中解出 例8 驗證函數 在 內一致連續. 例9 驗證函 在區間 內一致連續. 證 例10 若函數在有限區間內一致連續,則在內有界.3.一致連續的否定: 否定定義. 例11 證明函數 在區間 內非一致連續.證法一 ( 用一致連續的否定定義驗證 ) 取 取 與 便有 但 證法二 ( 用例10的結果 ). 4.一致連續的判定: Th8 (Cantor)若函數在閉區間上連續,在上一致連續. 3 初等函數的連續

31、性（2學時） 教學目的：知道所有初等函數都是在其有定義的區間上連續的函數，并能夠加以證明。教學要求：深刻理解初等函數在其定義的區間上都是連續的，并能應用連續性概念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的極限。教學重點：初等函數的連續性的闡明。教學難點：初等函數連續性命題的證明。教學方法：學導式教學。回顧基本初等函數中, 已證明了連續性的幾個函數. 指數函數和對數函數的連續性. ( 證 ) 一.初等函數的連續性: Th1 一切基本初等函數都在其定義域上連續. Th2 任何初等函數在其有定義的區間上是連續的. 註: 初等函數的連續區間和間斷點: 初等函數的間斷點是其連續區間的開端

32、點. 閉端點是其單側連續點. 例1 求函數 的連續區間和間斷點. 解 的連續區間為: 、 、 和 . 間斷點為: 和 . 在點 右連續 . 二.利用函數的連續性求極限: 例2 例3 作倒代換 例4 解 I = 例5 解 I = 習 題 課（2學時）*一、 理論概述： 二、 范例講析： 例1 設函數 在區間 上連續, 且 證明: 在區間 上至少存在某個 使 證 若 , 取 或 即可; 若 不妨設 設 , 應用零點定理即得所證. 例2 設函數 在區間 上連續， 試證明： 使 例3 設 試證明：方程 在區間 內有實根. 例4 設函數 在 內連續且 則 在 內有最小值. 與 比較. 例5 設函數 和

33、在區間I上連續, 且在I的有理點 ,有 證明: 在I上 . 例6 設函數 和 在區間I上一致連續. 證明函數 在區間 I上一致連續. 例7 設函數 在有限開區間 內連續. 則 在有限開區間 內一致連續, 和 存在( 有限 ). 例8 設函數 在有限開區間 內連續. 則 在內一致連續, 在 內一致連續. 第五章 導數和微分 教學目的：1.使學生準確掌握導數與微分的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出發求一些簡單函數的導數與微分；2.弄清函數可導與可微之間的一致性及其相互聯系，熟悉導數與微分的運算性質和微分法則，牢記基本初等函數的導數公式，并熟練地進行初等函數的微分運算；3.能利用導數與微分的意

34、義解決某些實際問題的計算。 教學重點、難點：本章重點是導數與微分的概念及其計算；難點是求復合函數的導數。 教學時數：16學時 1 導數的概念（4學時） 教學目的：使學生準備掌握導數的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出發求一些簡單函數的導數與微分，能利用導數的意義解決某些實際應用的計算問題。教學要求：深刻理解導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數的導數；知道導數與導函數的相互聯系和區別；明確導數與單側導數、可導與連續的關系；能利用導數概念解決一些涉及函數變化率的實際應用為體；會求曲線上一點處的切線方程。教學重點：導數的概念。教學難點：導數的

35、概念。教學方法：“系統講授”結合“問題教學”。一、問題提出：導數的背景. 背景：曲線的切線；運動的瞬時速度.二、講授新課： 1.導數的定義: 定義的各種形式. 的定義. 導數的記法. 有限增量公式: 例1 求 例2 設函數 在點 可導, 求極限 2.單側導數: 定義. 單側可導與可導的關系. 曲線的尖點.例3 考查 在點的可導情況.3.導數的幾何意義: 可導的幾何意義, 導數的幾何意義, 單側導數的幾何意義.例4 求曲線 在點處的切線與法線方程.4.可導與連續的關系: 5.導函數: 函數在區間上的可導性, 導函數, 導函數的記法. 注意: 等具體函數的導函數不能記為 應記為 6.費馬定理及達布

36、定理 2 求導法則（4學時）教學目的：熟悉導數的運算性質和求導法則，牢記基本初等函數的導數公式，并熟練進行初等函數的導數運算。教學要求：熟練掌握導數的四則運算法則，復合函數的求導法則；會求反函數的導數，并在熟記基本初等函數導數公式的基礎上綜合運用這些法則與方法熟練準確地求出初等函數的導數。教學重點：導數的四則運算法則、復合函數求導法則、反函數求導法；教學難點：復合函數求導法則及復合函數導數的計算。教學方法： 以問題教學法為主，結合課堂練習。一、復習引新：復習導數的概念等知識，并由此引入新課. 二、講授新課： （一）. 基本初等函數求導 推導基本初等函數的求導公式. （二）.導數的四則運算法則:

37、 推導導數四則運算公式.(只證“ ”和“ ”)例1 求 例2 求 ( 例3 求 例4 證明: ( 用商的求導公式證明 ).例5 證明: 例6 證明: .例7 求曲線 在點 處的切線方程. （三）. 反函數的導數: 推導公式并指出幾何意義. 例8 證明反三角函數的求導公式. ( 只證反正弦 ) （四）. 復合函數求導法 鏈鎖公式： 例9 設 為實數，求冪函數 的導數.解 例10 求 和 例11 求 例12 求 3. 參變量函數的導數（2學時） 教學目的：熟悉含參量函數的求導法則，并熟練進行此類函數的導數運算。教學要求：會求由參數方程所給出的函數的導數，并注意與其它法則的綜合應用。教學重點：含參量

38、方程的求導法則。教學難點：含參量函數導數的計算。教學方法：以問題教學為主，結合練習。一. 復習：導數公式及其運算法則. 二. 講授新課：1.參變量函數的導數公式：設函數 可導且 證 （ 法一 ） 用定義證明. （ 法二 ） 由 恒有 或 嚴格單調. ( 這些事實的證明將在下一章給出. ) 因此, 有反函數, 設反函數為 ), 有 用復合函數求導法, 并注意利用反函數求導公式. 就有 例1. 設 求 2. 取對數求導法: 例2. 設 求 例3. 設 求 例4. 設 求 3.抽象函數求導: 例5. 求 和 例6 若可導, 求 . 4 高階導數（2學時） 教學目的：了解高階導數的定義，熟悉高階導數的

39、計算。教學要求：掌握高階導數與高階微分的定義，會求高階導數與高階微分。能正確理解和運用一階微分的形式不變性，并與高階微分清楚地加以區分。教學重點：高階導數（微分）的計算。教學難點：高階導數（微分）的計算。教學方法：以問題教學為主，結合練習。 一. 高階導數: 定義: 注意區分符號和 以函數為例介紹高階導數計算方法. 高階導數的記法. 二. 幾個特殊函數的高階導數: 1. 多項式: 多項式的高階導數. 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函數: 計算 、 、 、 的公式. 3 和 的高階導數： 4的高階導數： 5 的高階導數： 6 分段函數在分段點的高階導數：以函數 求 為例. 三. 高階導數的運

40、算性質: 設函數 和 均 階可導. 則1 2 3 乘積高階導數的Leibniz公式： 約定 （ 介紹證法.） 例2 求 解 例3 求 解 例4 其中 二階可導. 求 例5 驗證函數 滿足微分方程 并依此求 解 兩端求導 即 對此式兩端求 階導數, 利用Leibniz公式, 有 可見函數 滿足所指方程. 在上式中令 得遞推公式 注意到 和 , 就有時, 時, 四. 參數方程所確定函數的高階導數: 例6 求 解 5 微分（2學時） 教學目的：1. 準確掌握微分的概念，明確其幾何意義，能從定義出發求一些簡單函數的導數與微分。2. 弄清可導與可微之間的一致及其相互關系，熟悉微分的運動性質和微分法則，牢

41、記基本的初等函數的微分公式，并熟練進行初等函數的微分運算。3. 能利用微分的幾何意義等解決一些實際應用的計算問題。教學要求：1. 清楚地理解函數在一點的微分的定義，并給出其幾何解釋；能從定義出發求某些簡單函數的微分、能熟練運用基本微分表和微分運算公式求初等函數的微分。2. 明確函數在一點可導性與一點可微之間的一致性，并會利用導數為微分、利用微分求導數。會應用微分的實際意義解決某些計算問題。教學重點：微分的定義、計算、可導與可微的關系教學難點：運用微分的意義解決實際問題一.微分概念: 1.微分問題的提出: 從求 的近似值入手, 通過1P133例和可導函數的情況, 引出微分問題. 幾個數據: ,

42、( 查表得 ) 2. 微分的定義: 3. 微分的計算和幾何意義: Th ( 可微與可導的關系 ).例1 求 和 二. 微分運算法則: 1P112 法則14 . 只證2. 一階微分形式不變性. 利用微分求導數. 微商.例2 求 和 例3 求 和 三微分的應用: 1.建立近似公式: 原理: 即 特別當 時, 有近似公式 具體的近似公式如: 等. 2. 作近似計算: 原理: 例4 求 和 的近似值.例5 求 的近似值. 3估計誤差： 絕對誤差估計： 相對誤差估計： 例6 （ 1P138 E5 ）設已測得一根圓軸的直徑為 ，并知在測量中絕對誤差不超過 . 試求以此數據計算圓軸的橫截面面積時所產生的誤差

43、. 4. 求速度: 原理: 例7 球半徑 以 的速度勻速增大. 求 時, 球體積增大的 速度. 四高階微分： 高階微分的定義： 階微分定義為 階微分的微分， 即 注意區分符號 的意義. 例7 求 以例7為例, 說明高階微分不具有形式不變性:在例7中, 倘若以 求二階微分, 然后代入 , 就有 倘若先把 代入 , 再求二階微分, 得到可見上述兩種結果并不相等. 這說明二階微分已經不具有形式不變性. 一般地, 高階微分不具有形式不變性. 習 題 課（2學時） 一、理論概述： 二、范例講析： （一）. 可導條件:例1 設在點 的某鄰域內有 證明 在點 可導.例2 設函數 在點 可導, 則 在點不可導

44、. 例3 設函數 定義在區間 內, 試證明: 在點 可導的充要條件是存在 內的函數 （僅依賴于 和 . 使 在點 連續且適合條件 并有 證 設 存在, 定義 易驗證函數 在點 連續, 且 設 又 在點 連續. 則有 即 存在且 （二）. 求導數或求切線: 例4 求 和 參閱4P92 E11.例5 求 例6 求 解 設 其中 為 的多項式. 注意到對任何正整數 則有 對 有 例7 拋物線方程為 求下列切線: 過點 ( 該點在拋物線上 ) ( ) 過點 . (該點不在拋物線上 ) ( 和 )（三）曲線的吻接: 曲線的吻接及其解析表達. 例8 設 確定 、 和 的值，使函數 在點 可導. ) （四）

45、. 奇、偶函數和周期函數的導函數： 例9 可導奇函數的導函數是偶函數. ( 給出用定義證和用鏈導公式證兩種證法) 例10 設 是偶函數且在點 可導, 則 .證 即 由 存在， 簡提可導周期函數的導函數為周期函數, 且周期不變. （五）. 關于可導性的一些結果: 1. 若 是初等函數, 則 也是初等函數. 在初等函數 的定義域內, 導函數 不存在的點是函數 的不可導點. 例如函數 的定義域是 , 但導函數 在點 沒有定義, 因此點 是函數 的不可導點.2.存在僅在一點可導的函數. 例如 該函數僅在點 可導. 3.存在處處連續但處處不可導的函數.第六章 微分中值定理及其應用 教學目的： 1.掌握微

46、分學中值定理，領會其實質，為微分學的應用打好堅實的理論基礎；2.熟練掌握洛比塔法則，會正確應用它求某些不定式的極限；3.掌握泰勒公式，并能應用它解決一些有關的問題；4.使學生掌握運用導數研究函數在區間上整體性態的理論依據和方法，能根據函數的整體性態較為準確地描繪函數的圖象；5.會求函數的最大值、最小值，了解牛頓切線法。教學重點、難點：本章的重點是中值定理和泰勒公式，利用導數研究函數單調性、極值與凸性；難點是用輔助函數解決問題的方法。教學時數：14學時 1 中值定理（4學時） 教學目的：掌握微分學中值定理，領會其實質，為微分學的應用打下堅實的理論基礎。教學要求：深刻理解中值定理及其分析意義與幾何

47、意義，掌握三個定理的證明方法，知道三者之間的包含關系。教學重點：中值定理。教學難點：定理的證明。教學難點： 系統講解法。一、引入新課： 通過復習數學中的“導數”與物理上的“速度”、幾何上的“切線”之聯系，引導學生從直覺上感到導數是一個非常重要而有用的數學概念。在學生掌握了“如何求函數的導數”的前提下，自然提出另外一個基本問題：導數有什么用？俗話說得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我們首先要磨鋒利導數的刀刃。我們要問：若函數可導，則它應該有什么特性？由此引入新課第六章 微分中值定理及其應用 1 拉格朗日定理和函數的單調性（板書課題）二、講授新課： （一）極值概念： 1極值： 圖解，定義 ( 區

48、分一般極值和嚴格極值. ) 2.可微極值點的必要條件: Th ( Fermat ) ( 證 ) 函數的穩定點, 穩定點的求法. （二） 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 敘述為Th1.( 證 )定理條件的充分但不必要性. 2.Lagrange中值定理: 敘述為Th2. ( 證 ) 圖解 . 用分析方法引進輔助函數, 證明定理.用幾何直觀引進輔助函數的方法參閱1P157. Lagrange中值定理的各種形式. 關于中值點的位置. 推論1 函數在區間I上可導且為I上的常值函數. (證)推論2 函數和在區間I上可導且推論3 設函數在點的某右鄰域上連續,在內可導. 若存在,則右導數也存在,且

49、有(證) 但是, 不存在時, 卻未必有 不存在. 例如對函數 雖然不存在,但卻在點可導(可用定義求得). Th ( 導數極限定理 ) 設函數在點的某鄰域內連續,在內可導. 若極限存在, 則也存在, 且( 證 ) 由該定理可見,若函數在區間I上可導,則區間I上的每一點,要么是導函數的連續點,要么是的第二類間斷點.這就是說,當函數在區間I上點點可導時,導函數在區間I上不可能有第二類間斷點.推論4 ( 導函數的介值性 ) 若函數 在閉區間 上可導, 且 ( 證 )Th ( Darboux ) 設函數 在區間 上可導且 . 若 為介于與 之間的任一實數, 則 設對輔助函數, 應用系4的結果. ( 證

50、)3.Cauchy中值定理: Th 3 設函數 和 在閉區間 上連續, 在開區間 內可導, 和 在內不同時為零, 又 則在 內至少存在一點 使 . 證 分析引出輔助函數 . 驗證 在 上滿足Rolle定理的條件, 必有 , 因為否則就有 .這與條件“ 和 在 內不同時為零”矛盾. Cauchy中值定理的幾何意義. （三）中值定理的簡單應用: 1. 證明中值點的存在性 例1 設函數 在區間 上連續, 在 內可導, 則 , 使得 . 證 在Cauchy中值定理中取 . 例2 設函數在區間上連續,在內可導,且有 .試證明: . 2.證明恒等式: 原理. 例3 證明: 對 , 有 .例4 設函數 和

51、可導且 又 則.證明 . 例5 設對 , 有 , 其中 是正常數. 則函數 是常值函數. (證明 ). 3.證明不等式: 例6 證明不等式: 時, .例7 證明不等式: 對 ，有 . 4. 證明方程根的存在性: 證明方程 在 內有實根. 例8 證明方程 在 內有實根. 2 柯西中值定理和不定式的極限（2學時）教學目的：1. 掌握討論函數單調性方法；2. 掌握LHospital法則，或正確運用后求某些不定式的極限。教學要求：1. 熟練掌握LHospital法則，并能正確運用后迅速正確地求某些不定式的極限；2. 深刻理解函數在一區間上單調以及嚴格單調的意義和條件；熟練掌握運用導數判斷函數單調性與單

52、調區間的方法；能利用函數的單調性證明某些不等式。教學重點：利用函數的單調性，LHospital法則教學難點：LHospital法則的使用技巧；用輔助函數解決問題的方法；。教學方法：問題教學法，結合練習。 一. 型: Th 1 ( Hospital法則 ) ( 證 ) 應用技巧. 例1 例2 .例3 . ( 作代換 或利用等價無窮小代換直接計算. )例4 . ( Hospital法則失效的例 ) 二. 型: Th 2 ( Hospital法則 ) ( 證略 ) 例5 .例6 . 註: 關于 當 時的階. 例7 . ( Hospital法則失效的例 ) 三. 其他待定型: .前四個是冪指型的. 例

53、8 例9 .例10 . 例11 . 例12 . 例13 . 例14 設且求解 . 3 Taylor公式（2學時） 教學目的：掌握Taylor公式，并能應用它解決一些有關的問題。教學要求：1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉兩種不同余項的Taylor公式及其之間的差異；2. 掌握并熟記一些常用初等函數和Taylor展開公式，并能加以應用。3. 會用帶Taylor型余項的Taylor公式進行近似計算并估計誤差；會用代Peanlo余項的Taylor公式求某些函數的極限。教學重點：Taylor公式教學難點：Taylor定理的證明及應用。教學方法：系統講授法。一. 問題和任務: 用

54、多項式逼近函數的可能性;對已知的函數,希望找一個多項式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 16851731 )多項式: 分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式 定義 Taylor 多項式 及Maclaurin多項式 例1 求函數在點的Taylor多項式. 1P174.( 留作閱讀 ) 三. Taylor公式和誤差估計: 稱為余項.稱給出的定量或定性描述的式 為函數的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫( 整體性質 ) Taylor中值定理: Th 1 設函數 滿足條件: 在閉區間 上有直到階連續導數; 在開區間內有階導數.則對使 . 證 1P175176. 稱這種形式的余項

55、為Lagrange型余項. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Lagrange型余項的Taylor公式. Lagrange型余項還可寫為 . 時, 稱上述Taylor公式為Maclaurin公式, 此時余項常寫為 . 2. 誤差的定性描述( 局部性質 ) Peano型余項: Th 2 若函數在點的某鄰域內具有階導數,且存在,則,. 證 設 , . 應用 Hospital法則 次,并注意到 存在, 就有 = . 稱 為Taylor公式的Peano型余項, 相應的Maclaurin公式的Peano型余項為 . 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式(

56、或Maclaurin公式 ). 四. 函數的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開: 1. 直接展開: 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函數 的具Peano型余項的Maclaurin公式 . 解 . .例5 把函數 展開成含 項的具Peano型余項的Maclaurin公式 . ( 1P179 E5, 留為閱讀. ) 2.間接展開:利用已知的展開式,施行代數運算或變量代換,求新的展開式. 例6 把函數 展開成含 項的具Peano型余項的Maclaurin公式 . 解 , . 例7 把函數展開成含項的具Peano型余項

57、的Maclaurin公式 . 解 , 注意, . 例8 先把函數 展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 . 利用得到的展開式, 把函數 在點 展開成具Peano型余項的Taylor公式.解 . = + 例9 把函數 展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 ，并與 的相應展開式進行比較. 解 ; .而 . 五.Taylor公式應用舉例: 1. 證明 是無理數: 例10 證明 是無理數.證 把 展開成具Lagrange型余項的Maclaurin公式, 有 .反設 是有理數, 即 和 為整數), 就有 整數 + .對 也是整數. 于是, 整數 = 整數整數 = 整數.但由因而當

58、時，不可能是整數. 矛盾.2.計算函數的近似值: 例11 求 精確到 的近似值.解 .注意到 有. 為使 ,只要取 . 現取 , 即得數 的精確到 的近似值為 . 3.利用Taylor公式求極限: 原理: 例12 求極限 .解 , ; .4.證明不等式： 原理. 例13 證明: 時, 有不等式 . 3P130 E33. 4 函數的極值與最大（小）值 （2學時）教學目的：會求函數的極值和最值。教學要求：1. 會求函數的極值與最值；2. 弄清函數極值的概念，取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；掌握求函數極值的一般方法和步驟；能靈活運用第一、第二充分條件判定函數的極值與最值；會利用函數的極值確定

59、函數的最值，對于取得極值的第三充分條件，也應用基本的了解。教學重點：利用導數求極值的方法教學難點：極值的判定教學方法： 講授法演示例題 一可微函數單調性判別法： 1單調性判法： Th 1 設函數 在區間 內可導. 則在 內 (或) 在 內 ( 或 ).證 ) ) 證 . Th 2 設函數 在區間 內可導. 則在 內 ( 或) 對 有 ( 或 ; 在 內任子區間上 2.單調區間的分離:的升、降區間分別對應的非負、非正值區間.例1 分離函數 的單調區間.更一般的例可參閱4P147148 E13，14. 二.可微極值點判別法:極值問題:極值點,極大值還是極小值,極值是多少.1.可微極值點的必要條件:

60、 Fermat定理( 表述為Th3 ). 函數的駐點和(連續但)不可導點統稱為可疑點, 可疑點的求法. 2.極值點的充分條件:對每個可疑點,用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點. Th 4 (充分條件) 設函數 在點 連續, 在鄰域 和 內可導. 則 在 內 在 內 時, 為 的一個極小值點; 在 內 在 內 時, 為 的一個極大值點; 若 在上述兩個區間內同號, 則 不是極值點.Th 5 (充分條件“雨水法則”)設點 為函數 的駐點且 存在.則 當 時, 為 的一個極大值點; 當 時, 為 的一個極小值點. 證法一 當 時, 在點 的某空心鄰域內 與 異號, 證法二 用Taylor公式展開到