1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，其底面邊長為4，、分別為側棱，的中點.若在三棱錐內，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（ ）ABCD2已知排球發球考試規則：每位考生最多可發球三次，若發球成功，則停止發

2、球，否則一直發到次結束為止某考生一次發球成功的概率為，發球次數為，若的數學期望，則的取值范圍為( )ABCD3設點，不共線，則“”是“”（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件4已知函數，若成立，則的最小值為（ ）A0B4CD5設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（ ）ABCD6函數的圖象大致是( )ABCD7直線與圓的位置關系是（ ）A相交B相切C相離D相交或相切8 “一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海

3、上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發展我國與沿線國家經濟合作關系，共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是20152019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統計圖，下列描述錯誤的是( )A這五年，出口總額之和比進口總額之和大B這五年，2015年出口額最少C這五年，2019年進口增速最快D這五年，出口增速前四年逐年下降9已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、，O為坐標原點若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（ ）A1BC2D310已知，若實數，滿足不等式組，則目標函數（ ）A有最大值，無最小值B有最大值，有最小值

4、C無最大值，有最小值D無最大值，無最小值11已知函數，其中，其圖象關于直線對稱，對滿足的，有，將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則函數的單調遞減區間是（）ABCD12若復數（）在復平面內的對應點在直線上，則等于( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設為數列的前項和，若，則_14已知，則與的夾角為 .15如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數的值為，則輸入的實數的值為_.16函數的定義域為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知各項均為正數的數列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數列，并求；（2）設，數

5、列的前項和為，求滿足的最小正整數的值.18（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次小（如5，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他

6、不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.19（12分）等差數列的前項和為，已知，（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求使成立的的最小值20（12分）在以為頂點的五面體中，底面為菱形，二面角為直二面角.（）證明：；（）求二面角的余弦值.21（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求邊上的高.22（10分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，

7、共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點記為，連接、.依題意，所以，設球的半徑為，在中，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.2A【解析】根據題意，分別求出再根據離散

8、型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功3C【解析】利用向量垂直的表示、向量數量積的運算，結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.4A【解析】令，進而求得，再轉化為函數的最值問題即可求解.【詳解】（），令：，在上增，且，所以在上減，在上增，所以，所以的最小值為0.故選：A【點睛】本題主要考查了導數在研究函數最

9、值中的應用，考查了轉化的數學思想，恰當的用一個未知數來表示和是本題的關鍵，屬于中檔題.5D【解析】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,，即，數列是以為公比的等比數列，而，所以，當時，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問

10、題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.6B【解析】根據函數表達式,把分母設為新函數,首先計算函數定義域,然后求導,根據導函數的正負判斷函數單調性,對應函數圖像得到答案.【詳解】設，則的定義域為.，當，單增，當，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.7D【解析】由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結論【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，故選：D【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題8D【解析】根據統計圖中

11、數據的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【點睛】本題主要考查了根據條形統計圖和折線統計圖解決實際問題，屬于基礎題.9C【解析】試題分析：拋物線的準線為，雙曲線的離心率為2，則，漸近線方程為，求出交點，則；選C考點：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準線方程；10B【解析】判斷直線與縱軸交點的

12、位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數的最值情況.【詳解】由，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標函數一定有最大值和最小值.故選：B【點睛】本題考查了目標函數最值是否存在問題，考查了數形結合思想，考查了不等式的性質應用.11B【解析】根據已知得到函數兩個對稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結合其對稱軸，求得的值，進而求得解析式.根據圖像變換的知識求得的解析式，再利用三角函數求單調區間的方法，求得的單調遞減區間.【詳解】解：已知函數，其中，其圖像關于直線對稱，對滿足的，有，.再根據其圖像關于直線對稱，可得，.，.將函數

13、的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像.令，求得，則函數的單調遞減區間是，故選B.【點睛】本小題主要考查三角函數圖像與性質求函數解析式，考查三角函數圖像變換，考查三角函數單調區間的求法，屬于中檔題.12C【解析】由題意得，可求得，再根據共軛復數的定義可得選項.【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查復數的幾何表示和共軛復數的定義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】當時，由，解得，當時，兩式相減可得，即，可得數列是等比數列再求通項公式.【詳解】當時，即，當時，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：【點

14、睛】本題考查數列的前項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.14【解析】根據已知條件，去括號得：，15【解析】根據程序框圖得到程序功能，結合分段函數進行計算即可.【詳解】解：程序的功能是計算，若輸出的實數的值為，則當時，由得，當時，由，此時無解.故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關鍵，屬于基礎題.16【解析】由題意得，解得定義域為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析，（2）最小正整數的值為35.【解析】（1）由等差中項可知，當時，得，整理后可得，從而證明為等差數列，繼而可求.（

15、2），則可求出，令，即可求出 的取值范圍，進而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當時，當時，整理可得，是首項為1，公差為1的等差數列，.（2）由（1）可得，解得，最小正整數的值為35.【點睛】本題考查了等差中項，考查了等差數列的定義，考查了 與 的關系，考查了裂項相消求和.當已知有 與 的遞推關系時，常代入 進行整理.證明數列是等差數列時，一般借助數列，即后一項與前一項的差為常數.18（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，

16、然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因為60203401010，所以【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側重考查數學建模的核心素養.19（1）；（2）的最小值為19.【解析】（1）根據條件列方程組求出首項、公差，即可寫出等差數列的通項公式；（2）根據等差數列前n項和化簡，利用裂項相消法求和，解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數列的公差設為，可

17、得，解得，則；(2)，前n項和為，即，可得，即，則的最小值為19.【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，等差數列的前n項和，裂項相消法求和，屬于中檔題20（）見解析（）【解析】（）連接交于點，取中點，連結，證明平面得到答案.（）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（）連接交于點，取中點，連結因為為菱形，所以.因為，所以. 因為二面角為直二面角，所以平面平面，且平面平面，所以平面所以 因為所以是平行四邊形，所以. 所以，所以，所以平面，又平面，所以. （）由（）可知兩兩垂直，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 設 設平面的法

18、向量為，由，取.平面的法向量為 . 所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化成角，可得，展開并整理可得，從而可求出角；（2）由余弦定理得，進而可得，由，可求出的值，設邊上的高為，可得的面積為，從而可求出.【詳解】（1）由題意，由正弦定理得.因為，所以，所以，展開得，整理得.因為，所以，故，即.（2）由余弦定理得，則，得，故，故的面積為.設邊上的高為，有，故，所以邊上的高為.【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應用，考查三角形的面積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.22（1）證明見解析 （2）存在，為中點【解析】（1）證明面，即證明平面平面