1、高數上D11映射與函數1. 分析基礎: 函數 , 極限, 連續 2. 微積分學: 一元微積分(上冊)(下冊)3. 向量代數與空間解析幾何4. 無窮級數5. 常微分方程主要內容多元微積分如何學習高等數學 ?1. 認識高等數學的重要性, 培養濃厚的學習興趣.2. 學數學最好的方式是做數學.聰明在于學習 , 天才在于積累 .學而優則用 , 學而優則創 .由薄到厚 , 由厚到薄 .馬克思 恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數學.一門科學, 只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步 .第一節 華羅庚第一章分析基礎 函數 極限 連續 函數與極限 第一章 二、映射 三、函數 一、集合第一節

2、映射與函數元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、 集合1. 定義及表示法定義 1. 具有某種特定性質的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 . ( 或) .注: M 為數集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 與負數的集 .簡稱集簡稱元表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例:有限集合自然數集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整數集合或有理數集 p 與 q 互質實數集合 x 為有理數或無理數開區間閉區間無限區間點的 鄰域其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區間去心

3、鄰域左 鄰域 :右 鄰域 :是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關系及運算定義2 .則稱 A若且則稱 A 與 B 相等,例如,顯然有下列關系 :,若設有集合記作記作必有定義 3 . 給定兩個集合 A, B, 并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集或二、 映射某校學生的集合 學號的集合 按一定規則查號某班學生的集合 某教室座位 的集合按一定規則入座引例1. 引例2.引例3.(點集)(點集)向 y 軸投影定義4.設 X , Y 是兩個非空集合,若存在一個對應規則 f ,使得有唯一確定的與之對應,則稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作元素 y 稱為元

4、素 x 在映射 f 下的像, 記作元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定義域 ; Y 的子集稱為 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應規則, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 對映射若, 則稱 f 為滿射; 若有 則稱 f 為單射;若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射. 定義域三、函數1. 函數的概念 定義5. 設數集則稱映射為定義在D 上的函數 ,記為稱為值域 函數圖形:自變量因變量(對應規則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值 定義域 對應規律的表示方法:解析法、圖

5、像法、列表法使表達式或實際問題有意義的自變量集合.定義域值域又如, 絕對值函數定義域值 域對無實際背景的函數, 書寫時可以省略定義域.對實際問題, 書寫函數時必須寫出定義域；例4. 已知函數解:及寫出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的定義域 值域 2. 函數的幾種特性設函數且有區間(1) 有界性使稱 使稱 說明: 還可定義有上界、有下界、無界 .(2) 單調性為有界函數.在 I 上有界. 使若對任意正數 M , 均存在 則稱 f ( x ) 無界.稱 為有上界稱 為有下界當稱 為 I 上的稱 為 I 上的單調增函數 ;單調減函數 .(見 P11 )(3) 奇偶性且有若則稱 f

6、(x) 為偶函數;若則稱 f (x) 為奇函數. 說明: 若在 x = 0 有定義 ,為奇函數時,則當必有例如, 偶函數又如,奇函數說明: 給定 則 偶函數 奇函數 (4) 周期性且則稱為周期函數 ,若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數狄利克雷函數x 為有理數x 為無理數3. 反函數與復合函數(1) 反函數的概念及性質若函數為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數記成稱此映射為 f 的反函數 ., 其反函數(減)(減) .1) yf (x) 單調遞增且也單調遞增 性質: 使其中2) 函數與其反函數的圖形關于直線對稱 .例如

7、 ,對數函數互為反函數 ,它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱 .指數函數(2) 復合函數 則設有函數鏈稱為由, 確定的復合函數 , u 稱為中間變量. 注意: 構成復合函數的條件 不可少. 例如, 函數鏈 :但可定義復合函數時, 雖不能在自然域 R下構成復合函數,可定義復合函數當改兩個以上函數也可構成復合函數.例如, 可定義復合函數:約定: 為簡單計, 書寫復合函數時不一定寫出其定義域, 默認對應的函數鏈順次滿足構成復合函數的條件.4. 初等函數(1) 基本初等函數冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(2) 初等函數由常數及基本初等函數否則稱為非初等函數 . 例如 ,并可用一個式子表示的函數 ,經過有限次四則運算和復合步驟所構成 ,稱為初等函數 .可表為故為初等