1、第一節 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 完全與教材同步，主干知識精心提煉。素質和能力源于基礎，基礎知識是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點擊】中切入，思維從【考點梳理】中拓展，智慧從【即時應用】中升華。科學的訓練式梳理峰回路轉，別有洞天。去盡情暢游吧，它會帶你走進不一樣的精彩！三年3考 高考指數:1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念及相互間的關系，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3.能根據兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直；4.掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式等），了解斜截式與一次函數的關系.1.直線的斜率、方程以

2、及兩直線的位置關系是高考的重點；2.常與圓錐曲線綜合命題，重點考查函數與方程思想和數形結合思想；3.多以選擇題和填空題的形式出現，屬于中低檔題目.1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角一個前提：直線l與x軸_；一個基準：取_作為基準；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向.當直線l與x軸平行或重合時，規定：它的傾斜角為_.相交x軸0(2)直線的斜率定義：若直線的傾斜角不是90,則斜率k=_;計算公式：若由A（x1,y1）,B(x2,y2)確定的直線不垂直于x軸，則k=_. tan【即時應用】(1)過點M（-2,m），N(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為_；(2)直線 x-y+1=0的傾斜角

3、為_.【解析】(1)由斜率公式得： =1，解得m=1.(2) x-y+1=0的斜率k= ，即傾斜角的正切值tan= ，又0，= .答案：（1）1 （2） 2.兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關系.直線l1 、l2不重合，斜率分別為k1，k2且都存在l1l2k1=k2l1l2k1k2=-1【即時應用】（1）已知直線l1過點A(-1,1)和B(-2,-1),直線l2過點C(1,0)和D(0,a),若l1l2,則a=_；（2）直線l的傾斜角為30，若直線l1l，則直線l1的斜率k1=_；若直線l2l,則直線l2的斜率k2=_.【解析】（1）l1與l2的斜率分別為k1= ，k2= 由l1l2可知：a=

4、-2.（2）由直線斜率的定義知，直線l的斜率k=tan30= ，l1l，k1=k= ,ll2,k2k=-1,k2= =- .答案：（1）-2 （2） 3.直線方程的幾種形式【即時應用】(1)思考：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線方程能否寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？提示：能寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).當x1x2且y1y2時，直線方程為： 可化為上式；當x1x2，y1=y2時，直線方程為：y=y1也適合上式；當y1y2，x1=x2時，直線方程為：x=x1也適合上式；綜上可知：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線

5、方程能寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).(2)已知直線l經過點P(-2,5),且斜率為- ，則直線l的方程為_.【解析】由直線的點斜式方程得，直線l的方程為：y-5=- (x+2)，即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=0(3)經過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為_.【解析】經過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為答案：3x+2y+1=0 例題歸類全面精準，核心知識深入解讀。本欄目科學歸納考向，緊扣高考重點?！痉椒c睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領、答題技巧的指導與歸納；“經典例題”投石沖破水中天：例題按層級分梯度進行設計，層層

6、推進，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！ 直線的傾斜角與斜率【方法點睛】1.斜率的求法（1）定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數值,一般根據k=tan求斜率；（2）公式法：若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根據斜率公式k= (x1x2)求斜率. 2.直線的斜率k與傾斜角之間的關系【提醒】對于直線的傾斜角，斜率k=tan（90），若已知其一的范圍可求另一個的范圍. 0k0不存在k 00909090 180k 0【例1】(1)(2012福州模擬）直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是( )(A)0, (B)

7、 ,)(C)0, ( ,)(D) , ) ,)(2)已知兩點A（m,n），B(n,m)(mn)，則直線AB的傾斜角為_；(3)已知點A(2,-3)，B(-3,-2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB有交點，則直線l的斜率k的取值范圍為_.【解題指南】（1）直線傾斜角與直線的斜率有關，而已知直線的方程，因此可先求直線的斜率，由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍；（2）先由公式法求出斜率，再求傾斜角；（3）直線l的斜率的取值范圍，可由直線PA、PB的斜率確定；也可先寫出直線l的方程，再由點A、B在直線l的異側（或A、B之一在l上）求解.【規范解答】(1)選B.因為直線x+(a2+1)y+1=0

8、的斜率k= 且-1 0，所以直線的傾斜角的取值范圍是 3,b2.從而SABO 故有SABO=(a-3)+ +6當且僅當即a=6時,(SABO)min=12,此時此時直線l的方程為即2x+3y-12=0.方法二：由題可設直線方程為 (a0,b0),代入P（3,2）,得得ab24,從而SABO= ab12,當且僅當 時,等號成立,SABO取最小值12，此時此時直線l的方程為2x+3y-12=0.方法三：依題意知,直線l的斜率存在.設直線l的方程為y-2=k(x-3)(k0),則有A（3- ,0）,B(0,2-3k),SABO= (2-3k)(3- )= 12+(-9k)+ 12+2 = (12+1

9、2)=12,當且僅當-9k= ,即k=- 時,等號成立，SABO取最小值12.此時，直線l的方程為2x+3y-12=0.方法四：如圖所示,過P分別作x軸,y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N.設=PAM=BPN,顯然(0, )，則SABO=SPBN+S四邊形NPMO+SPMA= 33tan+6+ 22=6+ tan+ 當且僅當 tan= ,即tan= 時,SABO取最小值12,此時直線l的斜率為- ,其方程為2x+3y-12=0.【反思感悟】1.此題是直線方程的綜合應用，解題時，可靈活運用直線方程的各種形式，以便簡化運算.2.以直線為載體的面積、距離的最值問題，一般要結合函數、不等式的知識或

10、利用對稱性解決.【變式訓練】已知直線l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,AOB的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值并求此時直線l的方程.【解析】（1）直線l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令無論k取何值，直線總經過定點(-2,1).（2）由方程知，當k0時直線在x軸上的截距為在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經過第四象限，則必須有 解之得k0;當k=0時，直線為y=1，符合題意，故k0.(3)由l的方程，得A（ ),B(0,1+2k).依題意得 解得k0.S=

11、|OA|OB|= | |1+2k|= = (4k+ +4) (22+4)=4,“=”成立的條件是k0且4k= ,即k= ,Smin=4,此時l的方程為:x-2y+4=0. 把握高考命題動向，體現區域化考試特點。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經典考題，洞悉命題趨勢，展示現場評卷規則。對例題不僅僅是詳解評析，更是從命題層面評價考題，從備考角度提示規律方法，拓展思維，警示誤區?！究碱}體驗】讓你零距離體驗高考，親歷高考氛圍，提升應戰能力。為你順利穿越數學高考時空增添活力，運籌帷幄、決勝千里。【創新探究】與直線方程有關的創新命題【典例】(2011安徽高考）在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，

12、就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_（寫出所有正確命題的編號）.存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數存在恰經過一個整點的直線【解題指南】存在性問題，只需舉出一種成立情況即可，恒成立問題應根據推理論證后才能成立；注意數形結合，特例的取得與一般性的檢驗應根據命題的特點選擇合適的情形.【規范解答】正確.例如y= x+ ,當x是整數時, y是無理數,（x,y）不是整點；不正確,如y= x- 過整點（1,0）；設y

13、=kx(k0)是過原點的直線，若此直線過兩個整點(x1,y1),(x2,y2)，則有y1=kx1，y2=kx2，兩式相減得y1-y2=k(x1-x2)，則點(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上，通過這種方法可以得到直線l經過無窮多個整點，通過上下平移y=kx知對于y=kx+b也成立，所以正確；不正確,如y= x+ ,當x為整數時,y不是整數,此直線不經過無窮多個整點；正確,如直線y= x,只經過整點（0,0）.答案：【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，我們可以得到以下創新點撥和備考建議：創新點撥本題有三處創新點：（1）本題為新定義問題，題目的結構形式、設問方式都有創新；（2）考查內容的

14、創新，在考查直線的斜率、傾斜角、充要條件等知識的基礎上，還考查了學生的發散思維，思維方向與習慣思維不同；（3）考查方式的創新，對直線方程的考查，由常規方式轉換為以整點為載體考查直線方程的確定方式.備考建議解決與直線方程有關的創新問題時，要注意以下幾點：（1）充分理解直線的傾斜角、斜率的意義；（2）掌握確定直線的兩個條件；（3）注意數形結合的運用，在平時的學習和解題中，多思考一些題目的幾何意義；（4）注意逆向思維、發散思維的訓練.1.(2012福州模擬）已知直線l1的傾斜角為 ，直線l2經過點A（3，2），B(a,-1),且l1與l2垂直，則a等于( )(A)-4(B)-2(C)0(D)2【解析

15、】選C.依題意知:直線l1的斜率k1=tan =-1，又因為直線l1與直線l2垂直，直線l2的斜率k2= ，所以k2= =1，解得a=0.2.(2012衢州模擬）直線l經過點A（2，1），B（1，m2）（mR）兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是( )（A）0,）（B）0, ,)（C）0, （D）0, （ ,）【解析】選D.k= =1-m21,又k=tan,0,所以l的傾斜角的取值范圍是0，（ ,）, 故選D.3.(2012佛山模擬)若三點A(1,1),B(-1,0)及C(2,k)在同一直線上，則k值等于_.【解析】A(1,1),B(-1,0),C(2,k),又A、B、C三點在一條直線上， =k-1,k= .答案： 4.(2011浙江高考）若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則