1、第四章 彎 曲 內 力第四章 彎曲內力第一節 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖第二節 梁的剪力與彎矩第三節 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 第四節 彎矩、剪力與分布荷載集度間的關系及其應用第五節 按疊加原理作彎矩圖一、彎曲的概念 1、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。 2、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件 軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。 有對稱平面的梁稱為對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁 3、平面彎曲（對稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向對稱面內，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內的彎曲。 4、非對稱彎曲：若梁不具有縱向對稱面，或梁

2、有縱向對稱面上但外力并不作用在縱向對稱面內的彎曲。4.1 彎曲的概念及梁的計算簡圖FFsFAFB縱向對稱面二、 梁的荷載及計算簡圖 研究對象：等截面的直梁，且外力作用在梁對稱面內的平面力系。 1.梁的計算簡圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。 2.梁的支座簡化(平面力系)：a)活動鉸支座b)固定鉸支座c)固定端 3.靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁(b)簡支梁(c)外伸梁 4.作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q(x)任意分布荷載q均布荷載4.梁的剪力與彎矩一、截面法求內力：切取、替代、平衡FAB剪力CFC彎矩 剪力平行于橫截面的內

3、力，符號：，正負號規定：使梁有左上右下錯動趨勢的剪力為正，反之為負(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正)； MMMMFSFSFSFS 彎矩繞截面轉動的內力，符號：M，正負號規定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(梁上壓下拉的彎矩為正)。剪力為正剪力為負彎矩為正彎矩為負二、平面彎曲梁橫截面上的內力：剪力符號規定：彎矩符號規定：左上右下為正下側受拉(上凹下凸、左順右逆)為正或使該段梁順時針轉動為正MMMMFsFsFsFs對未知的剪力、彎矩按正方向設定求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩.例1BAP=q11223344qBAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1

4、Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 = =Fs2RqaFsaA4=-=Fs3=Fs4qaRqaB34=-=-BAP=qq1 21 23344RBRARARA例2 求下圖所示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解： 1、求支反力2、計算1-1截面的內力3、計算2-2截面的內力F=8kNFAFBq=12kN/m 通過上述計算可以看出，截面上的內力與該截面一側桿上的外力相平衡，因而可以直接通過一側桿段上的外力直接求得截面上的內力外力簡化法。符號如何確定？l:力的作用線至所求截面的距離MFsMFsmmFs=

5、-Fs=-左段右段11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求圖示簡支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩.ABRA RB RA =15kNRB =29kN請思考： RB還可如何簡便算出？11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根據1-1截面左側的外力計算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根據1-1截面右側的外力計算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-RB =123-29 =+7kNM

6、1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根據2-2截面右側的外力計算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根據2-2截面左側外力計算FS2、M2 , 請自己完成!FABCFC若將前面例題中確定尺寸b改為變量xFlABFslABFabClABabClABM試列出下列各梁AB的剪力方程和彎矩方程

7、, 作剪力圖和彎矩圖。xx1.剪力、彎矩方程： 2.剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內力的大小。例1 作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。4.剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 xFsFFlMFlABFsM例2 圖示簡支梁受均布荷載Fs的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。qlAB解： 1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程 例3 在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。 由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎矩圖發生轉折，剪力圖發生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。FabClAB解： 1、求

8、支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFsM 由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點，彎矩圖發生突變，其突變值為集中力偶的大小。 例4 在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解： 1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFsMxFsFFlMFlABabClABMFAFBFsMFabClABFAFBFsMFsMFslABFAFB機械MFSM土木由以上例題可總結以下幾條：1、在集中力作用點，剪力圖發生突變，彎矩圖發生轉折，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。2、在集中力偶作用點，剪力圖無變化，彎矩圖發生突變，其突變值為集

9、中力偶的大小。3、無載荷的梁段，剪力圖為一平行于軸線的直線，彎矩圖為斜直線。4、作用著均布載荷的梁段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。是普遍規律嗎？例PBALx簡支梁受移動荷載P作用，試求梁的最大彎矩為極大時荷載P的位置.解：荷載P移至x截面處，Mmax (x)=Px(L-x)/L位置：x截面令 dMc dx=0 x=L/2時， Mmax =P L/4跨中為最不利位置例作圖示平面剛架的內力圖.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN =0FS =10kNM= -10 x kNm (0 x2)BA段xFN =-10kNFS =20kNM= -20-20 x kNm (0 x3)一般將豎

10、直桿的下端看作左端10kN軸力圖剪力圖10kN20kN20kNm彎矩圖20kNm80kNm注意：軸力 正值畫在外側，負值畫在內側。剪力 正值畫在外側，負值畫在內側。彎矩 本教材畫在受壓側，不標注正負。 一般機械類教材彎矩圖畫在受壓側，土木類教材彎矩圖畫在受拉側。一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關系 1.假設：規定Fs(x)向上為正，向下為負；任取微段，認為其上Fs(x)為常數，無集中力、集中力偶；內力作正向假設。 2.微分關系推導：4.彎矩、剪力與分布載荷集度間的關系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)載荷集度、剪力和彎矩的微分

11、關系:d)d()Fs(xxqx=d()d)MxxFs(x=d()dd)d()22MxxFs(xxqx=1.微分關系的幾何意義： 剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小；彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點剪力的大小。 2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態：二、討論微分關系的幾何意義外力情況q0C0C0有極小值0有極大值注意坐標方向不同，曲線開口方向不同FsFs0Fs0Fs0Fs0M由：EDxCxxMDCxxFs(xxM+=+=221)()d)(d求出令0)d)(d=xFs(xxM各種形式荷載作用下的剪力、彎矩圖CC尖角突變PC無變化突變mFs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0突變

12、1.先利用計算法則計算分段點（控制點）FS、M值；2.利用微分關系判斷并畫出分段點之間的FS、M圖。 實例：利用微分關系作剪力彎矩圖例六 外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的FS-M圖。解： 1、求支反力2、判斷各段FS、M圖形狀：CA和DB段：Fs=0，Fs圖為水平線， M圖為斜直線。AD段：Fs0， Fs 圖為向下斜直線， M圖為上凸拋物線。DABC3、先確定各分段點的FS 、M值，用相應形狀的線條連接。Fs+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3例Fs例一般作剪力圖時，從左往右，隨力的方向走。Fs例A端約束力=PABB端約束力=0Fs例PP

13、Fs例Fs例Fs例Fs例Fs例綜合應用題4m4m4m3mABCDEMq外伸梁解：一、求支反力二、作剪力圖Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:=-=-+斜直線段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11-=-=-=+斜直線段4m4m4m3mABCDEMqFs7313BD：水平直線BE：水平直線2三、作彎矩圖M2020.516x mkNFsB3-=-kNPFsB22=+)mqPRxPqxRxFs(CDAA50:11=-=-=令拋物線4m4m4m3mABCDEMqFs73132M2020.51666xABC Dx 例 繪制剛架內力圖解：一）求支反力：Fs=1kN/mAB

14、8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB二）分析內力：1）BC段：（0 x13）8kNRAYFs=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx1FN12）DC段：（0 x23）分段列出EC段:（0 x22）X2RB =5kN3531)(5)12222N2-=x-=-=-=-=xxRxMkNRxFs(kNFBB)2xFs()1xFs(kNRFB5N1-=-=軸力N2F剪力彎矩Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBED段:（2x23）X2X33）AD段：（0 x34）RB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN13331)2(

15、8)(58);122222N2+-=x-=+-=-=xxxRxMkNRxFs(FBB23323323333N321321)(31)3()3xxFsxxRxMxxFsxRxFs(kNRFAxAxAy-=-=-=-=-=-=-=)3xFs(N3FFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC1）軸力圖三、作內力圖5kN1kN3kNkNFADkNFDCkNFBC3:1:5:N3N2N1-=-=-=桿桿桿Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力圖:用簡易法：取控制點1kNBC段：取一點（水平線）DC段：取兩點（l）5kN

16、3kNDA段：取兩點（斜直線）1kN3kNRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）彎矩圖用簡易法：取控制點BC段：取兩點（斜直線）DC段：取兩點（水平線）DA段：取三點（拋物線）ABDEC0kNm3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3mABDEC1kN5kN3kN1kN3kN4kNmRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kNm3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN當變形為微小時，可采用變形前尺寸

17、進行計算。疊加原理：當梁在各項荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩的代數和。疊加法作彎矩圖： 設簡支梁同時承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：按疊加原理作彎矩圖BMBAqMAlB+ 注意：這里所說的彎矩疊加，是縱坐標的疊加而不是指圖形的拚合。圖中的縱坐標都是垂直于桿軸線AB的。 （1）選定外力的不連續點(如集中力、集中力偶的作用點，分布力的起點和終點等)為控制截面，求出控制截面的彎矩值。 （2）分段畫彎矩圖。當控制截面之間無荷載時，該段彎矩圖是直線圖形。當控制截面之間有荷載時，用疊加法作該段的彎矩圖。 例 作圖示簡支梁的彎矩圖。利用內力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般過程歸納如下：2FCl/2ABFl/2l/2M+Fl