1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖2為骨笛測量“春（秋）

2、分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( )A公元前2000年到公元元年B公元前4000年到公元前2000年C公元前6000年到公元前4000年D早于公元前6000年2過雙曲線 的左焦點作直線交雙曲線的兩

3、天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（ ）ABCD3在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：假設螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（ ）ABCD4已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD5當時，函數的圖象大致是（ ）ABCD6已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，則當時，的最大值是（ ）A8B9C10D117已知為定義在上的奇函數，若當時，（為實

4、數），則關于的不等式的解集是（ ）ABCD8設平面與平面相交于直線，直線在平面內，直線在平面內，且則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D即不充分不必要條件9已知是平面內互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（ ）ABCD10已知復數，其中為虛數單位，則（ ）ABC2D11高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，已知函數（），則函數的值域為（ ）ABCD12為虛數單位,則的虛部為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5

5、分）有一道描述有關等差與等比數列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數列，后三個和尚的身高依次成等比數列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是_ cm14已知，則展開式的系數為_15展開式中的系數為_16已知，圓，直線PM，PN分別與圓O相切，切點為M，N，若，則的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知在中，角，的對邊分別為，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.18（12分）若養殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養殖場考核為合格，該養殖場在20

6、19年1月到8月養殖生豬的相關數據如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數/只293749537798126145（1）從該養殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據1月到8月的數據，求出月利潤y（十萬元）關于月養殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養殖中，月利潤與月養殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法

7、估計計算公式如下：，參考數據：.19（12分）已知函數（1）若，不等式的解集；（2）若，求實數的取值范圍.20（12分）已知函數.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值21（12分）在數列中，已知，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.22（10分）在綜合素質評價的某個維度的測評中，依據評分細則，學生之間相互打分，最終將所有的數據合成一個分數，滿分100分，按照大于或等于80分的為優秀，小于80分的為合格，為了解學生的在該維度的測評結果，在畢業班中隨機抽出一個班的數據.該班共有60名學生，得到如下的列聯表：優秀合格總計男生6女生18合計60已知

8、在該班隨機抽取1人測評結果為優秀的概率為.（1）完成上面的列聯表；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結果有關系？（3）現在如果想了解全校學生在該維度的表現情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學生中抽取少數一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.024參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】先理解題意，然后根據題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項【詳解】解：由

9、題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年故選：【點睛】本題考查利用三角函數解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉化思想，數學建模思想，以及數學運算能力，屬中檔題2C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.為線段的中點，則為等腰三角形.由雙曲線的的漸近線的性質可得，即.雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用，對于求解曲線的離心率(或

10、離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)3C【解析】將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊易求得，由，知，由余弦定理知其中，故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.4D【解析】根據雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率【詳解】由題意，又，在中，即，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線

11、的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式5B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.6B【解析】根據題意計算，解不等式

12、得到答案.【詳解】是以1為首項，2為公差的等差數列，.是以1為首項，2為公比的等比數列，.，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.7A【解析】先根據奇函數求出m的值，然后結合單調性求解不等式.【詳解】據題意，得，得，所以當時，.分析知，函數在上為增函數.又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數的性質應用，側重考查數學抽象和數學運算的核心素養.8A【解析】試題分析：， bm又直線a在平面內，所以ab，但直線不一定相交，所以“”是“ab”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件.9C

13、【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C考點：1向量加減法的幾何意義；2正弦定理；3正弦函數性質10D【解析】把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.11B【解析】利用換元法化簡解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數的對稱軸方程為，所以，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數的定義域與值域等基礎知

14、識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.12C【解析】利用復數的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數的虛部為，不是，本題為基礎題，也是易錯題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】依題意設前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數列,則公比，故.14【解析】先根據定積分求出的值，再用二項展開式公式即可求解.【詳解】因為所以的通項公式為當時，當時，故展開式中的系數為故答案為：【點睛】此題考查定積分公式，二項展開式

15、公式等知識點，屬于簡單題目.1530【解析】先將問題轉化為二項式的系數問題，利用二項展開式的通項公式求出展開式的第項，令的指數分別等于2，4，求出特定項的系數【詳解】由題可得：展開式中的系數等于二項式展開式中的指數為2和4時的系數之和，由于二項式的通項公式為，令，得展開式的的系數為，令，得展開式的的系數為，所以展開式中的系數，故答案為30.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式解決二項展開式的特定項的問題，考查學生的轉化能力，屬于基礎題16【解析】由可知R為中點,設,由過切點的切線方程即可求得,，代入，則在直線上，即可得方程為，將 ，代入化簡可得，則直線過定點,由則點在以為直徑的圓上，則.

16、即可求得.【詳解】如圖，由可知R為MN的中點，所以，設，則切線PM的方程為，即，同理可得，因為PM，PN都過，所以，所以在直線上，從而直線MN方程為，因為，所以，即直線MN方程為，所以直線MN過定點,所以R在以OQ為直徑的圓上，所以.故答案為: .【點睛】本題考查直線和圓的位置關系,考查圓的切線方程,定點和圓上動點距離的最值問題,考查學生的數形結合能力和計算能力,難度較難.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當時，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據題意，得，.又，

17、.解：（2）由（1）求解知，.當時，.又，.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題18（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】（1）首先列出基本事件，然后根據古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養殖量x的平均值，然后根據公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據線性回歸方程代入9月份的數據即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點

18、睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.19（1）（2）【解析】（1）依題意可得，再用零點分段法分類討論可得；（2）依題意可得對恒成立，根據絕對值的幾何意義將絕對值去掉，分別求出解集，則兩解集的并集為，得到不等式即可解得；【詳解】解：（1）若，則，即，當時，原不等式等價于，解得當時，原不等式等價于，解得，所以；當時，原不等式等價于，解得；綜上，原不等式的解集為；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集為，則解得，故的取值范圍是.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于中檔題20（1）；（2）見解析【解析】將函數解析式化簡即可求出函數的最小正周期根據正弦函數的圖象和性質即可求出函數在定義域上的最大值和最小值【詳解】（）由題意得 原式 的最小正周期為. （），. 當，即時，