1、第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (習(xí)題答案)2.1什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？常用的數(shù)學(xué)模型有哪些？解：數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程的物理、化學(xué)等規(guī)律，所寫出的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性、輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間模型等。2.2 什么是線性系統(tǒng)？其最重要的特性是什么？解：凡是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個(gè)最重要的特性就是它滿足疊加原理。2.3 圖( 題2.3) 中三圖分別表示了三個(gè)機(jī)械系統(tǒng)。求出它們各自的微分方程, 圖中xi表示輸入位移, xo表示輸出位移, 假設(shè)輸出端無負(fù)載效應(yīng)。題圖2.3解：圖(a)：由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，在不計(jì)重力時(shí)，可得c

2、1xi-xo-c2xo=mxo整理得md2xodt2+c1+c2dxodt=c1dxidt將上式進(jìn)行拉氏變換，并注意到運(yùn)動(dòng)由靜止開始，即初始條件全部為零，可得ms2+c1+c2sXo(s)=c1sXi(s)于是傳遞函數(shù)為Xo(s)Xi(s)=c1ms+c1+c2圖(b)：其上半部彈簧與阻尼器之間，取輔助點(diǎn)A，并設(shè)A點(diǎn)位移為x，方向朝下；而在其下半部工。引出點(diǎn)處取為輔助點(diǎn)B。則由彈簧力與阻尼力平衡的原則，從A和B兩點(diǎn)可以分別列出如下原始方程：K1xi-x=cx-xoK2xo=cx-xo消去中間變量x，可得系統(tǒng)微分方程c(K1+K2)dxodt+K1K2xo=K1cdxidt對(duì)上式取拉氏變換，并記

3、其初始條件為零，得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Xo(s)Xi(s)=cK1sc(K1+K2)s+K1K2圖(c)：以xo的引出點(diǎn)作為輔助點(diǎn)，根據(jù)力的平衡原則，可列出如下原始方程：K1xi-x+cxi-xo=K2xo移項(xiàng)整理得系統(tǒng)微分方程cdxodt+(K1+K2)xo=cdxidt+K1xi對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，并注意到運(yùn)動(dòng)由靜止開始，即xi(0)=xo(0)=0則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Xo(s)Xi(s)=cs+K1cs+(K1+K2)2.4試建立下圖（題圖2.4）所示各系統(tǒng)的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特點(diǎn)，其中電壓和位移為輸入量；電壓和位移為輸出量；和為彈簧彈性系數(shù)；為阻尼系數(shù)。題圖2.4【解】：方法一

4、：設(shè)回路電流為，根據(jù)克希霍夫定律，可寫出下列方程組：消去中間變量，整理得：方法二：由于無質(zhì)量，各受力點(diǎn)任何時(shí)刻均滿足，則有：設(shè)阻尼器輸入位移為，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程結(jié)論：、互為相似系統(tǒng)，、互為相似系統(tǒng)。四個(gè)系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)。2.5試求下圖（題圖2.5）所示各電路的傳遞函數(shù)。題圖2.5【解】：可利用復(fù)阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數(shù)。(a) (b) (c) (d)2.6求圖( 題圖2.6) 所示兩系統(tǒng)的微分方程。題圖2.6解（1）對(duì)圖（a）所示系統(tǒng)，由牛頓定律有f(t)-ky(t)=my(t)即my(t)+ky(t)=f(t)（2）對(duì)圖（b）所示系統(tǒng)，由牛頓定律有f(t)-

5、ky(t)=my(t)其中k=k1k2k1+k2 my(t)+k1k2k1+k2y(t)=f(t)2.7 求圖( 題圖2.7) 所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程。圖中M為輸入轉(zhuǎn)矩，Cm為圓周阻尼，J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圓周半徑為R，設(shè)系統(tǒng)輸入為M（即M(t)），輸出為（即(t)），題圖2.7解：分別對(duì)圓盤和質(zhì)塊進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，列寫動(dòng)力學(xué)方程如下：M=J +Cm+Rk(R-x)kR-x=mx+cx消除中間變量x，即可得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程mJ(4)+(mCm+cJ)+(R2km+Cmc+kJ)+k(cR2+Cm)=mM+cM+kM2.8 求圖( 題圖2.8) 所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（f(t)為輸入，y2(t)為輸出）。

6、解分別對(duì)m1，m2進(jìn)行受力分析，列寫其動(dòng)力學(xué)方程有f-c2y2-c1y2-y1=m2y2c1y2-y1-ky1=m1y1對(duì)上兩式分別進(jìn)行拉氏變換有Fs-c2sY2s-c1sY2s-Y1s=m2s2Y2sc1sY2s-Y1s-kY1s=m1s2Y1s消除Y1s得Gs=Y2sFs=m1s2+c1s+km1m2s4+m2c1+m1c1+c2s3+(m2k+c1c2)s2+k(c1+c2)s2.9 若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖(題圖2.9) 所示, 求：(1) 以R(s)為輸入，當(dāng)N(s) = 0 時(shí)，分別以C(s)，Y(s)， B(s)，E(s) 為輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。(2) 以N(s)為輸入，當(dāng)R(s

7、) = 0 時(shí)，分別以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 為輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。(3) 比較以上各傳遞函數(shù)的分母，從中可以得出什么結(jié)論。題圖2.8 題圖2.9解（1）以R(s)為輸入，當(dāng)N(s)=0時(shí)：若以C(s)為輸出，有Gc(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)為輸出，有GY(s)=Y(s)R(s)=G1(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)為輸出，有GB(s)=B(s)R(s)=G1(s)G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)為輸出，有GE(s)=E(s)R(s)=11+G1sG2sH(s)（2）以N(s)為輸入，當(dāng)R(

8、s)=0時(shí)：若以C(s)為輸出，有Gc(s)=C(s)N(s)=G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)為輸出，有GY(s)=Y(s)N(s)=-G1sG2sH(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)為輸出，有GB(s)=B(s)N(s)=G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)為輸出，有GE(s)=E(s)N(s)=-G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)（3）從上可知：對(duì)于同一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)輸入的取法不同時(shí)，前向通道的傳遞函數(shù)不同，反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也不同，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母保持不變，這是因?yàn)檫@一分母反映了系統(tǒng)的固有特性，而與外界無關(guān)。2.1

9、0 求出圖( 題圖2 .10) 所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。題圖2.10解方法一：利用公式（2.3.1），可得GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H4方法二：利用方框圖簡化規(guī)則，有圖（題2.16.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H42.11 求出圖( 題圖2 .11) 所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解根據(jù)方框圖簡化的規(guī)則，有圖（題2.17.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3+G41+(G1G2G3+G4)H3-G1G2G3H1H2

10、題圖2.112.12 圖(題圖2 .12) 所示為一個(gè)單輪汽車支撐系統(tǒng)的簡化模型。代表汽車質(zhì)量，B代表振動(dòng)阻尼器，為彈簧，為輪子的質(zhì)量，為輪胎的彈性，試建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。題圖2.12問題2 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)。這是一個(gè)單輪汽車支撐系統(tǒng)的簡化模型。m1代表汽車質(zhì)量，B代表振動(dòng)阻尼器，K1為彈簧，m2為輪子的質(zhì)量，K2為輪胎的彈性，建立質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。解答：m1d2x1dt2=-Bdx1dt-dx2dt-K1(x1-x2)m2dx2dt2=ft-Bdx2dt-dx1dt-K1x2-x1-K2x2拉氏變換：m1s2X1s=-BsX1s-X2s-K1X1s-X2sm2s2X2s=Fs-BsX2s-X

11、1s-K1X2s-X1s-K2X2(s)(m1s2+Bs+K1) X1s-Bs+K1X2s=0-Bs+K1X1s+m2s2+Bs+K1+K2X2s=F(s)X1sF(s)=Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K2X2sF(s)=m1s2+Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K22.13 液壓阻尼器原理如圖(題圖2.13)所示。其中，彈簧與活塞剛性聯(lián)接，忽略運(yùn)動(dòng)件的慣性力，且設(shè)為輸入位移，為輸出位移，k彈簧剛度，c為粘性阻尼系數(shù)，求輸出與輸入之間的傳遞函數(shù)。題圖2.13解：1）求系統(tǒng)的傳遞

12、函數(shù) 活塞的力平衡方程式為經(jīng)拉氏變換后有解得傳遞函數(shù)為式中，為時(shí)間常數(shù)。2.14 由運(yùn)算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路圖如圖(題圖2.14)所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)題圖2.14解：U1sU0s+Uis=-Z1R01U2sU1s=-Z2R02U0sU2s=-R2R03式（1）（2）（3）左右兩邊分別相乘得U0sU0s+Uis=-Z1R0Z2R0R2R0即U0s+UisU0s=-R03Z1Z2R2 1+UisU0s=-R03Z1Z2R2所以：UisU0s=-R03Z1Z2R2-1U0sUis=-1R03Z1Z2R2+1=-Z1Z2R2R03+Z1Z2R2=-R1T1s+11C2sR2R03+R1T1s

13、+11C2sR2=-R1R2(T1s+1)C2sR03+R1R22.15 某位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理方塊圖如圖(題圖2.15)所示。已知電位器最大工作角度，功率放大級(jí)放大系數(shù)為，要求：(1) 分別求出電位器傳遞系數(shù)、第一級(jí)和第二級(jí)放大器的比例系數(shù)和；(2) 畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；(3) 簡化結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)；題圖2.15 位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖解：（1）K0=15V1650K1=3010=3 K2=2010=2（2）es=is-0sUss=K0esUas=K1K2KsUssUas=RaIas+LasIas+EbsMms=CmIasJs20s+fs0s=Mm(s)-Mc(s)Ebs=Kb0s系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：

14、（3）系統(tǒng)傳遞函數(shù)0s/is0sis=K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)+CmKb=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb+K0K1K2KsCm2.16 設(shè)直流電動(dòng)機(jī)雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的原理圖如圖(題圖2.16)所示，要求：(1)分別求速度調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)；(2)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（設(shè)可控電路傳遞函數(shù)為；電流互感器和測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)分別為和）；(3)簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。題圖2.16 直流電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)原理圖解：（1）速調(diào)UST(s)Uis-Ufs=Z1R=R1+1C1sR=R1C1s+1RC1s=T1