1、第2章系統的數學模型 (習題答案)2.1什么是系統的數學模型？常用的數學模型有哪些？解：數學模型就是根據系統運動過程的物理、化學等規律，所寫出的描述系統運動規律、特性、輸出與輸入關系的數學表達式。常用的數學模型有微分方程、傳遞函數、狀態空間模型等。2.2 什么是線性系統？其最重要的特性是什么？解：凡是能用線性微分方程描述的系統就是線性系統。線性系統的一個最重要的特性就是它滿足疊加原理。2.3 圖( 題2.3) 中三圖分別表示了三個機械系統。求出它們各自的微分方程, 圖中xi表示輸入位移, xo表示輸出位移, 假設輸出端無負載效應。題圖2.3解：圖(a)：由牛頓第二運動定律，在不計重力時，可得c

2、1xi-xo-c2xo=mxo整理得md2xodt2+c1+c2dxodt=c1dxidt將上式進行拉氏變換，并注意到運動由靜止開始，即初始條件全部為零，可得ms2+c1+c2sXo(s)=c1sXi(s)于是傳遞函數為Xo(s)Xi(s)=c1ms+c1+c2圖(b)：其上半部彈簧與阻尼器之間，取輔助點A，并設A點位移為x，方向朝下；而在其下半部工。引出點處取為輔助點B。則由彈簧力與阻尼力平衡的原則，從A和B兩點可以分別列出如下原始方程：K1xi-x=cx-xoK2xo=cx-xo消去中間變量x，可得系統微分方程c(K1+K2)dxodt+K1K2xo=K1cdxidt對上式取拉氏變換，并記

3、其初始條件為零，得系統傳遞函數為Xo(s)Xi(s)=cK1sc(K1+K2)s+K1K2圖(c)：以xo的引出點作為輔助點，根據力的平衡原則，可列出如下原始方程：K1xi-x+cxi-xo=K2xo移項整理得系統微分方程cdxodt+(K1+K2)xo=cdxidt+K1xi對上式進行拉氏變換，并注意到運動由靜止開始，即xi(0)=xo(0)=0則系統傳遞函數為Xo(s)Xi(s)=cs+K1cs+(K1+K2)2.4試建立下圖（題圖2.4）所示各系統的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特點，其中電壓和位移為輸入量；電壓和位移為輸出量；和為彈簧彈性系數；為阻尼系數。題圖2.4【解】：方法一

4、：設回路電流為，根據克希霍夫定律，可寫出下列方程組：消去中間變量，整理得：方法二：由于無質量，各受力點任何時刻均滿足，則有：設阻尼器輸入位移為，根據牛頓運動定律，可寫出該系統運動方程結論：、互為相似系統，、互為相似系統。四個系統均為一階系統。2.5試求下圖（題圖2.5）所示各電路的傳遞函數。題圖2.5【解】：可利用復阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數。(a) (b) (c) (d)2.6求圖( 題圖2.6) 所示兩系統的微分方程。題圖2.6解（1）對圖（a）所示系統，由牛頓定律有f(t)-ky(t)=my(t)即my(t)+ky(t)=f(t)（2）對圖（b）所示系統，由牛頓定律有f(t)-

5、ky(t)=my(t)其中k=k1k2k1+k2 my(t)+k1k2k1+k2y(t)=f(t)2.7 求圖( 題圖2.7) 所示機械系統的微分方程。圖中M為輸入轉矩，Cm為圓周阻尼，J 為轉動慣量。圓周半徑為R，設系統輸入為M（即M(t)），輸出為（即(t)），題圖2.7解：分別對圓盤和質塊進行動力學分析，列寫動力學方程如下：M=J +Cm+Rk(R-x)kR-x=mx+cx消除中間變量x，即可得到系統動力學方程mJ(4)+(mCm+cJ)+(R2km+Cmc+kJ)+k(cR2+Cm)=mM+cM+kM2.8 求圖( 題圖2.8) 所示系統的傳遞函數（f(t)為輸入，y2(t)為輸出）。

6、解分別對m1，m2進行受力分析，列寫其動力學方程有f-c2y2-c1y2-y1=m2y2c1y2-y1-ky1=m1y1對上兩式分別進行拉氏變換有Fs-c2sY2s-c1sY2s-Y1s=m2s2Y2sc1sY2s-Y1s-kY1s=m1s2Y1s消除Y1s得Gs=Y2sFs=m1s2+c1s+km1m2s4+m2c1+m1c1+c2s3+(m2k+c1c2)s2+k(c1+c2)s2.9 若系統傳遞函數方框圖如圖(題圖2.9) 所示, 求：(1) 以R(s)為輸入，當N(s) = 0 時，分別以C(s)，Y(s)， B(s)，E(s) 為輸出的閉環傳遞函數。(2) 以N(s)為輸入，當R(s

7、) = 0 時，分別以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 為輸出的閉環傳遞函數。(3) 比較以上各傳遞函數的分母，從中可以得出什么結論。題圖2.8 題圖2.9解（1）以R(s)為輸入，當N(s)=0時：若以C(s)為輸出，有Gc(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)為輸出，有GY(s)=Y(s)R(s)=G1(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)為輸出，有GB(s)=B(s)R(s)=G1(s)G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)為輸出，有GE(s)=E(s)R(s)=11+G1sG2sH(s)（2）以N(s)為輸入，當R(

8、s)=0時：若以C(s)為輸出，有Gc(s)=C(s)N(s)=G2(s)1+G1sG2sH(s)若以Y(s)為輸出，有GY(s)=Y(s)N(s)=-G1sG2sH(s)1+G1sG2sH(s)若以B(s)為輸出，有GB(s)=B(s)N(s)=G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)若以E(s)為輸出，有GE(s)=E(s)N(s)=-G2(s)H(s)1+G1sG2sH(s)（3）從上可知：對于同一個閉環系統，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數不同，反饋回路的傳遞函數不同，系統的傳遞函數也不同，但系統的傳遞函數分母保持不變，這是因為這一分母反映了系統的固有特性，而與外界無關。2.1

9、0 求出圖( 題圖2 .10) 所示系統的傳遞函數。題圖2.10解方法一：利用公式（2.3.1），可得GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H4方法二：利用方框圖簡化規則，有圖（題2.16.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3G41-G1G2G3G4H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H42.11 求出圖( 題圖2 .11) 所示系統的傳遞函數。解根據方框圖簡化的規則，有圖（題2.17.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=G1G2G3+G41+(G1G2G3+G4)H3-G1G2G3H1H2

10、題圖2.112.12 圖(題圖2 .12) 所示為一個單輪汽車支撐系統的簡化模型。代表汽車質量，B代表振動阻尼器，為彈簧，為輪子的質量，為輪胎的彈性，試建立系統的數學模型。題圖2.12問題2 質點振動系統。這是一個單輪汽車支撐系統的簡化模型。m1代表汽車質量，B代表振動阻尼器，K1為彈簧，m2為輪子的質量，K2為輪胎的彈性，建立質點平移系統數學模型。解答：m1d2x1dt2=-Bdx1dt-dx2dt-K1(x1-x2)m2dx2dt2=ft-Bdx2dt-dx1dt-K1x2-x1-K2x2拉氏變換：m1s2X1s=-BsX1s-X2s-K1X1s-X2sm2s2X2s=Fs-BsX2s-X

11、1s-K1X2s-X1s-K2X2(s)(m1s2+Bs+K1) X1s-Bs+K1X2s=0-Bs+K1X1s+m2s2+Bs+K1+K2X2s=F(s)X1sF(s)=Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K2X2sF(s)=m1s2+Bs+K1m1m2s4+Bm1+m2s3+K1m1+K1m2+K2m1s2+K2Bs+K1K22.13 液壓阻尼器原理如圖(題圖2.13)所示。其中，彈簧與活塞剛性聯接，忽略運動件的慣性力，且設為輸入位移，為輸出位移，k彈簧剛度，c為粘性阻尼系數，求輸出與輸入之間的傳遞函數。題圖2.13解：1）求系統的傳遞

12、函數 活塞的力平衡方程式為經拉氏變換后有解得傳遞函數為式中，為時間常數。2.14 由運算放大器組成的控制系統模擬電路圖如圖(題圖2.14)所示，試求閉環傳遞函數題圖2.14解：U1sU0s+Uis=-Z1R01U2sU1s=-Z2R02U0sU2s=-R2R03式（1）（2）（3）左右兩邊分別相乘得U0sU0s+Uis=-Z1R0Z2R0R2R0即U0s+UisU0s=-R03Z1Z2R2 1+UisU0s=-R03Z1Z2R2所以：UisU0s=-R03Z1Z2R2-1U0sUis=-1R03Z1Z2R2+1=-Z1Z2R2R03+Z1Z2R2=-R1T1s+11C2sR2R03+R1T1s

13、+11C2sR2=-R1R2(T1s+1)C2sR03+R1R22.15 某位置隨動系統原理方塊圖如圖(題圖2.15)所示。已知電位器最大工作角度，功率放大級放大系數為，要求：(1) 分別求出電位器傳遞系數、第一級和第二級放大器的比例系數和；(2) 畫出系統結構圖；(3) 簡化結構圖，求系統傳遞函數；題圖2.15 位置隨動系統原理圖解：（1）K0=15V1650K1=3010=3 K2=2010=2（2）es=is-0sUss=K0esUas=K1K2KsUssUas=RaIas+LasIas+EbsMms=CmIasJs20s+fs0s=Mm(s)-Mc(s)Ebs=Kb0s系統結構圖如下：

14、（3）系統傳遞函數0s/is0sis=K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)1+CmKbs(Las+Ra)(Js+f)=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb1+K0K1K2KsCms(Las+Ra)(Js+f)+CmKb=K0K1K2KsCmsLas+RaJs+f+CmKb+K0K1K2KsCm2.16 設直流電動機雙閉環調速系統的原理圖如圖(題圖2.16)所示，要求：(1)分別求速度調節器和電流調節器的傳遞函數；(2)畫出系統結構圖（設可控電路傳遞函數為；電流互感器和測速發電機的傳遞函數分別為和）；(3)簡化系統結構圖，求系統傳遞函數。題圖2.16 直流電動機調速系統原理圖解：（1）速調UST(s)Uis-Ufs=Z1R=R1+1C1sR=R1C1s+1RC1s=T1