1、2.1材料的彈性本構單向板：同一方向纖維鋪設單層板一般是厚度為0.125mm的薄層復合材料，層合板是許多單層板在厚度方向以不同交叉角堆砌而成。由于層合板直接形成復合材料結構件，須對層合板的應力和應變作精確分析。另外，層合板破壞理論、剛度模量、優化設計等均需要對應力、應變狀態有透徹了解。2 單層板宏觀力學1假設單層板由各向同性纖維和基體組成，則單層板每點的剛度不一致，取決于纖維、基體、抑或是兩者的界面。所以取總體平均，單層板看作是均質體。至于如何從纖維、基體各自的性質推測單層板平均性質，將在單層板細觀力學中討論。說明：即使單層板看作是均質體，其力學行為也與均質各向同性材料不一致。2從無窮大厚度（

2、thickness）的各向同性平板中取邊長為W的正方形 345對各相同性材料有：試樣取樣方法同，在平行于單向板中纖維方向取樣 678 如下圖取樣 9不僅在正應力方向產生變形，還會產生畸變說明呈一定角度鋪設的單層板參數表征更復雜材料力學性能表征需要繁瑣的實驗及理論建模工作，唯一的目標是希望用最少的參數對單層板的力學性質作全面表征10本構：材料應力應變關系應力、應變的介紹：在物體內產生內應力，且內應力必須小于該點處的材料強度，否則材料會發生破壞。11設想一個物體在各種力作用下得到平衡，在任意切面上，載荷P作用在面積A上，載荷力矢量有兩個分量：垂直于A面的Pn，平行于A面的Ps，則12在同一點處用不

3、同的切面，則P保持不變，但分量n和s 產生變化，應力P是不隨任何坐標系轉換而改變的。坐標系可以是直角坐標系（Cartesian Coordinate),也可以是曲線坐標系，現取右手直角坐標系xyz，取平面平行于y-z平面，力矢量 作用于A,1314同樣，也可以用平行于xy和xz的平面切割，同上方法，為定義相應應力，可以在右手系中取無限小立方體，確定各面力，在物體內部有九個應力值，6個剪應力有：1516對于一立方體，有6個獨立應力量：剪應力方向畫法: 正面正向 為正 負面負向正應力 兩者都是正向或負向時才為正剪應力17應變：同樣也在右手系中分析無窮小立方體的變形與應變（小應變），取立方體的一個面

4、作分析：18同理:19彈性模量及本構： 各相同性體：在三維狀態下，有：20應變能：彈性體在外力作用下，儲存在單位體積中的應變能是21例：截面積為A的圓柱，均質各相同性體，模量E寫出各應力、應變及應變能表達式22假設圓柱是均質各相同性體、線彈性材料，則應力應變關系是：23其他不同類型材料彈性本構：一般材料是非線性彈性和非各相同性，其本構 中的柔度矩陣 比較復雜。假設復合材料是線彈體，非各相同性，此時仍可用線彈性本構，即 是常數矩陣，但其中的待定常數較多24三維物體在123正交直線坐標系中的普遍性應力應變關系是：如果直角坐標123轉換成另一坐標系123，則剛度矩陣中各數值是原剛度矩陣和坐標夾角的函

5、數。25 各相異性材料：由于C或S是對稱矩陣，存在21個常數。對于非均質體，則各點處常數值不一樣。 正交材料（材料內存在三個相互垂直的對稱面），則269個獨立常數同理也可寫出S：27 橫觀同性材料（單向板）28五個獨立常數29 二維單向板彈性本構平面應力假設：薄板上、下兩面均沒有外載，即三維本構 二維本構單向板屬于正交異性材料，如果單向板較薄，且不存在面外載荷，則單向板處于平面應力狀態。30四個獨立常數Q和S中各元素與工程彈性常數的聯系：3132在2方向拉伸：3334柔度矩陣中各元素與工程彈性常數關系為：同理Q矩陣中各元素也有類似關系單向板作為一種特殊的正交板，在12方向的正應力不會形成12平

6、面內的剪應變同理：12平面內的剪應力不會引起1和2方向上的正應變。對于織物復合材料也同樣如此。3536解：37在12坐標系下，382.2單層板本構在坐標系下的轉換實際使用的層合板不是由單一角度鋪設的單向板組成，因為在橫向剛度合強度較低。3912：局部坐標、材料坐標1：纖維方向、長度方向（L）2：橫向（T）XY：整體坐標、全局坐標前已建立在12下的應力應變關系，如何得到在XY下的本構、全局和局部應力關系（同一應力在不同坐標下的表達），應變也類似。40T:坐標轉換矩陣：41所以42兩矩陣中元素的對應關系即為矩陣 ：43也即是：44在全局坐標系下的工程常數：（如何用主軸工程常數得到偏軸常數）45（1

7、）x方向施加載荷46X方向：47(2) y方向：48(3)施加剪應力：49同理：50工程常數與纖維軸夾角 的變化關系51 與 的關系：52斜角單層板剛度和柔度矩陣的不變量表達形式53關于應力轉換的推導542.3單層板強度失效理論及其判定準則55 對于各向同性材料，只有兩個強度參數：正向強度和剪切強度，如果材料正應力大于該方向強度，則材料破壞。各方向強度為：56 與剛度參數不一樣，這些強度參數不能直 接從坐標轉換至斜向單向板，所以強度失效理論研究的步驟為：1：計算局部坐標系1-2中的應力；2：用單向板的五個強度參數檢驗單向板是否破 壞。57注意：上式中的五個 強度參數作為正數處理，正應力在拉伸時

8、為正，壓縮時為負。58例如：碳纖/環氧復合材料：59有不等式為：60例：61正、負剪應力的差異及產生的原因正剪應力負剪應力62強度比（Strength Ratio)63失效包絡線 在斜角單層板破壞前的臨界狀態，可以畫出正應力、剪應力的三個失效包絡線，如果施加的應力在該包絡線內，則單層板是安全，如果在它之外，則是不安全的。由于畫三維圖很費事，常固定 ，以 和 為坐標軸畫出失效包線64例：上述中單層板已知剪切強度，畫失效包絡線65最大應變理論66 Tsai-Hill準則 該準則是將各向同性體Von-Mises扭曲能準則應用于各向異性體而產生的。扭曲能是物體總應變能的一部分，物體應變能分為兩部分：一

9、部分是由于材料體積膨脹而引起的膨脹能（dilation energy);另一部分是由于形態改變引起的扭曲能（ distortion energy ），材料只有在其扭曲能大于臨界失效扭曲能時才破壞。 Hill把Von-Mises應用到各向異性體， Tsai把Von-Mises應用到Unigirection Laminate上，并有以下結果：67當下式成立時，材料破壞68Tsail-Hill準則演變為69為考慮壓縮強度，該準則可簡化為：70 Tsail-Wu準則 為了區分材料的拉伸強度和壓縮強度，Tsail和wu于1979年提出了一種更加綜合的破壞準則（Tsail,S.W;Wu,E.M;A general theory of strength for anisotropic material,JCM,5,58,1971.)71當然這個 并不足夠,對應于每種加載狀態,應采用不同的72代入 準則表達式:73補充 的經驗公式:74各種強度準則的對比75各種校驗準則中 與 的變化關系76 不同準則校核的結果是不一