1、工科大學物理電子教案昆明理工大學理學院電子科學與應用物理系 力學是研究物體機械運動的規律及其應用的學科。力學是研究物體機械運動的規律及其應用的學科。 機械運動機械運動 ：物體在空間的位置隨時間變化的過程。：物體在空間的位置隨時間變化的過程。 運動學運動學 ： 只從幾何觀點研究物體的運動。只從幾何觀點研究物體的運動。 （如何運動）（第（如何運動）（第1章）章） 力學力學 動力學動力學 ： 聯系產生或改變運動的原因一起研究。聯系產生或改變運動的原因一起研究。 （第（第2、3、4、5章）章） 靜力學靜力學 ： 研究作用在物體上的力的平衡條件。研究作用在物體上的力的平衡條件。 （本課程內不討論）（本課

2、程內不討論）引言第一篇第一篇 力力 學學1-4 圓周運動圓周運動1-3 相對運動相對運動 1-2 質點的位移、速度和加速度質點的位移、速度和加速度1-1 參考系參考系 質點質點3. 理解運動描述的相對性，能用速度合成定理和理解運動描述的相對性，能用速度合成定理和加速度合成定理求解簡單相對運動問題。加速度合成定理求解簡單相對運動問題。1. 掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述運動和運動變化的物理量的定義及加速度等描述運動和運動變化的物理量的定義及其矢量性、相對性和瞬時性；其矢量性、相對性和瞬時性；2. 能借助于直角坐標系計算質點在平面內運動

3、時能借助于直角坐標系計算質點在平面內運動時的速度、加速度。能計算質點作圓周運動時的角的速度、加速度。能計算質點作圓周運動時的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。物體運動是絕對的，對運動的描述是相對的。物體運動是絕對的，對運動的描述是相對的。 一、參照系、坐標系一、參照系、坐標系 參照系：為了研究一個物體的運動，必須另選一物參照系：為了研究一個物體的運動，必須另選一物體作參考，這個被選作參考的物體稱為參照系。體作參考，這個被選作參考的物體稱為參照系。 參照系的數學抽象是坐標系。參照系的數學抽象是坐標系。 坐標系：定量地表示某一物體相對于參照系的位置。

4、坐標系：定量地表示某一物體相對于參照系的位置。 物體的運動對不同的物體的運動對不同的參照系有不同的描述。這參照系有不同的描述。這個事實稱為運動描述的相個事實稱為運動描述的相對性。對性。 由于運動的描述是相由于運動的描述是相對的，所以描述物體的機對的，所以描述物體的機械運動時必須指明所用的械運動時必須指明所用的參照系。參照系。 1-1 參考系參考系 質點質點XYZ參照系參照系O運動物體坐標系 一般描述地球上物體運動時，以地球作為參考系。一般描述地球上物體運動時，以地球作為參考系。 例：例： 車廂在地面上向右勻速運動，甲在地面上，乙在車車廂在地面上向右勻速運動，甲在地面上，乙在車廂內，同時觀察螺釘

5、從車頂落下的過程。廂內，同時觀察螺釘從車頂落下的過程。 甲：螺釘作平拋運動。甲：螺釘作平拋運動。 乙：螺釘作自由落體運動。乙：螺釘作自由落體運動。 可見參考系不同對運動的描述也不同。可見參考系不同對運動的描述也不同。即對運動的描述即對運動的描述 是相對的。是相對的。甲乙v二、質點二、質點 （理想模型（理想模型 ） 質點：具有質量而沒有形狀和大小的理想物體。質點：具有質量而沒有形狀和大小的理想物體。 一個物體能否看作質點，要根據問題的性質來決定。一個物體能否看作質點，要根據問題的性質來決定。 例如，例如，兩條原則：兩條原則： 1、物體的線度大大地小于它的運動空間；、物體的線度大大地小于它的運動空

6、間； 2、物體作、物體作平動平動 。地球繞太陽運動，地球繞太陽運動，地球可以當作質點；地球可以當作質點；而研究地球的自轉時，而研究地球的自轉時，地球就不能當作質點。地球就不能當作質點。SunEarth三、時間和時刻三、時間和時刻 任何一個物理過程任何一個物理過程包括機械運動包括機械運動都必須經都必須經歷一段時間。歷一段時間。 人們常用一個物理過程來定義時間。例如，地球自轉一人們常用一個物理過程來定義時間。例如，地球自轉一周所經歷的時間為一天，周所經歷的時間為一天，24小時等于小時等于86400秒。秒。 時間趨于無限小時，時間趨于無限小時，位置位置路程，位移路程，位移時刻對應于物理狀態。時刻對應

7、于物理狀態。時間對應于物理過程。時間對應于物理過程。就是時刻就是時刻一、質點的運動方程、軌道一、質點的運動方程、軌道1、質點的運動方程、質點的運動方程 一質點在一質點在OXY平面上運動，任平面上運動，任意時刻意時刻 t , 在平面上在平面上 P 點的位置點的位置可以由兩個坐標可以由兩個坐標 x, y 來確定（如圖來確定（如圖)它們是時間的函數：它們是時間的函數： tyytxx 1-2質點的位移、速度和加速度質點的位移、速度和加速度 運動學的問題，歸根結底就是求質點的運動方程。運動學的問題，歸根結底就是求質點的運動方程。 知道了運動方程，就可以描述出質點在空間運動的軌知道了運動方程，就可以描述出

8、質點在空間運動的軌跡，掌握質點運動的規律。跡，掌握質點運動的規律。上式稱為質點的運動方程。上式稱為質點的運動方程。OXYrijyxP 運動方程運動方程 ： 描述質點的位置隨時間變化的方程描述質點的位置隨時間變化的方程。 （或表示質點運動的規律的方程）（或表示質點運動的規律的方程）2、軌道、軌道 由運動方程消去時間由運動方程消去時間 t 就得到質點的軌道方程。就得到質點的軌道方程。0),( yxf2021gtytvx軌道為一拋物線軌道為一拋物線:軌道方程：描述質點運動路線的方程軌道方程：描述質點運動路線的方程。（如直線運動。（如直線運動、 曲線運動、圓、橢圓、拋物線運動等）曲線運動、圓、橢圓、拋

9、物線運動等） 例如，平拋運動例如，平拋運動 ：2202xvgy （1-3)和和(1-1)是等效的。是等效的。 都稱為質點的運動方程。都稱為質點的運動方程。222 siny cosAyxtAtAx 軌道為一圓心在原點，半徑為軌道為一圓心在原點，半徑為 A 的園。的園。3、位置矢量、位置矢量 ： 從坐標原點到質點所在位置從坐標原點到質點所在位置P 的矢量的矢量 稱為位置矢量。稱為位置矢量。r圓周運動圓周運動 :jtyitxr)()(1-1)( trr(1-3)i ，j 是是 X, Y 軸上的單位矢量。軸上的單位矢量。 是時間的函數。是時間的函數。r二、位移二、位移 ： 質點沿軌道運動，質點沿軌道運

10、動，t 時刻在時刻在 點，點， 時刻到達時刻到達 點。點。則在則在 t 到到 這段時間間隔內，質點從這段時間間隔內，質點從 位移到位移到 點，點， 到到 的矢量的矢量 稱為質點在稱為質點在 時時間內的位移。間內的位移。1Ptt2P1P1P2P2Ptrrr1 到到 的路程為的路程為1P2Psrs 要注意區別位移與路程要注意區別位移與路程 。路程：是路程：是 內質點運動的軌道的長度內質點運動的軌道的長度。即在軌道上。即在軌道上 與與 間的長度，是標量間的長度，是標量 。 s位移：是從起始位置引向終止位置的有向線段位移：是從起始位置引向終止位置的有向線段。即是從。即是從 到到 間的矢徑，是矢量間的矢

11、徑，是矢量 。 r1P2P1P2Pttt 平均速度與所選取的時間段（或位移平均速度與所選取的時間段（或位移段）有關，故必須說明是一段時間間隔段）有關，故必須說明是一段時間間隔內的平均速度。內的平均速度。 平均速度是質點運動狀況的一種近似平均速度是質點運動狀況的一種近似描述。描述。trv大小為大小為:方向為方向為 的方向。的方向。 rtrvQPrvvQYXrP1rrso三、速度三、速度 ： 速度是描述質點運動快慢程度和運動方向的物理量。速度速度是描述質點運動快慢程度和運動方向的物理量。速度是矢量。是矢量。1、平均速度：、平均速度： 位移位移 與發生這段位移所用時間與發生這段位移所用時間 之比，稱

12、為質點在時之比，稱為質點在時間間 內的平均速度：內的平均速度：trt2、瞬時速度、瞬時速度 ：當當 趨近于趨近于0時，時， 也趨近于也趨近于0， 點無限接近點無限接近 點，點， 此時的此時的平均速度就是在平均速度就是在 t 時刻（或時刻（或 位置）的瞬時速度，簡稱速度。位置）的瞬時速度，簡稱速度。dtrdtrvtlim0)4.1(t r1P2P1Pj yixrjdtdyidtdxdtrdv)6.1(jvivvyx)7.1(從矢量代數可得：從矢量代數可得：v的數值：的數值：1Pv的方向是曲線在的方向是曲線在 點的切線方向。點的切線方向。dtdststrvlimlim0t0t|xyOv xvyvd

13、tdxvxdtdyvy222yxvvv)8.1(2222)dd()dd(tytxvvvyx)9.1(若令若令 角為角為 與與X軸之間的夾角，則：軸之間的夾角，則：vtxtyvvxyddddtg)10.1(總之總之,速度的大小：速度的大小：2222dtdydtdxvvvyx或或tsvdd速度的方向：該點切線方向，與速度的方向：該點切線方向，與X方向間夾角方向間夾角xyvvtg1在描述運動時常用到在描述運動時常用到“速率速率”的概念，的概念，速率速率是標量。是標量。在內的平均速率與運動方向無關，其大小為：在內的平均速率與運動方向無關，其大小為：t時間路程tsv 平均速率與平均速度是不相同的。假如在

14、平均速率與平均速度是不相同的。假如在 內質點繞圓運內質點繞圓運動一周，則平均速度動一周，則平均速度 而平均速率而平均速率0vtrv2t瞬時速率為平均速率在瞬時速率為平均速率在 0 時的極限。時的極限。t 可見，瞬時速率與瞬時速度的大小相同。即該時刻的速度可見，瞬時速率與瞬時速度的大小相同。即該時刻的速度的大小就等于該時刻的速率。請判斷下列式子的對錯：的大小就等于該時刻的速率。請判斷下列式子的對錯： dtdstsvt0limt 時刻的速率時刻的速率dtdrv dtrdvdtdsv 22dtdydtdxvtRytRxsin),cos21( )111(tRRxcos2tRysin2222RyRx)(

15、Example 1-1 已知質點的運動方程為：已知質點的運動方程為：其中其中R及及 為常量，求質點的軌道為常量，求質點的軌道 及速度。及速度。解：將（解：將（1-11）式改為：）式改為：將以上二式兩邊平方及相加得：將以上二式兩邊平方及相加得：)0,2(R 這就是軌道的正交坐標方程，上式表示質點的軌道是半這就是軌道的正交坐標方程，上式表示質點的軌道是半徑為徑為R的圓周，圓心在點的圓周，圓心在點 處。處。XYROtRdtdxvxsintRdtdyvycosRttRv22cossin)121(tctgvvtgxy由此得速度的大小由此得速度的大小:xvvyv 為一常量，所以質點的運動為勻速圓周運動。又

16、當為一常量，所以質點的運動為勻速圓周運動。又當t從零從零增加時，增加時， 為負，為負， 為正，為正， 所以質點在圓周上以反時針方所以質點在圓周上以反時針方向繞圓心運動。向繞圓心運動。 速度速度v與與X軸所成的角軸所成的角 由下式決定：由下式決定：由（由（1-11）式求得的速度分量為：）式求得的速度分量為：tRytRxsin),cos21( 四、加速度：四、加速度：1平均加速度：平均加速度：加速度是描述質點速度變化快慢的物理量。是矢量。加速度是描述質點速度變化快慢的物理量。是矢量。 設質點在設質點在 t 時刻時在時刻時在P點，速度為點，速度為v，經過，經過 t 后，質點運動到后，質點運動到Q點，

17、速度為點，速度為v1（如圖），則在（如圖），則在 t 時間內速度的增量為：時間內速度的增量為：vvv1tvaat 稱為在稱為在 t 到到 t+ 時間間隔內的平均時間間隔內的平均加速度。加速度。 同理，平均加速度也是加速度的近似值。同理，平均加速度也是加速度的近似值。t則則 內的平均加速度為：內的平均加速度為： t 時間內速時間內速度增量度增量xyOt + t 時刻速度時刻速度PQvt 時刻速度時刻速度1vv1vO v 2、瞬時加速度、瞬時加速度 ：當當 ，即，即 時，可以得到質點在時，可以得到質點在P點時的瞬點時的瞬時加速度：時加速度：0tPQ jdtydidtxddtrdadtrdvdtvd

18、tvat2222220lim2222dtydadtxdayx,)131 ( )151 ( )161 ( QYX)(trP)(ttrv1vxyOa xaya加速度的大小為加速度的大小為22222222dtyddtxdaaayx)171 ( 2222dtxddtyddtdvdtdvaatgxyxy)181 ( 加速度是速度對時間的變化率，所以無論速度的大小改變或加速度是速度對時間的變化率，所以無論速度的大小改變或方向改變方向改變，都有加速度。都有加速度。a加速度加速度 與與 X 軸所成的角為軸所成的角為 ，則：，則：書中書中Example 1-2 設質點的運動方程仍由設質點的運動方程仍由Examp

19、le 1-1中（中（1-11）式表示，求加速度。式表示，求加速度。Solution ：利用（利用（1-16）式及例題）式及例題1-1的結果可得的結果可得tRdtdvdtydatRdtdvdtxdayyxxsincos222222RvRttRa22222sincos)191 ( 上式中的最后等式是利用了（上式中的最后等式是利用了（1-12）式得出的。）式得出的。由此得加速度的大小由此得加速度的大小RttRv22cossin)121(tRytRxsin),cos21( tRdtdxvxsintRdtdyvycos如果把加速度寫成矢量式，則有：如果把加速度寫成矢量式，則有：)()sincos(jyi

20、Rxj tRi tRa2222)211 ( jyiRx)(2)201 ( 2aXYOa可見加速度的方向為沿半徑指向圓心的方向。可見加速度的方向為沿半徑指向圓心的方向。合并（合并（1-20）及（）及（1-21）式便得到）式便得到),(02R令令 表示從圓心表示從圓心 到質點（到質點（x,y）的矢徑，得：）的矢徑，得：tRdtdvdtydatRdtdvdtxdayyxxsincos222222 已知質點的運動方程，用微分的方法已知質點的運動方程，用微分的方法可以求得質點運動的速可以求得質點運動的速度和加速度。度和加速度。反之，已知質點運動的加速度和初始條件反之，已知質點運動的加速度和初始條件也可以

21、也可以用積分的方法求得速度和運動方程。用積分的方法求得速度和運動方程。Example ：一質點作勻變速直線運動，加速度為：一質點作勻變速直線運動，加速度為 a，在，在 t=0 時，時，x = x0，v = v0 求質點的速度及運動方程。求質點的速度及運動方程。 Solution ：adtdvadtdv兩邊積分得：兩邊積分得：1catadtv再由再由dtcatdxcatvdtdx)(11得得212121ctcatdtcatx)(兩邊積分得：兩邊積分得：當當 t = 0 時時 x = x0 ，v = v0 可以求得可以求得 c1 = v0 ，c2 = x020020002121attvxxattv

22、xxatvv)/()/(所以得所以得 速速 度：度：運動方程：運動方程：位移公式：位移公式：勻變速直線運動公式勻變速直線運動公式Example jtyitxtrSolution 125.11425.261436trsmjijijtyitxv241)(,2)(2 ttyttx 12/122.80.15.11 smvv解（）：由題意知，速度的分量式為：解（）：由題意知，速度的分量式為：tdtdyvdtdxvyx21,1 故故t=3st=3s時速度分量為時速度分量為115.1,1 smvsmvyx故故t=3st=3s時速度為時速度為 15.1 smjiv而在而在t=3st=3s時的速率為：時的速率為

23、：（）求時的速度和速率；（）求時的速度和速率；241)(2)(2ttyttx2 24 46 62 24 4 6 6X Xy yo oo o2 24 46 62 2 4 46 6x-tx-ty-ty-t0 0 x xy y 2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 24 46 6 y-x y-xt tt t241)(,2)(2 ttyttx321412xxyExample 2 2、一質點運動軌跡為拋物線、一質點運動軌跡為拋物線 2422ttytx = = xxy22 ( (z z = 0 )= 0 )求：求：x x = -4= -4時（時（t t0)0)粒子的速度、速率、粒子的速度、速率、加

24、速度。加速度。分析：分析： x x = -4= -4，t t = 2= 2x xy yvSolution ：4|22 txtdtdxv24|4423 tyttdtdyv37422 yxvvv444122222 tytdtyda22222 txxdtxddtdvajiv244 jia442 速率：速率：已知：已知： x x = -4= -4，t t = 2= 22422ttytx xxy22 Solution Example0, 00,2300vxtj tia時時rv,jti tv23 tvdtdvdtadvdtdvaxvtxxxxxx33002002tvtdtdvdtadvdtdvaytvyy

25、yyyyjtitr323123位置矢量為：位置矢量為：30200200031233tdttdtvyyttdtdtvxxttyttx根據積分公式，得根據積分公式，得dtvdydtvdxyx jti tv23 0,000 vxExample 4、 已知質點運動方程為已知質點運動方程為x=2t, y=19 2t2, 式中式中x, y以米計，以米計，t以秒計，試求：（以秒計，試求：（1）軌道方程；（）軌道方程；（2）t =1s 時的速度和加速度；時的速度和加速度；（3）何時質點位矢與速度矢量垂直？）何時質點位矢與速度矢量垂直？22119xy（2）對運動方程求導，得到任意時刻的速度）對運動方程求導，得到

26、任意時刻的速度ttyvtxvyx4dd2dd 對速度求導，得到任意時刻的加速度：對速度求導，得到任意時刻的加速度：（1）4dd0dd tvatvayyxx(2)Solution ：（：（1）運動方程聯立，消去時間）運動方程聯立，消去時間t 得到軌道方程得到軌道方程將時間將時間t=1s代入速度和加速度分量式代入速度和加速度分量式(1)、(2)中，求出時間中，求出時間t=1s對應的速度和加速度：對應的速度和加速度：jijvivvtyvtxvyxyx424dd2dd jjaiaatatayxyyxx44ddv0ddv 速度大小速度大小)m.s(47. 4122 yxvvv加速度大小：加速度大小：與與

27、 x 軸夾角軸夾角6263arctan0 xyvv )m.s(4222 yxaaa0 vr（3）質點位矢與速度矢量相互垂直的條件為）質點位矢與速度矢量相互垂直的條件為與與 y 軸正方向相反。軸正方向相反。矢量的乘積有兩種：標積（點乘積），兩矢量點積后為標量。矢量的乘積有兩種：標積（點乘積），兩矢量點積后為標量。 矢積（叉乘積），兩矢量叉積后為矢量。矢積（叉乘積），兩矢量叉積后為矢量。 矢量的矢積（叉乘積）：矢量的矢積（叉乘積）：矢矢量量方方向向間間的的夾夾角角、為為BAABBAcosAB矢量的標積（點乘積）：矢量的標積（點乘積）：sinABBAAB四指轉向母指指向大小：方向： t= 3s舍去，

28、所以質點位矢與速度矢量在舍去，所以質點位矢與速度矢量在 t=0s和和t=3s 時相互時相互垂直。垂直。) s (3, 0 t解得：解得：0872)()(3 ttyvxvjvivj yi xvryxyx由由矢量加法：矢量加法：BAC ABC矢量減法：矢量減法：ACB ABCA Example 5、 離水平面高為離水平面高為h 的岸邊，有人用繩以恒定速率的岸邊，有人用繩以恒定速率v0拉拉船靠岸。試求：船靠岸的速度，加速度隨船至岸邊距離變化的船靠岸。試求：船靠岸的速度，加速度隨船至岸邊距離變化的關系式？關系式？jhi xj yi xr 對時間求導得到速度和加速度：對時間求導得到速度和加速度：itxt

29、rvdddd itxtva22dddd (1)(2)由題意知：由題意知：trvdd0 oyrhxx0v(3)Solution ：在如圖所示的坐標系中，船的位矢為：在如圖所示的坐標系中，船的位矢為：22hrx 又xhxvdtdrhrrdtdxvvx22022 32202/322220)(xhvhrhvdtdvaaxx(4)將將(5) (5) 式代入式代入(1)(1)和和(2)(2)式中得：式中得：ixhvtxaixhvtxv32202220dd1dd 分析船的運動特點：分析船的運動特點： 雖然收繩速率是均勻的，但船的前進方向并不是繩子的雖然收繩速率是均勻的，但船的前進方向并不是繩子的方向，故其運

30、動是變速的，加速度也是變化的。方向，故其運動是變速的，加速度也是變化的。作業：作業：1-3 ，1-4 ，1-13 ，1-14 32202220dd1ddxhvtxxhvtx 即即（5）itxtrvdddd itxtva22dddd (1)(2)Example 6、一小球沿斜面向上運動，其運動方程為、一小球沿斜面向上運動，其運動方程為 S=5+4t-t2 （SI），）， 則小球運動到最高點的時刻是：則小球運動到最高點的時刻是： （）（）（）（） （）（）（）（）Example 7、一質點在平面上運動，已知質點位置矢量的表示式、一質點在平面上運動，已知質點位置矢量的表示式為：為： （其中（其中a、

31、b為常量）則該質點作為常量）則該質點作 （A）勻速直線運動。）勻速直線運動。 （B）變速直線運動。）變速直線運動。 （C）拋物線運動。）拋物線運動。 （D）一般曲線運動。）一般曲線運動。jbtiatr22 sttdtdsv2024 B直線方程得消去xabytbtyatx 22有關，變速與tjbtiatdtrdv22 BExample 8、一質點沿、一質點沿X軸運動，其加速度軸運動，其加速度a與位置坐標與位置坐標X的關的關系為系為 a =2 +6 x2 （SI）如果質點在原點處的速度為零，試求其在任意位置處的速度。如果質點在原點處的速度為零，試求其在任意位置處的速度。Solution ： dxd

32、vvdtdxdxdvdtdva xxvdxxadxvdv0200)62(分離變量兩邊積分分離變量兩邊積分33222221xxvxxv Example 9、一質點在平面上作曲線運動，其速率、一質點在平面上作曲線運動，其速率v與路程與路程S的關的關系為系為 v=1+s2 （SI）求其切向加速度以路程）求其切向加速度以路程s來表示的表達式？來表示的表達式？32222sssvdtdssdtdvat Solution ：即即322ssat 一、相對運動的速度一、相對運動的速度 物體的運動速度和加速度是相對于某個參考系的，參照物體的運動速度和加速度是相對于某個參考系的，參照系選取的不同，則物體的速度和加速

33、度也不同。例如：在勻系選取的不同，則物體的速度和加速度也不同。例如：在勻速直線運動的車廂中，有一蘋果落下，以車廂為參考系，蘋速直線運動的車廂中，有一蘋果落下，以車廂為參考系，蘋果作自由落體運動，而以地球作為參考系，蘋果作平拋物運果作自由落體運動，而以地球作為參考系，蘋果作平拋物運動。動。 一個物體的運動，在兩個不同的參考系之間的描述有何一個物體的運動，在兩個不同的參考系之間的描述有何關系呢？我們討論一種簡單的情形。關系呢？我們討論一種簡單的情形。 O Y X rPOXrYEM 設地球為參考系設地球為參考系E，稱為靜止參，稱為靜止參考系，相對于地球作平動的坐標系考系，相對于地球作平動的坐標系為為

34、M稱為運動參考系。則在稱為運動參考系。則在M運動運動過程中，它的三條坐標軸始終與最過程中，它的三條坐標軸始終與最初的方向平行。（如圖）初的方向平行。（如圖）0r13 相對運動相對運動 OXY為坐標系為坐標系E，OXY為坐為坐標系標系M，質點，質點P對兩個坐標系的位對兩個坐標系的位置矢量分別為置矢量分別為rr,0rrr（1-34）0r是是O對對O的位置矢量。的位置矢量。兩邊同時微分：兩邊同時微分：dtddddd0rtrtr（1-35）O Y X rPOXrYEM0rdtrdPEv質點對參考系質點對參考系E的速度（絕對速度）的速度（絕對速度） dtrd PMv質點對參考系質點對參考系M的速度（相對

35、速度）的速度（相對速度） dtrd0MEv參考系參考系M相對于參考系相對于參考系E的速度（牽連速度）的速度（牽連速度） MEPMPEvvv（1-36） 質點的絕對速度等于相對速度與牽連速度的矢量和質點的絕對速度等于相對速度與牽連速度的矢量和。（速度合成定律）（速度合成定律）dtddddd0rtrtr（1-35）O Y X rPOXrYEM0r二、相對運動的加速度二、相對運動的加速度 將（將（1-35）式再對時間）式再對時間t微分：微分：2022222dtdddddrtrtr（1-37）22dtrdPEa質點對參考系質點對參考系E的加速度（絕對加速度）的加速度（絕對加速度） 22dtrd PMa

36、質點對參考系質點對參考系M的加速度（相對加速度）的加速度（相對加速度） 202dtrdMEa參考系參考系M相對于參考系相對于參考系E的加速度（牽連加速度）的加速度（牽連加速度） MEPMPEaaa（1-38） 質點的絕對加速度等于相對加速度與牽連加速度的矢量和質點的絕對加速度等于相對加速度與牽連加速度的矢量和。（加速度合成定律（加速度合成定律 ）dtddddd0rtrtr（1-35）O Y X rPOXrYEM0r 在不同參考系下對運動的描述不同，描述運動是相對的。在不同參考系下對運動的描述不同，描述運動是相對的。而物體的運動可以視為兩種運動的合成。即物體同時參與兩種而物體的運動可以視為兩種運

37、動的合成。即物體同時參與兩種運動。運動。 “同時參與兩種運動同時參與兩種運動”有兩個含義：有兩個含義：1、物體的運動是由兩個原因引起的。、物體的運動是由兩個原因引起的。 如平拋運動：（如平拋運動：（1）由于慣性：水平方向勻速運動。）由于慣性：水平方向勻速運動。 （2）由于受力：豎直方向勻加速運動。）由于受力：豎直方向勻加速運動。2、變換了參考系。、變換了參考系。 參考系之間有相對運動。參考系之間有相對運動。Example 1、飛機相對于空氣的速度為、飛機相對于空氣的速度為200 Km/h ，風速為，風速為56 Km/h ， 方向從西向東，地面上雷達測得飛機速度的大小為方向從西向東，地面上雷達測

38、得飛機速度的大小為192 Km/h，方向是多少？，方向是多少？Solution ：三矢量構成三角形空地機空機地vvv由余弦定律有：由余弦定律有：三者構成直角三角形空地機地機空空地機地空地機地空地機地機空205619222005619222222222222vvvvvvvvvvcoscos飛機向正南或正北方向飛行飛機向正南或正北方向飛行機地v機空v空地v機空v機地v空地v機地v機空v空地vExample 2、某人騎摩托車向東前進，其速率為、某人騎摩托車向東前進，其速率為10m.s 1時覺得有時覺得有南風，當速率增大到南風，當速率增大到15m.s 1時，又覺得有東南風。試求風的速時，又覺得有東南風

39、。試求風的速度？度？ Solution ：在如圖所示的坐標系中，：在如圖所示的坐標系中，K系是地面參考系；系是地面參考系；K 系是系是建立在運動的人身上的參考系。建立在運動的人身上的參考系。AKv為風對地的速度；為風對地的速度；KKKKvv ，分別為兩種條件下人對地的速度；分別為兩種條件下人對地的速度；KAKAvv ，分別為兩種條件下風對人的速度，分別為兩種條件下風對人的速度，y(北)x(東)AKvKA vKK vKA vKKv45o 由相對運動速度變化式有：由相對運動速度變化式有：KKKAKKKAAKvvvvv 由題知：由題知： ivjjvvvKKKKKKKA10545tan)(0 4326

40、)10/5arctan().(51001 smjivAK得得風速的大小為：風速的大小為：)/(18.1151022smvAk 作業：作業：1-17由題知：由題知： ivjjvvvKKKKKKKA10545tan)(0y(北)x(東)AKvKA vKK vKA vKKv45o 圓運動是曲線運動圓運動是曲線運動 的特例。曲線運動總伴隨有速度變化。的特例。曲線運動總伴隨有速度變化。大小變化，方向不變。大小變化，方向不變。 直線運動直線運動大小不變，方向變化。大小不變，方向變化。大小變化，方向變化。大小變化，方向變化。速度變化速度變化曲線運動曲線運動 加速度是反映速度變化的物理量。而速度有大小和方向的

41、變加速度是反映速度變化的物理量。而速度有大小和方向的變化化 。 反映速度方向變化快慢反映速度方向變化快慢 法向加速度法向加速度 反映速度大小變化快慢反映速度大小變化快慢 切向加速度切向加速度 這種法向、切向的分析方法叫自然法（或稱自然坐標法）。這種法向、切向的分析方法叫自然法（或稱自然坐標法）。下面就用這種方法來討論圓周運動。下面就用這種方法來討論圓周運動。 14 圓周運動圓周運動一、勻速圓周運動一、勻速圓周運動 向心加速度向心加速度 質點在一個圓周上運動，它的質點在一個圓周上運動，它的速度大小保持不變，則其運動稱為勻速圓周運動，此時雖然質速度大小保持不變，則其運動稱為勻速圓周運動，此時雖然質

42、點的運動速率不變，但方向隨時變化，所以質點有加速度。點的運動速率不變，但方向隨時變化，所以質點有加速度。 設質點在半徑為設質點在半徑為r 的圓周上，的圓周上，以速率以速率v 作勻速率圓周運動。在作勻速率圓周運動。在t時刻，質點在時刻，質點在P點速度為點速度為 ，則，則經過時間經過時間 t后，運動到后，運動到Q點，速點，速度為度為 ，則速度的增量為：，則速度的增量為：v1vvvv1其加速度為：其加速度為：tvat0lim（1-39）or1vv1vvo QP 從一點從一點O 作作 （如圖）由于（如圖）由于 分別與半徑垂直，分別與半徑垂直，所以所以 之間的夾角等于之間的夾角等于OP和和OQ之間之間

43、的夾角的夾角，則，則Q 與與Q相似，對應邊成比例：相似，對應邊成比例：vv及1vv及1vv及1rPQvvrPQvvrvtPQrvtPQrvtvattt2000limlimlim當當 t時時 ，v趨近于與趨近于與 垂直，即指向圓心，故垂直，即指向圓心，故 的方向的方向va指向圓心，因此指向圓心，因此 稱為向心加速度或法向加速度。稱為向心加速度或法向加速度。aorv1vv1vvo QPQP二、變加速圓周運動，切向加速度和法向加速度二、變加速圓周運動，切向加速度和法向加速度 質點作圓周運動，其速度的大小隨時間而變化，則稱為變質點作圓周運動，其速度的大小隨時間而變化，則稱為變速圓周運動。速圓周運動。

44、設在設在t 時刻，質點位于時刻，質點位于P點，速點，速度為度為 ，則經過時間，則經過時間 t后，運后，運動到動到Q點，速度為點，速度為 ，（如圖，（如圖）從）從A點作點作 ，則，則BC表示在表示在 t時間內的速度的增量時間內的速度的增量 。 在在AC上取一點上取一點D，令，令AD=AB，則矢量，則矢量 分為兩個矢量分為兩個矢量 和和 即即 v1vv1vv和vnvtv tnvvv 其中其中nv為因加速度的方向改變而產生的速度增量。為因加速度的方向改變而產生的速度增量。tv 為因加速度的大小改變而產生的速度增量。為因加速度的大小改變而產生的速度增量。1vvPQO vBnvtv v1vACD 平均加

45、速度平均加速度 ：tvtvtvatn瞬時加速度為：瞬時加速度為：（1-46）tvtvtvattttddlimlim00 rvan2（1-45）tnttnttaatvtvtva 000limlimlim（1-42）加速度的大小為：加速度的大小為：22222ddtvrvaaatn（1-47） 為為 與與 之間的方向角（圖之間的方向角（圖1-16）vatnaatg（1-48）歸納起來歸納起來：法向加速度：法向加速度 na切向加速度切向加速度ta大小：大小：方向：沿半徑指向圓心。方向：沿半徑指向圓心。rvan2 dtdvat 大小：大小：方向：沿圓周切向。方向：沿圓周切向。總加速度總加速度tnaaa

46、nataa大小：大小：方向：方向：22tnaaa tnaaarctan a三、圓周運動的角量描述三、圓周運動的角量描述 當質點作圓周運動時它的運動也可以用角位移、角速度和當質點作圓周運動時它的運動也可以用角位移、角速度和角加速度等角量來描述。角加速度等角量來描述。1、角坐標、角坐標 描述質點在圓周運動中描述質點在圓周運動中 的位置，用的位置，用 表示。表示。2、角位移、角位移 描述質點角位置變化的描述質點角位置變化的物理量，用物理量，用 表示。表示。 角位移是矢量，其方向由右手螺旋確角位移是矢量，其方向由右手螺旋確定，大小為定，大小為 = - 0 一般規定：逆時針轉動，角位移為正，一般規定：逆

47、時針轉動，角位移為正，順時針為負順時針為負。3、角速度、角速度 描述質點角位移變化快慢描述質點角位移變化快慢的物理量，用的物理量，用 表示。表示。4、角加速度、角加速度 描述質點角速度變化快描述質點角速度變化快慢的物理量，用慢的物理量，用 表示。表示。orPo0rP 設質點繞設質點繞O點作圓周運動，在點作圓周運動，在 t 時刻質點處于時刻質點處于P點，經過點，經過 t 時間后運動到時間后運動到Q點，則點，則OP與與OQ之間的夾角之間的夾角稱為質點在稱為質點在 t 時時間內的角位移。（如圖），角位移是矢量，質點沿反時針方向間內的角位移。（如圖），角位移是矢量，質點沿反時針方向時，時，取正值；取正

48、值；質點沿順時針方向時，質點沿順時針方向時，取負值。取負值。 以以 代表質點運動的平均角速度，代表質點運動的平均角速度，t 瞬時角速度為：瞬時角速度為：tttdd0 lim 的單位為的單位為1弧度弧度/秒（秒（1/S）PQO 以以 代表質點運動的平均角加速度，代表質點運動的平均角加速度，t瞬時角加速度為：瞬時角加速度為：tttddlim0 的單位為的單位為1弧度弧度/秒秒2（1/S2） 當當 =恒量時，質點作勻變速圓周運動（與勻變速直線運動恒量時，質點作勻變速圓周運動（與勻變速直線運動的公式相似）。的公式相似）。t 02021tt 2202avxx四、線量與角量之間的關系四、線量與角量之間的關系2rararvrsntPQO s線量線量 角量角量 關系關系svtanaSolution ：在最高處的加速度：在最高處的加速度 g 就是向心加速度，即就是向心加速度，即2水平vg Example 1、以初速率為、以初速率為 拋射角為拋射角為 拋出一物體，問在其拋拋出一物體，問在其拋物線軌道物線軌道 最高處的曲率半徑最高處的曲率半徑 為多少？為多少？0v000cosvv 水平gvgv02202cos 水平0vgv水平水平0Example 2、 一質點沿半徑為一質點沿半徑為R 的圓周按的圓周按2021bttvs 規律運動，規律運動，v0、b 是正值常數。求：（是正值常數。求：（1）t 時