1、偏微分方程的數值解法Numerical Solutions to Partial Differential Equations對象對象雙曲型方程雙曲型方程:0 xuatuLu (5.1) x),x()0,x(u給定初始條件給定初始條件建立差分格式建立差分格式將將xt平面分割成矩形網格平面分割成矩形網格,2,1 ,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk 用用(k,j)表示網格節點表示網格節點(xk,tj)，網格節點上的函數，網格節點上的函數值為值為u(k,j)用差商表示導數用差商表示導數) j ,x(u2hh) j ,k(u) j ,1k(uxu)t,k(u2) j ,k(u)1j ,k(

2、utuxj ,ktj ,k ) j ,x(u6hh2) j ,1k(u) j ,1k(uxu)t,k(u62)1j ,k(u)1j ,k(utux2j ,kt2j ,k 方程方程(5.1)式變為式變為稱為誤差項稱為誤差項其中其中)h() j ,x(u2ah)t,k(u2),h(R0),h(Rh) j ,k(u) j ,1k(ua) j ,k(u)1j ,k(uxt11 0huuauuj ,kj ,1kj ,k1j ,k (5.2)略去誤差項，得到差分方程略去誤差項，得到差分方程加上初始條件，構成差分格式加上初始條件，構成差分格式k0,kj ,kj ,1kj ,k1j ,ku)uu(aruu 差

3、分格式的收斂性和穩定性差分格式的收斂性和穩定性差分格式的依賴區域差分格式的依賴區域庫朗條件：差分格式收斂的必要條件是差分格式的依庫朗條件：差分格式收斂的必要條件是差分格式的依賴區域應包含微分方程的依賴區域賴區域應包含微分方程的依賴區域穩定性穩定性對象對象拋物型方程拋物型方程:Tt0,0b0 xubtuLu22 (5.3)x(g) t ,1(u),x(g) t ,0(u1x0),x()0,x(u2x),x()0,x(u121 邊界條件邊界條件）初邊值混合問題）初邊值混合問題（）初值問題）初值問題（定解條件有兩類定解條件有兩類建立差分格式建立差分格式將將xt平面分割成矩形網格平面分割成矩形網格,2

4、,1 ,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk 用用(k,j)表示網格節點表示網格節點(xk,tj)，網格節點上的函數，網格節點上的函數值為值為u(k,j)用差商表示導數用差商表示導數) j ,x(u12hh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(uxu)t,k(u2) j ,k(u)1j ,k(utux)4(22j ,k22tj ,k 方程方程(5.3)式變為式變為稱為誤差項稱為誤差項其中其中)h() j ,x(u12bh)t,k(u2),h(R0),h(Rh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(ub) j ,k(u)1j ,k(u2)4(x2t112 )uu

5、2u(bsuuj ,1kj ,kj ,1kj ,k1j ,k (5.4)略去誤差項，并令略去誤差項，并令s/h2 得到差分方程得到差分方程邊界條件差分化（第二、三類邊界條件）邊界條件差分化（第二、三類邊界條件）) t ,x(u2hh) t ,x(u) t ,x(uxu) t ,x(u2hh) t ,0(u) t ,h(uxux1NNt ,1xt ,0 常用的差分格式顯式格式顯式格式 ,2,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bsuu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1kj ,k1j ,k隱式格式隱式格式 ,2

6、,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bsuu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1k1j ,kj ,kRichardson格式格式 ,2,1 ,0j),j (gu),j (gu1N,2,1k)kh(u,2,1 ,0j,1N,2,1k)uu2u(bs2uu2j ,N1j ,00,kj ,1kj ,kj ,1k1j ,k1j ,k菱形格式菱形格式 ,),(),(,)(,)(,21012121012122100111111jjgujguNkkhujNkuuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjk 六點格式六點格

7、式 ,),(),(,)(,)()(,2101212101212222210011111111jjgujguNkkhujNkuuubsuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjkjkjk 對象對象橢圓型方程橢圓型方程:)y,x( fyuxuuPoisson0yuxuuLaplace22222222 方程方程方程方程(5.5)給定的邊界條件給定的邊界條件題，即在邊界上滿足題，即在邊界上滿足主要定解條件是邊值問主要定解條件是邊值問 )y,x()y,x(u)y,x()y,x( fyuxuu2222建立差分格式建立差分格式將將xy平面分割成矩形網格平面分割成矩形網格,2,1,0j,jyy,2,1,0k,khxxjk 用用(k,j)表示網格節點表示網格節點(xk,yj)，網格節點上的函數，網格節點上的函數值為值為u(k,j)用差商表示導數用差商表示導數)y,k(u12h)1j ,k(u) j ,k(u2)1j ,k(uyu) j ,x(u12hh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(uxux)4(22j ,k22x)4(22j ,k22 方程方程(5.5)式變為式變為稱為誤差項稱為誤差項其中其中)h() j ,x(u12bh)y,k(u12b),h(Rf),h(R)1j ,k(u) j ,k(u2)1j ,k(uh) j ,1k(u) j ,k(u2) j ,1k(u22)4